高中数学第二章等式与不等式方程组的解集学案新人教B版必修第一册

2．1.3　方程组的解集
课程标准
(1)常用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．
(2)能灵活解二元二次方程组．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点　方程组的解集
方程组中，由两个方程的解集____________称为这个方程组的解集．
状元随笔　1.当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
2．本质：解二元方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”．
基础自测
1．方程组{x +y =1x−y =3
的解集是( )A ．{2，－1}B ．{(2，－1)}
C ．{－2，1}
D ．{(－2，1)}
2．若x ，y 满足方程组
{2x +y =7，x +2y =8，则x ＋y 的值是( )A ．5B ．－1
C ．0
D ．1
3．方程组{y =x x 2+y 2=2
的解集是( )
A ．(±1，±1)
B ．{(±1，±1)}
C ．{(－1，－1)，(1，1)}
D ．(－1，－1)，(1，1)
4．方程组{
x +y −z =0，①
y +z−x =7,②z +x −y =9③
的解集为
________________________________________________________________________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　二元一次方程组的解法
例1　选择合适的方法解下列方程组：
(1){2x−y=3，①
3x+4y=10.②
(2){x+2y=3，①
3x−4y=4.②
状元随笔　二元一次方程组主要用加减消元法和代入消元法求解．
跟踪训练1　已知关于x，y的方程组{4x−y=k，
2x+3y=1中，x，y的值相等，则k的值是( )
A．3 B．3
5
C．5 D．
1
5
题型2　三元一次方程组
例2　解方程组{x3=y4=z5，①
x−y+2z=18.②
状元随笔　三元一次方程组主要用加减消元法和代入消元法求解．
方法归纳
消元法解三元一次方程组的两个注意点
(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．
(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．
跟踪训练2　已知二次函数的图象过点(1，0)，(2，3)，(3，28)，求这个二次函数的解析式．
题型3　“二·一”型的二元二次方程组[教材P53例1]
的解集．
例3　求方程组{x2+y2=5，①
y=x+1②
方法归纳
“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把二元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．
跟踪训练3　解方程组{x2+2xy+y2=4，
x−2y=5.①②
题型4　“二·二”型的二元二次方程组[经典例题]
例4　解方程组{x2−3xy−4y2=0，
x2+4xy+4y2=1.①
②
方法归纳
解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是
原方程组的解．
跟踪训练4　解方程组{x2−y2=1，
(x−y)2−2(x−y)−3=0.①②
2．1.3　方程组的解集
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点
得到的交集
[基础自测]
1．解析：{x+y=1①
x−y=3②，
①＋②得2x＝4，∴x＝2，代入①得y＝－1.
答案：B
2．解析：{2x+y=7①
x+2y=8②，
方法一　②×2－①，得3y＝9，解得y＝3.
把y＝3代入②，得x＝2.
所以x＋y＝2＋3＝5.
方法二　由①＋②，得3x＋3y＝15.
化简，得x＋y＝5.故选A.
答案：A
3．解析：{y=x①
x2+y2=2②，
把①代入②得2x2＝2，∴x2＝1，
x＝±1，y＝±1.
答案：C
4．解析：①＋②＋③得x＋y＋z＝16　④
④－①，得z＝8；
④－②，得x＝4.5；
④－③，得y＝3.5.
所以原方程组的解集为{(4.5，3.5，8)}．
答案：{(4.5，3.5，8)}
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)由①，得y＝2x－3，　③
把③代入②，得3x＋4(2x－3)＝10，解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝1.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}．
(2)①×2，得2x＋4y＝6，　③
③＋②，得5x＝10，解得x＝2.
把x＝2代入①，得2＋2y＝3，解得y＝1 2.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，1 2)}．
跟踪训练1　解析：把方程组中的x都换成y，解出x＝y＝1
5.把x＝y＝
1
5再代入第一
个方程，从而求出k的值为3 5.
答案：B
例2　【解析】　设x
3＝
y
4＝
z
5＝k(k为常数，k≠0)，
则x＝3k，y＝4k，z＝5k.
将它们代入②中，得3k－4k＋10k＝18，解得k＝2.所以x＝6，y＝8，z＝10，
所以原方程组的解集为{(6，8，10)}．
跟踪训练2　解析：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得{a +b +c =0，①
4a +2b +c =3，②
9a +3b +c =28.③
②－①，得3a ＋b ＝3，　④
③－②，得5a ＋b ＝25，　⑤
由④和⑤组成方程组{3a +b =3，
5a +b =25.
解得a ＝11，b ＝－30，
把a ＝11，b ＝－30代入①，得11－30＋c ＝0，解得c ＝19.
所以a ＝11，b ＝－30，c ＝19.
所以所求函数解析式为y ＝11x 2－30x ＋19.
例3　【解析】　将②代入①，整理得x 2＋x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－2.利用②可知，x ＝1时，y ＝2；x ＝－2时，y ＝－1.
所以原方程组的解集为{(1，2)，(－2，－1)}．
跟踪训练3　解析：方法一　由②得x ＝2y ＋5　③
将③代入①，得(2y ＋5)2＋2y (2y ＋5)＋y 2＝4.
整理，得3y 2＋10y ＋7＝0.
解得y 1＝－7
3，y 2＝－1.
把y 1＝－73代入③，得x 1＝1
3，
把y 2＝－1代入③，得x 2＝3.
所以原方程组的解是{x 1=1
3,
y 1=−73,{x 2=3
y 2=−1
所以方程组的解集为{(1
3，−7
3)，(3，−1)}.
方法二　由①得(x ＋y )2＝4，
即x ＋y ＝2或x ＋y ＝－2.
原方程组转化为{x +y =2，x −2y =5.或{x +y =−2，
x −2y =5.
解得{x 1=3，y 1=−1，或{
x 2=13，y 2=−73.所以方程组的解集为{(13，−73)，(3，−1)}.
例4　【解析】　由①得(x －4y )(x ＋y )＝0，所以x －4y ＝0或x ＋y ＝0，
由②得(x ＋2y )2＝1，
所以x ＋2y ＝1或x ＋2y ＝－1.
原方程可化为以下四个方程组：
解这四个方程组，得原方程组的四个解是：{x 1=2
3，y 1=16，或{x 2=−2
3，y 2=−16，或{x 3=−1，y 3=1，或
{
x 4=1，
y 4=
−1.所以方程组的解集为
{(23，1
6)，(−2
3，−1
6)，(−1，1)，(1，−1)}.
跟踪训练4　解析：由②得(x －y －3)(x －y ＋1)＝0.所以x －y －3＝0或x －y ＋1＝0.
所以原方程组可化为两个方程组：
{x 2−y 2=1，x −y −3=0，或{x 2−y 2=1，
x −y +1=0.
用代入消元法解方程组，分别得
{x 1=5
3，y 1=−43，或{
x 2=−
1，
y 2=0.
所以原方程组的解集为{(5
3，−4
3)，(−1，0)}.。