新高考数学高考数学压轴题 数列的概念选择题专项训练分类精编附解析(1)

新高考数学高考数学压轴题 数列的概念选择题专项训练分类精编附解析(1)
一、数列的概念选择题
1．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么
24620201a a a a ++++
+=（ ）
A ．2021a
B ．2022a
C ．2023a
D ．2024a
答案：A
解析：A 【分析】
根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】
由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a ++++
+++++=+
3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++
=+++=+=.
故选：A
2．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，
n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除
后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（ ） A ．1348
B ．1358
C ．1347
D ．1357
答案：C
解析：C 【分析】
由题意可知，得数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，又
202067331=⨯+，由此可得答案
【详解】
解：由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,⋅⋅⋅，
所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=， 因为202067331=⨯+，
所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+= 故选：C
3．已知数列{}n a 满足1N a *
∈，1,2+3,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数
，若{}n a 为周期数列，则1a 的可
能取到的数值有（ ） A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．无数个
答案：B
解析：B 【分析】
讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】
已知数列{}n a 满足1N a *
∈，1,2
+3,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数
. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
③若13a =，则26a =，33a =，46a =
，
，以此类推，可知对任意的n *∈N ，
2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意
的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，
，以此类推，可知对任意的n *∈N ，
2n n a a +=，
此时，{}n a 为周期数列；
⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2
n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2
n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.
下面说明，当19a ≥且1N a *
∈时，数列{}n a 不是周期数列.
（1）当(
3412,2a ⎤∈⎦且1N a *
∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列；
（2）假设当(
()1
12,23,k k a k k N +*
⎤∈≥∈⎦
且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(
()1
212
,23,k k a k k N ++*
⎤∈≥∈⎦
时. 若1a 为正偶数，则(11
22,22
k k a a +⎤=
∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列； 若1a 为正奇数，则(
(1
213
2132
3,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，
由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列. 综上所述，当19a ≥且1N a *
∈时，数列{}n a 不是周期数列.
因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】
本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决． 4．已知数列{}n a 满足2122
1
1
1,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（ ） A ．92
B ．102
C ．
81
82
D ．112
答案：B
解析：B 【分析】
本题先根据递推公式进行转化得到21
112n n n n a a a a +++=．然后令1n n n
a b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322n
n n a a +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二
次函数的知识可得数列{}n a 的最大项． 【详解】
解：由题意，可知： 21
112n n n n
a a a a +++=． 令1n n n a
b a +=，则11
2
n n b b +=． 2
11
16a b a =
=，
∴数列{}n b 是以16为首项，
1
2
为公比的等比数列． 1
11163222n n
n b -⎛⎫
⎛⎫
∴== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
．
∴11322n
n n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
． ∴1
211322a a ⎛⎫= ⎪⎝
⎭，
2
321322a a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
1
11322n n n a a --⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．
各项相乘，可得： 1
2
1
11
111(32)222n n n
a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
(1)
2
511()22n n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭
2115(1)
22
1122n n n ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
211
5522
12n n n --+⎛⎫
= ⎪⎝⎭
2
1(1110)2
12n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
．
令2()1110f n n n =-+，
则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值．
()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，
()f n ∴的最小值为20-．
∴2
11
(1110)(20)10
2
2
101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
．
∴数列{}n a 的最大项为102．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，
以及利用二次函数思想求最值；
5．已知数列{}n a 满足：11a =，145n n a a +=+，则n a =（ ）
A ．85233n
⨯-
B ．1
85233n -⨯-
C ．8543
3
n
⨯-
D ．1
8543
3
n -⨯-
答案：D
解析：D 【分析】 取特殊值即可求解. 【详解】
当1n =时，11a =，显然AC 不正确，
当2n =时，21459a a =+=，显然B 不符合，D 符合 故选：D
6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184
B ．174
C ．188
D ．160
答案：B
解析：B 【分析】
根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a . 【详解】
3,4,6,9,13,18,24,
1,2,3,4,5,6,
所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()1213n n =-+-+
++()()()1111332
2
n n n n -+⋅--=
+=+.
所以191918
31742
a ⨯=+=. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.
7．在数列{}n a 中，12a =，1
1
1n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1-
B ．
12
C ．1
D ．2
答案：B
解析：B 【分析】
通过递推公式求出234,,a a a 可得数列{}n a 是周期数列，根据周期即可得答案. 【详解】 解：211111=1=22a a =-
-，3211121a a =-=-=-，43
1
1112a a =-=+=， 则数列{}n a 周期数列，满足3n n a a -=，4n ≥
8521
2
a a a ∴===
， 故选：B. 【点睛】
本题考查数列的周期性，考查递推公式的应用，是基础题. 8．已知数列{}n a 的通项公式为()()2
11n
n a n
=--，则6a =（ ）
A ．35
B ．11-
C ．35-
D ．11
答案：A
解析：A 【分析】
直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()2
11n
n a n
=--，所以626(1)(61)35a =--=.
故选：A 【点睛】
本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.
9．已知数列{}n a 的通项公式为2
n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实
数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞
B ．(),2-∞
C ．(),1-∞
D ．(),0-∞
答案：A
解析：A 【分析】
由已知得121n n a a n λ+-=+-，根据{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，建立关于
λ的不等式，解之可得λ的取值范围.
【详解】
由已知得2
2
1(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-， 因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立， 所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=， 所以3λ<， 故选：A. 【点睛】
本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键，属于基础题.
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是
A ．21n n n a a a ++=+
B ．13599100a a a a a ++++=
C ．2499a a a a ++
+=
D ．12398100100S S S S S +++
+=-
答案：C
解析：C 【分析】
21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B
正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到
12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进
而D 正确. 【详解】
已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正
确；
24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=
1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=
，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -
故D 正确. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行
其它条件的推广. 11．数列23451,,,,,3579
的一个通项公式n a 是（ ） A ．
21n
n + B ．
23
n
n + C ．
23
n
n - D ．
21
n
n - 答案：D
解析：D 【分析】
根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】
由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21
n n
a n =-. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.
12．已知数列1,21,
n -21是这个数列的（ ）
A ．第10项
B ．第11项
C ．第12项
D ．第21项
答案：B
解析：B 【分析】
根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】
令2121n -=，解得n =11是这个数列的第11项. 故选：B. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目. 13．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S ++
+=（ ）
A ．135
B ．141
C ．149
D ．155
答案：D
解析：D 【分析】
利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】
解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，*
n N ∈，
所以当1n =时，得11a =， 当2n ≥时，11
1111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+ ⎪-⎝⎭ 所以11
1
n n n n S S S S ---=-，
所以2
=n S n ，
因为各项为正项，所以=n S 因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =====
==,
[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==
== ,
[]363740[][]6S S S ==
==.
所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯，
故选：D 【点睛】
此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题. 14．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：A 【分析】
根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，
充分性：
1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，
0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，
10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；
若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.
所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；
必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.
所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐
/“{}n a 为递增数列”.
因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．
15．已知数列{}n a 满足12a =，11
1n n
a a +=-，则2018a =（ ）. A ．2
B ．
12 C ．1-
D ．12
-
答案：B
解析：B 【分析】
利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】 在数列{}n a 中，
11
1n n
a a +=-
，且12a =， 211112
a a ∴=-=， 32
1
1121a a =-=-=- ， ()413
1
1112a a a =-
=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 201867232=⨯+，
2018212
a a ∴==
. 故选：B 【点睛】
本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题.
二、数列多选题
16．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =
C ．135********a a a a a +++
+= D ．222
2123202020202021a a a a a a +++
+=
答案：BCD 【分析】
根据题意写出，，，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】
对A ，，，故A 不正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，
解析：BCD 【分析】
根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】
对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；
对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得
135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；
对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2
121a a a =，则()2
22312321a a a a a a a a =-=-，
()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，
故2222
123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确． 故选：BCD 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.
17．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =
C ．135********a a a a a +++
+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 答案：ABD 【分析】
根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】
依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不
解析：ABD 【分析】
根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，
342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，
，201920202018a a a =-，累加可知C 不正
确；根据2
121a a a =，2
22312312()a a a a a a a a =-=-，2
33423423()a a a a a a a a =-=-，
244534534()a a a a a a a a =-=-
，
，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
累加可知D 正确. 【详解】
依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，
312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以
712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；
由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-
，，201920202018a a a =-，
可得
13572019a a a a a ++++
+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，
故C 不正确；
2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-
，
，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
所以
2222212342019
a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-
20192020a a =，
所以
222
122019
20202019
a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD.
【点睛】
本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.
18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-
B ．180S =
C ．当0d >时，6140a a +>
D ．当0d <时，614a a >
答案：ABC 【分析】
因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项
解析：ABC 【分析】
因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质
961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，
140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.
【详解】
因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：
1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，
对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()
()
11891018181802
2
a a a a S ++=
=
=，故选项B 正确；
对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；
对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，
所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.
19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a =
B ．911a a =
C ．当9n =或10时，n S 取得最大值
D ．613S S =
答案：ABD 【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】
∵等差数列的前项和为，， ∴，解得， 故，故A 正确；
∵，，故有，故B 正确； 该数
解析：ABD 【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】
∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()11187
5282
a a d a d ⨯++=+
，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；
∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119
2
22
n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，
故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，1311312
13392
S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】
思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果. 20．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <
B ．10a <
C ．当5n =时n S 最小
D ．0n S >时n 的最小值为8
答案：BD
【分析】
由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】
由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误
解析：BD 【分析】
由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】
由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；
753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；
()()()22
171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤
--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.
n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.
故选：BD.
21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15
11
0,20,a a a 则（ ）
A ．80a <
B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值
C ．49S S =
D ．满足0n S >的n 的最大值为12
答案：ACD 【分析】
由题可得，，，求出可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出可判断C ；令，解出即可判断D. 【详解】
设等差数列的公差为，则，解得， ，，且，
对于A ，，故A 正确； 对于B ，的对称
解析：ACD 【分析】
由题可得16a d =-，0d <，21322
n d d
S n n =
-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函
数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022
n d d S n n =->，解出即可判断D. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，
10a >，0d ∴<，且()21113+
222
n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，
81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；
对于B ，21322n d d S n n =
-的对称轴为13
2n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误； 对于C ，4131648261822d d S d d d =
⨯-⨯=-=-，9138191822
d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；
对于D ，令213022
n d d
S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：由于等差数列()2111+
222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫==+- ⎪⎝
⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.
22．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >
D ．数列
{
}n
a 也是等差数列
答案：AB 【分析】
根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】
依题意，等差数列中，即， .
对于A 选项，，所以A 选项正确. 对于C 选项，，，所以，
解析：AB 【分析】
根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】
依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，
1149249,2
a d a d =-=-
. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，149
2
a d =-
，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛
⎫=+-=-
+-=- ⎪⎝
⎭，令0n a ≥得5151
0,22
n n -
≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确.
对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列
{
}n
a 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.
故选：AB 【点睛】
等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.
23．无穷数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）
A ．{}n a 可能为等差数列
B ．{}n a 可能为等比数列
C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列
D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列
答案：ABC 【分析】
由可求得的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】 当时，． 当时，． 当时，上式＝． 所以若是等差数列，则
所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．
解析：ABC 【分析】
由2
n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】
当1n =时，11a S a b c ==++．
当2n ≥时，()()2
2
1112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．
当1n =时，上式＝+a b ．
所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=
所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 0
a c
b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0
c ≠时，{}n a 从第二
项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】
本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．
24．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，
6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）
A ．320n a n =-
B ．325n a n =-+
C ．当4n =时，n T 取最小值
D ．当6n =时，n T 取最小值
答案：AC 【分析】
由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值． 【详解】
解：在递增的等差数列中， 由，得， 又，联立解得，， 则，． ．
故正确，错误；
可得数列的
解析：AC 【分析】
由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】
解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，
又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)
3963
a a d ---=
==-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．
故A 正确，B 错误；
12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---
可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．
∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．
故选：AC ． 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
25．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >
B ．170S <
C ．1819S S >
D ．190S >
答案：ABD 【分析】
先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确. 【详解】
根据题意可知数列为递增
解析：ABD 【分析】
先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则
190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质
和求和公式可知()0117917917
217
172
2
a a a S a <+⨯⨯=
=
=，()1191019
1019219
1902
2
a a a S a +⨯⨯=
=
=>，故BD 正确.
【详解】
根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，
∴前9项的和最小，故A 正确； ()117917917
217
1702
2a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()11910191019
219
1902
2
a a a S a +⨯⨯=
=
=>，故D 正确； 190a >， 181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确.
故选：ABD . 【点睛】
本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。