高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式选讲》易错题汇编及答案解析

【高中数学】数学《不等式选讲》高考复习知识点
一、14
1．设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001()112
x f x ++<，则这样的零点有（ ） A ．18个 B ．19个
C ．20个
D ．21个
【答案】D 【解析】
从题设可得00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，又
001()sin()sin()(1)222
k f x x k ππ
ππ+=+=+=-，故(1)11k k +-<，当k 取奇数时，
12k <，则1,3,5,7,9,11k =±±±±±±，共12个数；当k 取偶数时，10k <，则
0,2,4,6,8k =±±±±，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D 。

点睛：解答本题的关键是如何理解“设0x 为函数()sin f x x π=的零点”这一题设信息，通过函数零点的概念建立三角方程，进而得到00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，为求解下面的不等式001112x f x ⎛
⎫
++
< ⎪⎝⎭
提供了附加条件，最后运用分类整合的思想使得问题获解。

2．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}
15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）
A ．{}
06a a ≤≤ B ．{}64a a a ≤≥或
C ．{}06a a a ≤≥或
D ．{}24a a ≤≤
【答案】C 【解析】 【分析】
根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。

【详解】
由111x a x a -<⇔-<-<，解得11a x a -<<+，因为A B =∅I ， 所以11a +≤或15a -≥，解得0a ≤或6a ≥，即实数a 的取值范围是
{}06a a a ≤≥或，
故选：C. 【点睛】
本题主要考查集合的交集运算应用以及绝对值不等式的解法。

3．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意结合选项利用特殊值排除选项A ，然后利用数学归纳法证明选项B 正确即可. 【详解】
注意到当2,4a n ==时，2n a n >不成立，则2a =不合题意， 当3a =时，不等式即23n n >， 当1n =时，不等式即31>， 当2n =时，不等式即94>，
下面用数学归纳法证明该式对于*
,3n N n ∈≥成立， 当3n =时，不等式即279>，明显成立， 假设(
)*
3,n k k k N
=≥∈时不等式成立，即23
k
k >,
则当1n k =+时，123333k k k +=⋅>， 而()(
)2
2
2
*
31221k k k k k N
-+=--∈，
结合二次函数的性质可知，当2k >时，22221222210k k -->⨯-⨯->，
故当*
3,k k N ≥∈时，()()2
2
22310,31k k k k -+>>+.
综上可得，23n n >对任意的n 均成立. 则最小正整数a 的值为3. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．若关于x 的不等式2
2
2213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．(],0-∞
C ．(],1-∞
D ．(]
,5-∞ 【答案】C 【解析】 【分析】
先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到
22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得
到关于t 的不等式，解得t 的范围
关于x 的不等式2
2
2213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解， 当0t >时，()2
2
22221
221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥
21t =--，
所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得11
5
t ≤≤-
， 所以01t <≤，
综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选：C. 【点睛】
本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.
5．已知点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标
原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）
A B ．
13
C D 【答案】D 【解析】 【分析】
点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，
||OM =a ，b 关系，代入即可．
【详解】
解：点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，可得22911a b +=，
(,)M a b 为平面上一点，||OM =
所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 22
22
13
b e a =-=，
e =
．
【点睛】
考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．
6．2018年9月24日, 英国数学家M.F 阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动. 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和, 记
222
1111.........,23S n 则（）=+
++++
A ．4
13
S << B ．43
32
S << C ．
3
22
S << D ．2S > 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意利用不等式放缩后裂项确定S 的范围即可. 【详解】
由题意可知：222111123S n =+++++L L
()111123341n n >+++++⨯⨯+L L 11111
1123341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L 13122>+=， 且222111123S n =+++++L L
()111112231n n <+++++⨯⨯-⨯L L 1111
1112231n n L L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
122n L =-+<，
综上可得：
3
22
S <<. 本题选择C 选项. 【点睛】
本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
7．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c +++++ 的最小值为( ) A ．1
B ．3
C ．6
D ．9
【解析】
2221,a b c a b b c c a ++=∴
+++++Q ()1
112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪
+++⎝⎭
()()()()21
111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭
，当且仅当1
3
a b c ===时等号成立，故选D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
8．若关于x 的不等式2|1|30ax x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为 A ．1[,+)6
∞ B ．1[,+)3
∞ C ．1[,+)2∞ D ．1
[
,+)12
∞ 【答案】C 【解析】 【分析】
先将不等式2
130ax x a -++≥变形为213
x a x +≥+，由不等式2
130ax x a -++≥的解集
是(),-∞+∞，可得2
13
x a x +≥+恒成立，因此只需求出
2
13
x x ++的最大值即可.
【详解】
解：不等式2
130ax x a -++≥的解集是(),-∞+∞，
即x R ∀∈，2
130ax x a -++≥恒成立， ∴2211
3
3
x x a x x ++≥
=
++， 令()21
3
x g x x +=
+， 当1x =-时，()0g x =； 当1x ≠-时，
()2
1
143
121
x g x x x x +=
=+++
-+，
若10x +>，则()4
1221
x x ++-≥=+， 当且仅当4
11
x x +=+，即x 1＝时上式“＝”成立； 若x 10+＜，
则()()()441212611x x x x ⎡⎤++-=--++-≤-=-⎢⎥+-+⎢⎥⎣⎦
， 当且仅当()()
4
11x x -+=
-+，即3x =-时上式“＝”成立．
()()
][()4
12,62,1x x ∴++
-∈-∞-⋃+∞+． ()10,2g x ⎛⎤
∴∈ ⎥⎝⎦
．
12
a ∴≥
． 则实数a 的取值范围是1,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查不等式恒成立的问题，由不等式恒成立求参数的范围，通常用分离参数的方法，将不等式转化为参数与一个函数比较大小的形式，只需求出函数的最大值或最小值即可，属于常考题型.
9．若关于x 的不等式23ax -＜的解集为5133x x ⎧⎫
-
<<⎨⎬⎩⎭
，则a =（ ） A ．2- B ．2 C ．3
D ．3-
【答案】D 【解析】 【分析】
由绝对值不等式的性质可知，()22329ax ax -⇔-＜＜，从而可得到()2
29ax -=的两个解为215
1
,33
x x -==，即可求出a 的值. 【详解】
由题意可知0a ≠，()2
2329ax ax -⇔-＜＜，即22450a x ax --<， 故一元二次方程22450a x ax --=的解为2151,33
x x -=
=，
则1212224455,39
a x x x x a a +==-=-=-，解得3a =-. 故答案为D. 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题．
10．若存在x ,∈R ,使2x a 23x 1-+-≤成立,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[]75--，
B ．()57，
C ．[]57，
D ．][()
57∞∞-⋃+，
， 【答案】C 【解析】 【分析】
先利用绝对值三角不等式求223x a x -+-的最小值，即得实数a 的取值范围. 【详解】
由题得223=262|6|x a x x a x a -+--+-≥-， 所以|6|1,161,57a a a -≤∴-≤-≤∴≤≤. 故选C 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式和绝对值不等式的能成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要
条件.
12．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1 B ．
1
3
C ．
12
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
利用柯西不等式得出(
)()()2
222
222111
x y z x y z ++++≥++，于此可得出222
x y z ++
的最小值。

【详解】
由柯西不等式得(
)()()2
222
2
222111
11x
y z x y z ++++≥++==，则22213
x y z ++≥，
当且仅当13x y z ===时，等号成立，因此，222
x y z ++的最小值为13
，故选：B.
【点睛】
本题考查利用柯西不等式求最值，关键在于对代数式朝着定值条件等式去进行配凑，同时也要注意等号成立的条件，属于中等题。

13．不等式2
1x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．5a ≤
B ．5
54a -≤≤
C ．5
74
a -≤≤
D ．7a ≤
【答案】A 【解析】 【分析】
原不等式等价于2
10x x a ---<，设()2
1f x x x a =---，则由题意得
()()350
370
f a f a ⎧-=-≥⎪⎨
=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式2
1x x a <-+的
解集是区间()3,3-的子集，所以()()350
370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩
，解之得5a ≤.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.
14．已知函数()f x 是R 上的增函数，它的图像经过点()0,2A -，()3,2B
，则不等式
()2f x ≥的解集为（ ）
A ．[]0,3
B ．(),3-∞
C ．[)3,+∞
D ．(][),03,-∞⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
首先不等式等价于()2f x ≥或()2f x ≤-，然后再根据函数的单调性解不等式. 【详解】
不等式()()22f x f x ≥⇒≥或()2f x ≤-
Q 函数()f x 是R 上的增函数，它的图像经过点()0,2A -，()3,2B ，
()23f x x ∴≥⇒≥，()20f x x ≤-⇒≤
∴不等式的解集是(][),03,-∞⋃+∞.
故选：D 【点睛】
本题考查根据函数的单调性解不等式，意在考查含绝对值不等的解法，考查基本计算能力，属于基础题型.
15．设不等式3
412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．15a <-或47a >
B ．15a <-
C ．47a >或01a <<
D ．15a <-或1064
a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据不等式3
412
x
x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,取2x =时,可得2
431a ->,解得
15a <-或47a >,利用换元法把不等式换为2
81t a t ->-,分47a >和15a <-两种情况
讨论2
()81h t t t =+-的最大值即可求得实数a 的取值范围.
【详解】
解:因为不等式3
412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,
当2x =时,3
12
x +-有最大值31,不等式显然要成立,
即2
431a ->,解得15a <-或47a >, 当[1,2]x ∈时,令2[2,4]x
t =∈, 则2
4[4,16]x
t =∈,328[16,32]x t +=∈,
所以3
412
x x a +->-等价于2
81t a t ->-,
①当47a >时,即281a t t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即2
81()a t t h t >+-=,
即求2
()81h t t t =+-的最大值,max ()(4)47h t h ==,所以47a >;
②当15a <-时,281t a t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即2
81()a t t f t <-+=,
即求2
()81f t t t =-+的最小值,min ()(4)15f t f ==-;
综上:15a <-或47a >. 故选:A 【点睛】
本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.
16．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=u u u r u u u r
，O 为坐标原点，则
OB 的最大值是（ ）
A 1- B
C 1 D
【答案】C 【解析】 【分析】
设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得2
2
1x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放
. 【详解】
设(),B x y ，则224a c +=，()2
21x y c +-=，
()
2
22251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤+
=+
取等号条件：ay cx =；
令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.
故选：C. 【点睛】
本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.
17．不等式||x x x <的解集是（ ） A ．{|01}x x <<
B ．{|11}x x -<<
C ．{|01x x <<或1}x <-
D ．{|10x x -<<或1}x >
【答案】C 【解析】 【分析】
原不等式即()||10x x -<，等价转化为①010x x >⎧⎨-<⎩，或 ②0
10x x <⎧⎨->⎩
．分别求得①、
②的解集，再取并集，即得所求． 【详解】
解：不等||x x x <，即()||10x x -<，
∴①010x x >⎧⎨-<⎩或 ②010x x <⎧⎨->⎩
． 解①可得01x <<，解②可得1x <-．
把①②的解集取并集，即得原不等式的解集为{|01x x <<或1}x <-，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．
18．不等式33log log x x x x +<+的解集（ ）
A ．(),-∞+∞
B ．()0,1
C ．()1,+∞
D ．()0,∞+ 【答案】B
【解析】
【分析】
依题意知,0x >,32log 0x x <,原不等式等价于3log 0x <,解不等式即可.
【详解】
根据对数的意义可知,0x >, 因为33log log x x x x +<+,
两边同时平方可得,332log 2log x x x x <,
即32log 0x x <,因为0x >,
所以原不等式等价于3log 0x <,
所以原不等式的解集为}{
01x x <<,
故选:B
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法;熟练掌握对数函数的定义域和单调性是求解本题的关键;属于中档题.
19．若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ）
A ．5或8
B ．1-或5
C ．1-或4-
D ．4-或8
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，①当12a ->-时，即2a >，3(1),2
(){1,12
3(1),1a x a x a f x x a x x a x --+≤-
=+--<≤-++>-，则当2
a x =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =或4a =-（舍）；②当12a -<-时，即2a <，3(1),1
(){1,123(1),2
x a x a f x x a x a x a x --+≤-=-+--<≤-++>-，则当2a x =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =（舍）或4a =-；③当12
a -=-时，即2a =，()31f x x =+，此时min ()0f x =，不满足题意，所以8a =或4a =-，故选D.
20．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200 B ．2007 C ．36 D ．40
【答案】B
【解析】
【分析】
根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解.
【详解】
根据柯西不等式得到
()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦
进而得到最小值是：
2007
故答案为B.
【点睛】 这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.。