中学数学 空间几何体 - 拔高难度 - 讲义

空间几何体
知识讲解
一、空间基本概念
1.几何体：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，
球体等．
2.构成几何体的基本元素：点、线、面．
1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A B C ，，来命名；
2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般用
一个小写字母a b l ，，或用直线上两个点AB PQ ，表示；一条直线把平面分成两个部分．
3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；
其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把
它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母αβγ，，来命名，或者用表示它的平面四边
形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面α，平面ABCD 或平面AC ．
一个平面将空间分成两个部分．
3.多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体．
基本内容：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对
D
C B A α
角线．
凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，
则这样的多面体就叫做凸多面体．
4.截 面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的面．
二、棱柱、棱锥和棱台
1.棱柱：
1）棱柱的概念：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．
平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面 叫做棱柱的侧面；
相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与
底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．
2）棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边
形，侧棱平行且相等．
3）棱柱的分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱．底
面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．
4）特殊的四棱柱：
平行六面体 四棱柱
底面是平行四边形 侧棱与
底面垂直 正四棱柱
底面是平行四边形 直平行六面体 底面为
正方形 直四棱柱
侧棱与 底面垂直
底面为 长方形
长方体 底面是正方形
侧面也为
正方形
正方体
棱长都相等的长方体
2.棱锥：
1）棱锥的概念：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高．
2）正棱锥：底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．3.棱台：
1）棱台的概念：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高．
2）棱台的性质：棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例；3）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．
三、圆柱、圆锥和圆台
1.将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．
2.这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示．
3.圆柱、圆锥、圆台的性质：
①平行于底面的截面都是圆；
②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．
四、球与球面
1.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面．半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径．一般用球心的字母表示一个球．
2.球面也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，球体可以看成到空间中一个定点的距离小于等于定长的点的集合．
3.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离．
4.球的截面性质：球的小圆（指不过球心的截面圆）的圆心与球心的连线垂直于小圆所在平
面，有r=r为截面圆的半径，R为球的半径，d为球心到截面圆的距离，即球心与截面圆圆心的距离．
五、平行投影
1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．
F
M
l
F '
M '
α
2.平行投影：
1）概念：已知图形F，直线l与平面α相交，过F上任意一点M作直线MM'平行于l，交平面α于点M'，则点M'叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影（或象）；如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F'，则'F叫做图形F在α内关于直线l的平行投影．平面α叫做投射面，l叫做投射线．
2）性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；
②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
3）正投影：
概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．
性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；
②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．
六、平面图与三视图
1. 三视图：
俯视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；
主视图：一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主视图；左视图：和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．
三视图：将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．
2.直观图：
概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．
画法：斜二测画法和正等测画法：
1）斜二测画法规则：
①在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使
90xOz ∠=︒，90yOz ∠=︒．
（三维空间中） ②画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O x O y O z ''''''，，，使45x O y '''∠=︒或135︒，
90x O z '''∠=︒，x O y '''所确定的平面表示水平平面．
（二维平面上） ③已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴，'y 轴或z ' 轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．
七、空间几何体的表面积
1.直棱柱与圆柱的侧面积：等于它的底面周长和高（母线）的乘积．
S ch =，其中c 为底面的周长，h 为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；
2.正棱锥（圆锥）的侧面积：等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半．
11''22
S ch nah ==，其中a 为底面边长，'h 为斜高； 1π2
S cl rl ==，其中c 为底面周长，r 为圆锥的底面半径，l 为母线长； 3.正棱台（圆台）的侧面积：等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半．
1(')'(')'22
n S c c h a a h =+=+正棱台，其中,'a a 分别是正棱台上下底面的边长，'h 为斜高； 1(')π(')2
S c c l r r l =+=+正棱台，其中,'r r 分别是圆台上下底面的半径，l 为母线长； 4.球面面积：等于它的大圆面积的四倍．24πS R =球，R 为球的半径．
八、空间几何体的体积
1.柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V Sh =柱体，其中S 为底面积，h 为高；
2.棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：13V Sh =棱体，其中S 为底面积，h 为高；
3.台体（棱台，圆台）的体积公式：
1(')3
V h S S =+台体，其中',S S 分别是台体
上，下底面的面积，h 为台体的高；球的体积：34π3
V R =球，R 为球的半径．
经典例题 一．选择题（共1小题） 1．（2018•黄州区校级三模）如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰
Rt △，AB=√2，∠BAD=∠CBD=π2，且二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为5π6
，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）
A ．12π
B ．20π
C ．24π
D ．36π
【解答】解：取CD 中点E ，BD 中点F ，连结BE 、AF 、EF ，
∵四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰Rt △，AB=√2，∠BAD=∠CBD=π
2
，且二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为5π6
， ∴AF ⊥BD ，EF ⊥BD ，∴∠AFE 是二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，∠AFE =5π6，
BD=BC=√2+2=2，CD=√4+4=2√2，CE=DE=√2，AF=BF=DF=EF=1，EF =12BC =1，
则点E 为△BCD 外接圆的圆心，点F 为△ABD 外接圆的圆心，
过点E 作平面BCD 的垂线EO ，过点F 作平面ABD 的垂线FO ，
且直线EO 与直线FO 交于点O ，则点O 为四面体ABCD 外接球的球心， 如下图所示，
易知∠AFO=∠OEF=π2，∠OFE=∠AFE−π2=π3，所以，OF=EF
cos∠OFE=2，所以，OA=√AF2+OF2=√5，则四面体ABCD的外接球半径为√5，
因此，球O的表面积为4π⋅(√5)2=20π，
故选：B．
二．解答题（共11小题）
2．（2018•渭南一模）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC正三角形，点E是SB的中点，且AE⊥平面SBC．
（Ⅰ）证明：SD∥平面ACE；
（Ⅰ）若AB⊥AS，BC=2，求三棱锥S﹣ABC的体积．
【解答】（I ）证明：连接BD 交AC 于O ，连接OE ， ∵底面ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点， 又E 是BS 的中点，
∴OE ∥SD ，又OE ⊂平面ACE ，SD ⊄平面ACE ， ∴SD ∥平面ACE ．
（II ）解：∵AE ⊥平面SBC ，BS ⊂平面SBC ， ∴AE ⊥BS ，又E 为BS 的中点，AB ⊥AS ，
∴△ABS 是等腰直角三角形，
∴AE=12BS=12
BC=1， 又S △SBC =12
×2×2×sin60°=√3， ∴V S ﹣ABC =V A ﹣SBC =13×√3×1=√33
．
3．（2018•江西模拟）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，M 为线段CC 1上的一点，且AC=1，BC=CC 1=2．
（1）求证：AC ⊥B 1M ；
（2）若N 为AB 的中点，若CN ∥平面AB 1M ，求三棱锥M ﹣ACB 1的体积．
【解答】（1）证明：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，
∵AC ⊥CC 1，AC ⊥BC ，CC 1∩BC=C ．
∴AC ⊥平面BB 1C 1C ，则AC ⊥B 1M ；
（2）当M 为CC 1中点时，CN ∥平面AB 1M ．
理由如下：
∵CM=12CC 1，CM ∥BB 1，CM =12BB 1， 取AB 1中点E ，连NE ，ME ，
∵N 、E 分别为AB 、AB 1中点，
∴NE ∥BB 1，NE=12
BB 1， ∴CM ∥NE ，CM=NE ，则四边形CMEN 为平行四边形，
∴CN ∥ME ，又CN ⊄平面AMB 1，ME ⊂平面AMB 1，
∴CN ∥平面AMB 1，
∵S △B 1MC =12CM ⋅BC =1，
∴V M−ACB 1=V A−CMB 1=13S B 1MC ⋅AC =13
．
4．（2018•四川模拟）如图所示，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 是边
长为4的菱形，∠DAB=60°，对角线AC 与BD 相交于O 点，∠ECD=∠ECB ，EC=2√3．
（1）证明：BD ⊥AE ；
（2）若AE=6，问在线段DE 上是否存一点F ，使得三棱锥C ﹣DFO 的体积为√3？若存在，求出DF 的值；若不存在，说明理由．
【解答】证明：（1）连结EO ，∵EO=EC ，∠ECD=∠ECB ，CD=CB ，
∴△ECD ≌△ECB ，ED=EB ，
∵O 为BD 的中点，∴EO ⊥BD ，
又菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC ∩EO=O ，
∴BD ⊥平面ACE ，
∵AE ⊂平面ACE ，∴BD ⊥AE ．
解：（2）由题意得菱形ABCD 中，AO=CO=2√3，BO=DO=2，
∵AE=6，EC=2√3，AC=4√3，
∴AE 2+EC 2=AC 2，∴AE ⊥EC ，
过点E 作EM ⊥AC 于点M ，则EM=√34√3
=3， 由（1）知BD ⊥平面ACE ，
∴BD ⊥EM ，BD ∩AC=O ，∴EM ⊥平面ABCD ，
∴V O ﹣CDE =V E ﹣CDO =13×(12
×2√3×2)×3=2√3， ∵V C ﹣DFO =V O ﹣CDF =√3，
∴V O−CDF V O−CDE =S △CDF S △CDE =DF DE =√32√3=12
， ∴DE=2DF ，
又OE=OA=OC=2√3，OD=2，
∴DE=√(2√3)2
+22=4．
故DF=2．
5．（2018•乐山二模）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PA=AB=2，E 为PA 的中点，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：PC ∥平面EBD ；
（Ⅰ）求三棱锥P ﹣EDC 的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接AC ，BD ，设AC 与BD 相交于点O ，连接OE ． 由题意知，底面ABCD 是菱形，则O 为AC 的中点，
又E 为AP 的中点，∴OE ∥CP ，
∵OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，
∴PC∥平面BDE；
（Ⅰ）解：∵E为PA的中点，
∴S△PCE=12S△PAC=12×12×2√3×2=√3，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又PA∩AC=A，∴DO⊥平面PAC，
即DO是三棱锥D﹣PCE的高，DO=1，
则V P−CDE=V D−PCE=13×√3×1=√33．
6．（2018•广州二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是AB1和BC的中点．
（1）证明：MN∥平面AA1C1C；
（2）若AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，求棱锥C1﹣AMN的高．
【解答】（1）证明：连结A 1B ，CA 1，
∵四边形ABB 1A 1是平行四边形，M 是AB 1的中点，
∴M 是A 1B 的中点，又N 是BC 的中点，
∴MN ∥A 1C ，又MN ⊄平面ACC 1A 1，A 1C ⊂平面ACC 1A 1，
∴MN ∥平面AA 1C 1C ．
（2）解：以A 1为原点，以A 1B 1，A 1A ，A 1C 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则C 1（0，0，1），A （0，2，0），M （12，1，0），N （12，2，12
）， ∴C 1M →=（12，1，﹣1），MA →=（﹣12，1，0），AN →=（12，0，12
）， 设平面AMN 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则n →⋅MA →=0，n →⋅AN →=0，
∴{−12x +y =012
x +12z =0，令y=1，得n →=（2，1，﹣2）， ∴cos ＜C 1M →，n →＞=C 1M →⋅n →|C 1M →||n →|=1+1+232×3=89
． 设直线C 1M 与平面AMN 的夹角为θ，则sinθ=89
， ∴C 1到平面AMN 的距离d=|C 1M |sinθ=32×89=43
． ∴棱锥C 1﹣AMN 的高为43
．
7．（2018•呼和浩特二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，且AB=2AD=2CD，E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；
（Ⅰ）若PC⊥平面ABCD，且PC=3，AB=4，求三棱锥P﹣AEC的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）记PA中点为F，连接EF，DF，
因为点E为PB的中点，所以EF∥AB且EF=12AB
在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ADC=90°，所以CD⊥AB，
而AB=2CD，所以EF∥CD，且EF=CD
所以四边形CDFE为平行四边形，
所以DF∥CE，而DF⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
所以CE∥平面PAD；
解：（Ⅰ）因为PC⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC
因为四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD=CD=2，
所以AC=√AD2+AC2=2√2
在直角梯形ABCD中，由题意得BC=2√2，
所以有AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC
而PC∩BC=C，所以AC⊥平面PBC
所以三棱锥P﹣AEC可以看作以AC为高，△PCE为底面计算体积，
所以S△PCE=12S△PCB=12⋅12⋅PC⋅BC=3√22
所以三棱锥P﹣AEC的体积．V P−AEC=V A−PEC=13⋅S△PEC⋅AC=13⋅3√22⋅2√2=2．
8．（2018•杨浦区二模）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．
（1）求证：DA1⊥ED1；
（2）若直线DA1与平面CED1所成的角是45°，请你确定点E的位置，并证明你的结论．
【解答】证明：（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标
则D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），D 1（0，1，2），A 1（1，0，1），
设E （1，m ，0），（0≤m ≤1），
DA 1→=（1，0，1），ED 1→
=（﹣1，﹣m ，1），
DA 1→•ED 1→=1×（﹣1）+0×（﹣m ）+1×1=0，
∴DA 1⊥ED 1．
解：（2）直线DA 1与平面CED 1所成的角是45°时，点E 在线段AB 的中点处． 证明如下：
D （0，0，0），A 1（1，0，1），C （0，1，0），D 1（0，0，1），
设AE=t ，则E （1，t ，0），
CE →=（1，t ﹣1，0），CD 1→=（0，﹣1，1），DA 1→=（1，0，1），
设平面CED 1的法向量n →=（x ，y ，z ），
则{n →⋅CE →=x +(t −1)y =0n →⋅CD →=−y +z =0，取y=1，得n →=（1﹣t ，1，1）， ∵直线DA 1与平面CED 1所成的角是45°，
∴sin45°=|DA 1→⋅n →||DA 1→|⋅|n →|=√2⋅√2+(1−t)2，
由0＜t＜1，解得t=1
，
2
∴直线DA1与平面CED1所成的角是45°时，点E在线段AB的中点处．
9．（2018•朝阳三模）如图，在△PBE中，AB⊥PE，D是AE的中点，C是线段BE 上的一点，且AC=√5，AB=AP=12AE=2，将△PBA沿AB折起使得二面角P ﹣AB﹣E是直二面角．
（1）求证：CD∥平面PAB；
（2）求三棱锥E﹣PAC的体积．
【解答】证明：（1）因为1
AE=2，所以AE=4
2
又AB=2，AB⊥PE，
所以BE=√AB2+AE2=√22+42=2√5
又因为AC=√5=12BE
所以AC是Rt△ABE的斜边BE上的中线，所以C是BE的中点，
又因为CD是△ABE的中位线，
所以CD∥AB
又因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．
解：（2）由（1）求解知，直线CD是Rt△ABE的中位线，
所以CD=12AB=1，
因为二面角P﹣AB﹣E是直二面角，平面PAB∩平面EAB=AB，AB⊂平面PAB，PA ⊥AB，
所以PA⊥平面ABE，
又因为AP=2，
所以V E−PAC=V P−ACE=13×12×AE×CD×AP=13×12×4×1×2=43．
10．（2018•道里区校级二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，PA的中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；
（2）求三棱锥P﹣EFB的体积．
【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，
在△BCH中，有BH=CH=1，∴∠BCH=45°．
又在△DAB中，有AD=AB=1，∴∠ADB=45°．
∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°．∴BC⊥BD．
∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PD⊂平面PCD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，
∴BC⊥平面PBD，
又BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD；
（2）解：∵AB∥CD，且AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，则CD∥平面PAB，
，即D到平面PAB的距在Rt△PDA中，由AD=PD=1，可得D到PA的距离为√2
2
离为√2
．
2
．
又E为PC的中点，可得E到平面PAB的距离为√2
4
在Rt△PAB中，由AB=1，PA=√2，且F为PA的中点，可得S△PBF=12S△PAB=√24．∴V P−EFB=V E−PBF=13×√24×√24=124．
11．（2018•玉溪一模）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，F为AD的中点，E为BC 的中点，M是棱PC的中点，AB=4．
（Ⅰ）求证：直线PA∥平面MFE；
（Ⅰ）若PC=2√5，求三棱锥P﹣MFE的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为正方形，且F为AD的中点，E为BC的中点，
∴EF∥AB，得EF∥平面PAB，
∵E为BC的中点，M是棱PC的中点，
∴EM∥PB，则EM∥平面PAB，
又EF∩EM=E，
∴平面PAB∥平面MEF，则直线PA∥平面MFE；
（Ⅰ）解：在正三棱锥P﹣ABCD中，
由AB=4，PC=2√5，
得正四棱锥的高h=√(2√5)2−(2√2)2=2√3．
∵M为棱PC的中点，
∴P到平面MEF与C到平面MEF的距离相等，
则V P﹣MEF=V C﹣MEF．
又V C−MEF=V M−CEF=12V M−FECD=14V P−FECD=1
8V P−ABCD=
1
8
×
1
3
×16×
2√3=4√33．
∴三棱锥P﹣MFE的体积是4√3 3
．
12．（2018•广元模拟）如图，△ABC 是以∠ABC 为直角的三角形，SA ⊥平面ABC ，SA=BC=2，AB=4，M ，N 分别是SC ，AB 的中点．
（1）求证：MN ⊥AB ；
（2）D 为线段BC 上的点，当二面角S ﹣ND ﹣A 的余弦值为√66
时，求三棱锥D ﹣SNC 的体积．
【解答】证明：（1）以B 为坐标原点，BC ，BA 为x ，y 轴的正方向，
垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，
由题意得A （0，4，0），B （0，0，0），M （1，2，1），N （0，2，0），S （0，4，
2），D （1，0，0），
∴MN →=（﹣1，0，﹣1），AB →
=（0，﹣4，0），
∵MN →⋅AB →=0，
∴MN ⊥AB ．
解：（2）设平面SND 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），
设D （m ，0，0），（0≤m ≤2），SN →=（0，﹣2，﹣2），DN →=（﹣m ，2，0），
∴{SN →⋅n →
=−2y −2z =0DN →⋅n →=−mx +2y =0，令y=m ，得m →=（2，m ，﹣m ）， 又平面AND 的法向量为n →=（0，0，1），
cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →
|m →|⋅|n →|=√66， 解得m=1，即D 为BC 中点． ∴三棱锥D ﹣SNC 的体积：
V D ﹣SNC =V S ﹣DNC =13
×S △DNS ×SA =13×2×12×2×1=23
．。