关于完全平方数的一个性质

关于完全平方数的一个性质
董祥南
【摘要】运用不定方程的理论讨论了完全平方数的一个基本性质，得到了关于完全平方数的几个重要定理。

%In this paper some basic properties of perfect square numbers was discussed by the theory of inde-terminate equations,and we obtained several important theorem about the perfect square numbers.
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】2016(032)006
【总页数】9页(P574-582)
【关键词】不定方程;完全平方数问题;同余;Legendre符号
【作者】董祥南
【作者单位】江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌 330022
【正文语种】中文
【中图分类】O156.4
在自然数中,1,4,9,···,n2···是一类很重要的整数,称为完全平方数,古代人从几何图形的角度称其为正方形数-形数的一种[1-4],对这类整数从古代至今已有许多的研究,所得的结论常被用于数列,不定方程和密码信息学的算法分析等问题,例如十八世纪法国的Lagrange就建立了关于完全平方数的一条重要的著名定理[1]：每一个正整数都能表示成至多四个整数的平方和.它用不定方程的术语可以叙述为,对于任意
的n∈N,不定方程
都存在整数解组.本文对完全平方数作了一些简单而基本的讨论,得到了一些这类数的基本性质.具体来讲,研究了如下的问题1：
问题1[5]设n≥2是正整数,n个连续的整数的平方和是完全平方数吗?
注 2.1首先考虑n≥3是奇素数p的情况,此时的问题1是讨论如下不定方程,
是否存在整数解组(x,y).利用公式
上面的不定方程可以化为
从而归结为不定方程,令y=pz,
定理2.1设p＞2是素数,p=12n+1,则从而有,
定理2.2设p＞2是素数,p=12n+5,n是偶数,则
推论2.1设p≡5(mod 24)是素数,则p个连续整数的平方和不可能是完全平方数. 注 2.2由推论2.1,当
p=5,29,53,101,149,173,197,293,317,389,461,509,557,653,···时,p个连续整数的平方和不可能是完全平方数.
定理2.3设p＞2是素数,p=12n+7,n是奇数,则
推论2.2设p≡19(mod 24)是素数,则p个连续整数的平方和不可能是完全平方数. 证明与推论2.1的证明完全类似,此处略.
注2.3由推论2.2可知,当
p=19,43,67,139,163,211,283,307,331,379,499,523,547,571,619,···时,p个连续整数的平方和不可能是完全平方数.
和上面一样讨论,我们也可以得到下列结论：
定理2.4设p＞2是素数,
推论2.3设p＞2是素数,p≡41(mod 48)或p≡17(mod 192),则p个连续整数的平方和不可能是完全平方数.
注 2.4由推论2.3,当p=41,89,137,233,281,521,569,617,···或
p=17,401,593,···时,p个连续整数的平方和不可能是完全平方数.
定理2.5设p＞2是素数,p≡7(mod 48),则
推论2.4设p＞2是素数,p≡7(mod 48),则p个连续整数的平方和不可能是完全平方数.
注 2.5由推论2.4,当p=7,103,151,199,439,487,631,···时,p个连续整数的平方和不可能是完全平方数.
注 2.6由上面的讨论我们可以看出,对许多的奇素数p＞2,p个连续整数的平方和不可能是完全平方数,似乎有理由提出如下的猜测：设p是任意奇素数,则p个连续整数的平方和不可能是完全平方数.遗憾的是,这个猜测是不正确的,我们已经发现了如下的一些反例,
另一方面,用模3分类的方法可以证明3个连续整数的平方和不可能是完全平方数(比前面的方法更简单),也同样可以证明
p=13,31,79,107,113,127,223,257,271,311,353,367,463时,p个连续整数的平方和不可能是完全平方数,但是因
p=3,13,31,79,107,113,127,223,257,271,311,353,367,463这几个素数却不在上面几个定理中讨论的素数p的范围内,因此,除了推论2.1,推论2.2,推论2.3以及推论2.4中的那些素数外,在剩余的素数中,还有哪些素数p,使得p个连续整数的平方和不可能是完全平方数?更具体地来讲,在300以内的素数中,在p=
23,37,47,59,61,71,73,83,97,109,131,157,167,179,181,191,193,227,229,239,24 1,251,263,277这24个素数中,哪几个素数p使得p个连续整数的平方和不可能是完全平方数?这是一个有意义的值得进一步研究讨论的问题.
下面考虑问题1中n不是素数p的情形.
定理3.1设p≡5(mod 24)是素数,则p3个连续整数的平方和不可能是完全平方数.
定理3.2设p≡19(mod 24)是素数,则p3个连续整数的平方和不可能是完全平方数. 注3.1由定理3.1可知,当
p=5,29,53,101,149,173,197,269,293,317,389,461,509,557,653,···时,p3个连续整数的平方和不可能是完全平方数.
注3.2由定理3.2可知,当
p=19,43,67,139,163,211,283,307,331,379,499,523,547,571,619,···时,p3个连续整数的平方和不可能是完全平方数.
完全类似地,可以证明：
定理3.3设p≡7(mod 48)是素数,则p3个连续整数的平方和不可能是完全平方数. 定理3.4设p≡41(mod 48)是素数,则p3个连续整数的平方和不可能是完全平方数. 注 3.3由定理3.3可知,当p=7,103,151,199,487,631,···时,p3个连续整数的平方
和不可能是完全平方数.
注 3.4由定理3.4可知,当p=41,89,137,233,281,521,569,617,···时,p3个连续整
数的平方和不可能是完全平方数.
定理3.5设p≡17(mod 192)是素数,则p3个连续整数的平方和不可能是完全平方数.
注 3.5由定理3.5可知,当p=17,401,593,···时,p3个连续整数的平方和不可能是完全平方数.
再次,设p和q是两个不相等的奇素数,令
则
是2t+1个连续的整数,如果其平方和是完全平方数,则和前面一样处理可以导出不定方程,
直接计算可得,
定理3.6设p是奇素数,p满足下列条件之一,
q是不等于p的奇素数,则pq个连续整数的平方和不可能是完全平方数.
定理3.7设定理3.6中p,q位置互换,则定理结论任然成立.
注 3.6设p≡5(mod 24)是奇素数,即p=24n+5,则令
则有
这连续的2t+1=p2个整数的平方和是整数y的平方,即有
这说明当p≡5(mod 24)时,p2个连续整数的平方和可以是某个整数的平方.
参考文献
[1]闵嗣鹤,严士键.初等数论[M].2版.北京：高等教育出版社,1982.
[2]Silverman J H.数论概貌[M].3版.北京：机械工业出版社,2008.
[3]柯召,孙琦.数论讲义：上册[M].北京：高等教育出版社,2001.
[4]Rosen K H.初等数论及其应用[M].5版.夏鸿刚,译.北京：机械工业出版社,2009.
[5]董祥南.关于模椭圆曲线上的格点计算[J].江西科学,2014,32(2)：202-266.
[6]南开大学数学系.世界数学奥林匹克解题大辞典[M].石家庄：河北少年儿童出版社,2012.
[7]Chen J H,Paul plete solution of the Diophantine equation
X2+1=dY4and a related family of quartic Tude equations[J].J.Number Theory,1997,62(1)：71-99.
[8]Walsh G.A note on a theorems of Ljunggren and the Diophantine equations x2-kxy2+y4=1[J].Arch.Math.,1999,73(2)：119-125.。