2019年高考数学压轴题突破训练及答案

2019年高考数学压轴题突破训练及答案
1．设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合：
①
;2
12
++≤+n n n a a a ②,.*N n M a n ∈≤其中M 是与n 无关的常数. （1）若{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，a 3=4，S 3=18，证明：{S n }∈W
（2）设数列{b n }的通项为W b n b n n
n ∈-=}{,25且，求M 的取值范围；
（3）设数列{c n }的各项均为正整数，且1.}{+≤∈n n n c c W c 证明：
2．数列{}n a 和数列{}n b （n ∈+N ）由下列条件确定： （1）10a <，10b >；
（2）当2k ≥时，k a 与k b 满足如下条件：当1102k k a b --+≥时，1k k a a -=，112
k k k a b
b --+=；当
1102k k a b --+<时，112k k k a b
a --+=，1k k
b b -=. 解答下列问题：
（Ⅰ）证明数列{}k k a b -是等比数列；
（Ⅱ）记数列{}()k n n b a -的前n 项和为n S ，若已知当1a >时，lim 0n
n n
a →∞=，求lim n n S →∞. （Ⅲ）(2)n n ≥是满足12n
b b b >>>的最大整数时，用1a ，1b 表示n 满足的条件.
3. 已知函数()()1
ln ,0,f x x ax x x
=+
+∈+∞ (a 为实常数)． (1) 当a = 0时，求()f x 的最小值；
(2)若()f x 在[2,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围； (3)设各项为正的无穷数列}{n x 满足()*1
1
ln 1,n n x n N x ++<∈ 证明：n x ≤1(n ∈N *)．
4.设函数3
2
()f x x ax bx =++(0)x >的图象与直线4y =相切于(1,4)M ． （Ⅰ）求3
2
()f x x ax bx =++在区间(0,4]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）是否存在两个不等正数,s t ()s t <，当[,]x s t ∈时，函数3
2
()f x x ax bx =++的值域也是[,]s t ，若存在，求出所有这样的正数,s t ；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设存在两个不等正数,s t ()s t <，当[,]x s t ∈时，函数3
2()f x x ax bx =++的值域是[,]ks kt ，求正数k 的取值范围．
5. 已知数列{}n a 中，11a =，()
*1122(...)n n na a a a n N +=+++∈． （1）求234,,a a a ；
（2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）设数列{}n b 满足21111,2n n n k
b b b b a +==+，求证：1()
n b n k <≤
6、设函数()()()x x x f +-+=1ln 212
.
(1)求()x f 的单调区间;
(2)若当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--∈1,11
e e x 时,(其中 718.2=e )不等式()m x
f <恒成立,求实数m 的取值范围;
(3)试讨论关于x 的方程:()a x x x f ++=2
在区间[]2,0上的根的个数.
7、已知2()(2,)f x x ax a a x R =++≤∈，()x g x e -=，()()()x f x g x Φ=⋅. （1）当1a =时，求()x Φ的单调区间；
（2）求()g x 在点(0,1)处的切线与直线1x =及曲线()g x 所围成的封闭图形的面积；
（3）是否存在实数a ，使()x Φ的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理
由.
8、已知椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 的离心率为33，直线l ：y=x+2与以原点为圆心、
椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切。

（1）求椭圆C 1的方程；
（2）设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线l 1过点F 1，且垂直于椭圆的长轴，动
直线l 2垂直于l 1，垂足为点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程； （3）设C 2与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在C 2上，且 满足0=⋅RS QR ， 求||的取值范围。

9、已知F 1,F 2是椭圆C: 22
221x y a b
+=（a>b>0）的左、右焦点，点P (在椭圆上，
线段PF 2与y 轴的交点M 满足20PM F M +=。

（1）求椭圆C 的方程。

（2）椭圆C 上任一动点M 00(,)x y 关于直线y=2x 的对称点为M 1（x 1,y 1）,求3x 1-4y 1的取值范围。

10、已知C B A ,,均在椭圆)1(1:2
22>=+a y a
x M 上，直线AB 、AC 分别过椭圆的左右焦
点1F 、2F ，当120AC F F ⋅=时，有2
1219AF AF AF =⋅. (Ⅰ)求椭圆M 的方程;
(Ⅱ)设P 是椭圆M 上的任一点，EF 为圆()12:2
2
=-+y x N 的任一条直径，求PF
PE ⋅的最大值.
参考答案：
1.（本小题满分16分）
（1）解：设等差数列{a n }的公差是d ，则a 1+2d=4，3a 1+3d=18，解得a 1=8，d=－2，
所以n n d n n na S n 92
)
1(21+-=-+=……………………………………2分 由)]1(18)1(2)2(9)2()9[(2
1
222212+-+++++-+-=-+++n n n n n n S S S n n n =－1＜0
得
,2
12
++<+n n n S S S 适合条件①； 又4
81
)2
9(92
2
+
--=+-=n n n S n 所以当n=4或5时，S n 取得最大值20，即S n ≤20，适合条件②
综上，{S n }∈W ………………………………………………4分
（2）解：因为n
n n n n n n b b 25252)1(511-=+--+=-++
所以当n ≥3时，01<-+n n b b ，此时数列{b n }单调递减；
当n =1，2时，01>-+n n b b ，即b 1＜b 2＜b 3，因此数列{b n }中的最大项是b 3=7 所以M ≥7………………………………………………8分 （3）解：假设存在正整数k ，使得1+>k k c c 成立
由数列{c n }的各项均为正整数，可得1111-≤+≥++k k k k c c c c 即
因为
2)1(22,2
1212
-=--≤-≤≤+++++k k k k k k k k k c c c c c c c c c 所以
由1,2,2121122112-≤=-<>-≤+++++++++k k k k k k k k k k k c c c c c c c c c c c 故得及 因
为
32)1(22,2
11112323
1-≤-=--≤-≤≤++++++++++k k k k k k k k k k c c c c c c c c c c 所以 ……………………依次类推，可得)(*
N m m c c k m k ∈-≤+
设0),(*=-≤=∈=+p c c p m N p p c k p k k 时，有则当 这显然与数列{c n }的各项均为正整数矛盾！
所以假设不成立，即对于任意n ∈N *
,都有1+≤n n c c 成立.( 16分)
2．（本题满分14分）数列{}n a 和数列{}n b （n ∈+N ）由下列条件确定： （1）10a <，10b >；（2）当2k ≥时，k a 与k b 满足如下条件：当
11
02
k k a b --+≥时，1k k a a -=，112k k k a b b --+=
；当1102k k a b --+<时，112
k k k a b
a --+=，1k k
b b -=. 解答下列问题：（Ⅰ）证明数列{}k k a b -是等比数列；
（Ⅱ）记数列{}()k n n b a -的前n 项和为n S ，若已知当1a >时，lim 0n
n n
a →∞=，求lim n n S →∞. （Ⅲ）(2)n n ≥是满足12n
b b b >>>的最大整数时，用1a ，1b 表示n 满足的条件.
解：（Ⅰ）当
1102
k k a b --+≥时，111111
()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-，
当1102
k k a b --+<时，111111
()22k k k k k k k a b b a b b a -----+-=-=-，
所以不论哪种情况，都有111
()2
k k k k b a b a ---=-，又显然110b a ->，故数列{}k k a b -是等
比数列.…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1111()()2n n n b a b a --=-，故111()()2
n n n n
n b a b a --=-⋅，
11221231()(1)
2222
n n n n n
S b a ---=-+++++，所以1123111231()()222222
n n n n n S b a --=-+++++
所以113
11111()(1)22222n n n n S b a -=-++++
-，11
12()[4(1)]22n n n
n
S b a =---，…（7分） 又当1a >时，lim 0n
n n
a →∞=，故11lim 4()n n S
b a →∞=-.（8分） （Ⅲ）当12(2)n b b b n >>>≥时，1k k b b -≠(2)k n ≤≤，由（2）知
11
02
k k a b --+<不成立，故
1102k k a b --+≥，从而对于2k n ≤≤，有1k k a a -=，112
k k k a b
b --+=，于是11n n a a a -===，
故11111
()()2
n n b a b a -=+-，…………（10分）
11111111111[()()]()().2222n n n n a b a a b a a b a -+⎧⎫
=++-=+-⎨⎬⎩⎭若02n n a b +≥，则12n n n a b b ++=， 1111111111111()()()()()()0222n n n n n b b a b a a b a b a -+⎧
⎫⎧⎫-=+--+-=--<⎨⎬⎨⎬⎩
⎭⎩⎭，所以1n n b b +>，这
与n 是满足12(2)n b b b n >>>≥的最大整数矛盾.因此n 是满足
02
n n
a b +<的最小整数.（
12分） 而
1111111211
1
0()()02log 22n n n n a b b a a b a b a n a a +--<⇔+-<⇔<⇔<-， 因而，n 是满足11
2
1
log a b n a -<的最小整数.（14分） 3. (1)2
221
11)(x x ax a x x x f -+=+-='
当a ≥0时，12-+x ax 在[2，＋∞)上恒大于零，即0)(>'x f ，符合要求； 2
分
当a ＜0时，令1)(2-+=x ax x g ，g (x )在[2，＋∞)上只能恒小于零 故△＝1＋4a ≤0或⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
≤-≤>+221
0)2(0
41a
g a ，解得：a ≤41-
∴a 的取值范围是)0[]4
1
(∞+--∞，，
6
分
(2)a = 0时，2
1
)(x
x x f -=
'
当0＜x ＜1时0)(<'x f ，当x ＞1时0)(>'x f ，∴1)1()(min ==f x f 8
分
(3)反证法：假设x 1 = b ＞1，由1
1
ln 1ln )2(++
>≥+n n n n x x x b b x ， ∴
)(1
ln *1
N ∈+>+n x b x b n n 故 >+++>++>+>=)1
(ln 1ln ln )1(ln 1ln 1ln 14
2321x b b b b b x b b b x b x b
b b b b b b n ln 111ln )1111(2-=
+++++> ，即1ln 111
<-b b
① 又由(2)当b ＞1时，11
ln >+b b ，∴1ln 11111ln >-⇒
->b b
b b 与①矛盾，故b ≤1，即x 1≤1，同理可证x 2≤1，x 3≤1，…，x n ≤1(n ∈N *
) 14分
4．解：（Ⅰ）2
'()32f x x ax b =++。

依题意则有：
(1)4'(1)0f f =⎧⎨=⎩，所以14320a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得69
a b =-⎧⎨
=⎩，所以32
()69f x x x x =-+； 2'()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--，由'()0f x =可得1x =或3x =。

'(),()f x f x 在区间(0,4]上的变化情况为：
所以函数3
2
()69f x x x x =-+在区间[0,4]上的最大值是4，最小值是0。

（Ⅱ）由函数的定义域是正数知，0s >，故极值点(3,0)不在区间[,]s t 上；
（1）若极值点(1,4)M 在区间[,]s t ，此时013s t <<≤≤，在此区间上()f x 的最大
值是4，不可能等于t ；故在区间[,]s t 上没有极值点；
（2）若3
2
()69f x x x x =-+在[,]s t 上单调增，即01s t <<≤或3s t <<，
则()()f s s f t t =⎧⎨=⎩，即32
32
6969s s s s
t t t t
⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得24s t =⎧⎨=⎩不合要求；
（3）若32
()69f x x x x =-+在[,]s t 上单调减，即13s t <≤≤，则()()f s t
f t s
=⎧⎨
=⎩，
两式相减并除s t -得：2
()6()100s t s t st +-+-+=， ① 两式相除并开方可得2
2
[(3)][(3)]s s t t -=-，
即(3)(3)s s t t -=-，整理并除以s t -得：3s t +=， ②
则①、②可得31
s t st +=⎧⎨
=⎩，即,s t 是方程2
310x x -+=的两根，
即存在s =
t =满足要求； （Ⅲ）同（Ⅱ），极值点(3,0)不可能在区间[,]s t 上；
（1）若极值点(1,4)M 在区间[,]s t ，此时013s t <<≤≤，
故有①⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩0134()()()s t kt ks f s f s f t <<==≤≤≤或②⎧
⎪⎪⎨
⎪
⎪⎩
0134
()()()
s t kt ks f t f s f t <<==≤≤≥
①由4k t =
，13t <≤知，4(,4]3
k ∈，当且仅当1t =时，4k =； 再由2
(3)k s =-，01s <≤知，[4,9]k ∈，当且仅当1s =时，4k = 由于s t ≠，故不存在满足要求的k 值。

②由21(3)()()[]42
t t t s f t f t k -=
==，及01s <≤可解得23t <≤，
所以4k t =
，23t <≤知，4
(,2]3k ∈； 即当4(,2]3k ∈时，存在4[2,3)t k =∈，2
1(3)()()[](0,1]42
t t t s f t f t k -===∈，
且4
()4()()f s s f t f t k
=>≥，满足要求。

（2）若函数()f x 在区间[,]s t 单调递增，则01s t <<≤或3s t <<，
且()()f s ks f t kt
=⎧⎨
=⎩，故,s t 是方程2
69x x k -+=的两根，
由于此方程两根之和为3，故[,]s t 不可能同在一个单调增区间；
（3）若函数()f x 在区间[,]s t 单调递减，即13s t <≤≤，()()f s kt
f t ks =⎧⎨
=⎩
， 两式相除并整理得2
2
2
2
(3)(3)s s t t -=-，由13s t <<<知(3)(3)s s t t -=-，即
3s t +=，
再
将
两
式
相
减
并除以
s t
-得，
22()6()9k s st t s t -=++-++2
()6()9s
t s t s t
=+-++-st =-， 即29(
)24s t k st +=<=。

即9
(0,)4
k ∈，,s t 是方程230x x k -+=的两根，
即存在s =
s =满足要求。

综上可得，当9
04
k <<
时，存在两个不等正数,s t ()s t <，使[,]x s t ∈时，函数32()69f x x x x =-+的值域恰好是[,]ks kt 。

5．解：（1）2342,3,4a a a ===
（2）1122(...)n n na a a a +=+++ ○1
121(1)2(...)n n n a a a a --=+++ ○2
○1—○2得1(1)2n n n na n a a +--=，
即：1(1)n n na n a +=+，11
n n a n a n
++= 所以321
12123...1...(2)121n n n a a a n
a a n n a a a n -===≥-，
所以*()n a n n N =∈ （3）由（2）得：2
111111,...02n n n n n b b b b b b b k
+-=
=+>>>>>， 所以{}n b 是单调递增数列，故要证：1()n b n k <≤只需证1k b <
若1k =，则1112b =
<显然成立；若2k ≥，则21111n n n n n n b b b b b b k k ++=+<+，
所以111
1
n n b b k
+->-，
因此：
121111111111
()...()2k k k k k b b b b b b k k
--+=-++-+>-+= 所以11k k
b k <
<+，
所以1()n b n k <≤。

6、（1）函数的定义域为(),,1+∞-()()()1221112++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+-+='x x x x x x f . 1分
由()0>'x f 得0>x ; 2分 由()0<'x f 得01<<-x , 3分
则增区间为()+∞,0,减区间为()0,1-. 4分 (2)令()(),0122=++=
'x x x x f 得0=x ,由(1)知()x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0,11e 上递减,在[]1,0-e 上递增,
6分 由,21
112+=⎪⎭⎫
⎝⎛-e
e f ()212-=-e e f ,且21222+>-e e , 8分
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--∈∴1,11e e x 时,()x f 的最大值为22-e ,故22->e m 时,不等式()m x f <恒成立.
9分
(3)方程(),2
a x x x f ++=即()a x x =+-+1ln 21.记()()x x x g +-+=1ln 21,则
()1
1
121+-=
+-
='x x x x g .由()0>'x g 得1>x ;由()0<'x g 得11<<-x . 所以()x g 在[]1,0上递减;在[]2,1上递增.
而()()()3ln 232,2ln 221,10-=-==g g g ,()()()120g g g >>∴ 10分 所以,当1>a 时,方程无解;
当13ln 23≤<-a 时，方程有一个解;
当3ln 232ln 22-≤<-a 时,方程有两个解; 当2ln 22-=a 时,方程有一个解;
当2ln 22-<a 时,方程无解. 13分 综上所述,()()2ln 22,,1-∞-+∞∈ a 时,方程无解;
(]1,3ln 23-∈a 或2ln 22-=a 时,方程有唯一解;
]3ln 23,2ln 2(--∈a 时,方程有两个不等的解. 14分
7、解：（1）当221,()(1),
'()()x x a x x x e x e x x --=Φ=++Φ=-+时.…（1分）
'()0,01;'()0,10.x x x x x Φ><<Φ<><当时当时或 ……（3分） ∴()x Φ的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：(,0)-∞，(1,)+∞. ……（4分）
（2）切线的斜率为0'(0)|1x x k g e -===-=-，
∴ 切线方程为1y x =-+.……（6分）
所求封闭图形面积为
1121000111[(1)](1)()|22x x x S e x dx e x dx e x x e ---=--+=+-=-+-=-⎰⎰. ……（8分）
（3）22'()(2)()[(2)]x x x x x a e e x ax a e x a x ---Φ=+-++=-+-， ……（9分）
令'()0,02x x x a Φ===-得或. ……（10分）
由表可知，()(2)(4)x a a e Φ=Φ-=-极大. ……（12分） 设22()(4),'()(3)0a a a a e a a e μμ--=-=->， ∴()(,2)a μ-∞在上是增函数，……（13分）
∴ ()(2)23a μμ≤=<，即2(4)3a a e --≠，
∴不存在实数a ，使()x Φ极大值为3. (14)
8、解：（1）由;32
1,3322=-==e a
b e 得 （2分） 由直线3,2,.||2
2,02:2
2
2
====+=+-a b b b y x y x l 所以得
相切与圆
所以椭圆的方程是.12
32
2=+y x （4分）
（2）由条件，知|MF 2|=|MP|。

即动点M 到定点F 2的距离等于它到直线1:1-=x l 的距离，由抛物线的定义得点M 的轨迹C 2的方程是x y 42
=。

（8分）
（3）由（2），知Q （0，0）。

设),4
(),,4(),,4(12
122
2121y y y y S y y R =所以
)
12().4,256(6432256232256)
10(16
,.
0)(16
)
(,0).
,4
(121
2
121212211221121212
221122
122分时等号成立即当且仅当分化简得因为得由 ±===+≥++
=∴--=≠=-+-=⋅--=y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y
.64,64)8(4
1)4(||2
222222222≥-+=+=y y y y
所以当.58||,8,64min 22
2=±==y y 时即
故||的取值范围是[)
∞+.58。

9、解：（1）由已知，点
P (在椭圆上 ∴有22
21
1a b += ①┉┉┉┉┉┉┉┉1分 又
20PM F M +=，M 在y 轴上，
∴M 为P 、F 2的中点，┉┉┉┉┉┉┉┉2分
∴0,c c ==
┉┉┉┉┉┉┉┉3分
∴由2
2
2a b -=， ②┉┉┉┉┉┉┉┉4分 解①②,解得2
2b =（2
1b =-舍去），∴2
4a =
故所求椭圆C 的方程为22
142
x y +=。

┉┉┉┉┉┉┉┉6分 （2）∵点00(,)M x y 关于直线2y x =的对称点为111(,)M x y ，
∴01
01
010121,2.22
y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩┉┉┉┉┉┉┉┉8分 解得001001435345y x x y x y -⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
┉┉┉┉┉┉┉┉10分
∴110345.x y x -=-┉┉┉┉┉┉┉┉11分
∵点P 00(,)x y 在椭圆C:22
142
x y +=上，∴022,x -≤≤∴010510x -≤-≤。

即1134x y -的取值范围为［－10，10］。

┉┉┉┉┉┉┉┉12分 10、解:(Ⅰ)因为120AC F F ⋅=，所以有12AC F F ⊥
所以12AF F ∆为直角三角形；1122cos AF F AF AF ∴∠=…………………………2分 则有2
2
212121221199cos 9AF AF AF AF F AF AF AF AF ⋅
=∠
===
所以，123AF AF =…………………………3分 a 2=+，123,22
a a
AF AF ∴=
=………………………4分 在12AF F ∆中有2
2
2
1212AF AF F F =+
即)1(42232
2
2-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a ，解得22=a 所求椭圆M 方程为12
22
=+y x …………………………6分 (Ⅱ)()()
NP NF NP NE PF PE -⋅-=⋅
()()()
12
22-=--=-⋅--=
从而将求⋅的最大值转化为求2
NP 的最大值…………………………8分
P 是椭圆M 上的任一点，设()00,y x P ，则有12
202
0=+y x 即2
02022y x -=
又()2,0N ，所以()()10222
02
02
02
+--=-+=y y x ………………………10分
而[]1,10-∈y ,所以当10=y 时，2
取最大值9 故⋅的最大值为8…………………………12分。