函数近似计算的插值法Hermite插值法PPT课件

x x0 x1 x0
2
将以上结果代入
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H3( x) f00( x) f11( x) f00( x) f11( x) 得两个节点的三次Hermite插值公式
H3( x) f00( x) f11( x) f00( x) f11( x)
f0 (1 2l1( x)) l02( x) f1(1 2l0( x)) l12( x)
x0 x1
以上分析都能成立吗？
当f (4) (x)在[x0 , x1]上存在时, 上述余项公式成立
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Hermite插值法定理1 满足插值条件:
Hn1( xi ) Hn1( xi )
yi yi
f f
( xi ) , ( xi )
i 0,1,
,n
Hermite值问题的解存在且唯一.
Hermite插值法定理2
P( xi ) f ( xi ) fi P( xi ) f (xi ) fi P( xi ) f ( xi ) fi
i 0,1,, n --------(2)
P(m) ( xi )
f (m) ( xi )
f (m) i
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定义1. 称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值， 称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项 式，记为 Hk (,x) 为k多项式次数.
f0( x x0 ) l02 ( x) f1( x x1) l12 ( x)
f0 1 2
x x0 x1 x0
x x1 x0 x1
2
f1
1
2
x x0
x1 x1
x x1
x0 x0
2
f0 x
x0
x x0
x1 x1
2
f1
x
x1
x x0 x1 x0
2
9
二、两点三次Hermite插值的余项
其中 0(x0 ) 1 0(x1 ) 0 0 (x0 ) 0 0 (x1 ) 0
1(x0 ) 0 0(x0 ) 0 1(x0 ) 0
1(x1 ) 1 0(x1 ) 0 1(x1 ) 0
ห้องสมุดไป่ตู้
1(x0 ) 0 1(x1 ) 0 0(x0 ) 1 0(x1 ) 0 1(x0 ) 0 1(x1 ) 1
可知
x1是 0 ( x)的二重零点,即可假设 0(x) (x x1 )2(ax b)
由
0(x0 ) 1
0 (x0 ) 0
6
可得
a
( x0
2 x1 )3
b
( x0
1 x1 )2
(
2 x0 x0 x1
)3
0(x) (x x1 )2(ax b)
(x x1 )2
(
x0
2x x1
一般, k次Hermite插值多项式Hk (x)的次数k如果太高会 影响收敛性和稳定性( Runge现象,将在后面章节讲到), 因此k不宜太大.
一、两点三次Hermite插值
先考虑只有两个节点的插值问题 设f (x)在节点 x0, x1处的函数值为f0, f1
在节点 x0, x1处的的一阶导数值为f0, f 1
Hermite插值多项式的余项为:
R2n1( x) f ( x) H ( 2n1 x)
f (2n2) ( )
(2n 2)!
n
(x xj )2,
j0
[a,b]
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H3(x) a0h0(x) a1h1(x) a2h2(x) a3h3(x) 希望插值系数与Lagrange插值一样简单
重新假设 H3( x) f00 ( x) f11( x) f00( x) f11( x)
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H3( x) f00( x) f11( x) f00( x) f11( x)
--------(1)
2
共2n 2个方程 可以解出2n 2个待定的系数
因此P(x)可以是最高次数为2n 1次的多项式
两个节点就可以用2 1 1 3次多项式作为插值函数
(2 ) 同样, 若要求P( x)在[a , b]上具有m阶导数(m阶光滑度) 即P(x)在节点 x0 , x1,, xn处必须满足
其中K ( x)待定
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构造辅助函数 (t) f (t) H3(t) K(x)(t x0 )2(t x1 )2
均是 二重根
(xi ) f (xi ) H3(xi ) K(x)(xi x0 )2(xi x1 )2 0 (x) f (x) H3(x) K(x)(x x0 )2(x x1 )2 0 因此 (t )至少有5个零点
函数近似计算的插 值法Hermite插值法
§ 5.4 Hermite插值法
Lagrange插值虽然构造比较简单，但插值曲线只是在节点 处与原函数较吻合，若还要求在节点处两者相切, 即倒数 值相等,使之与被插函数的”密切”程度更好,这就要用到带 导数的插值.
设f (x)在节点 a x0, x1, , xn b处的函数值为f0, f1, , fn,
i 0,1
连续使用4次Rolle定理，可得， 至少存在一点 [x0 , x1 ]
使得
(4)( ) 0
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即
(4)( ) f (4)( ) 4! K(x) 0
K(x) f (4)( )
4!
所以,两点三次Hermite插值的余项为
R3(x)
f
(
4 ) (
4!
)
(
x
x0
)2
(
x
x1
)2
两点三次Hermite插值的误差为 R3(x) f (x) H3(x) R3(xi ) f (xi ) H3(xi ) 0 R3(xi ) f (xi ) H3(xi ) 0
x0 , x1均为R3(x)的二重零点,因此可设
i 0,1
R3(x) K(x)(x x0 )2(x x1 )2
设P(x)为f (x)的在区间[a,b]上的具有一阶导数的插值函数
(1) 若要求P(x)在[a,b]上具有一阶导数(一阶光滑度)
即P(x)在节点 x0 , x1,, xn处必须满足
P( xi ) f ( xi ) fi
i 0,1,, n
P(xi ) f (xi ) fi i 0,1,, n
)3
( x0
1 x1 )2
2 x0 ( x0 x1 )3
(x ( x0
x1 )2 x1 )2
1
2 x0 x0 x1
2x x0 x1
Lagrange 插值基函数
1
2
x x0 x1 x0
x x1 x0 x1
2
(1 2l1(x)) l02(x)
7
即
0(x)
(1 2l1(x)) l02(x)
两个节点最高可以用3次Hermite多项式H 3 ( x)作为插值函数
4
H 3 ( x)应满足插值条件 H3( x0 ) f0 H3( x1) f1 H3( x0 ) f0 H3( x1) f1
H 3 ( x)应用四个插值基函数表示 设H3(x)的插值基函数为hi(x),i 0,1,2,3
1
2
x x1
x0 x0
x x0
x1 x1
2
类似可得
1(x)
(1 2l0(x)) l12(x) 1 2
x x1 x0 x1
x x1
x0 x0
2
0(x)
(x x0 ) l02(x)
x x0
x x0
x1 x1
2
1(x)
(x x1 ) l12(x)
x x1