【数学】湖北省孝感市高级中学2013-2014学年高二下学期期中考试(文)

一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．复数
2
2
321）（i +的共轭复数是 A ．i 2
321--
B ．i 2321+-
C ．i 2321+
D ．i 2
321- 2．集合M ＝{y |y ＝x 2
－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2
，x ∈R }，则M ∩N 等于
A ．{t |0≤t ≤3}
B ．{t |－1≤t ≤3}
C ．{(－2，1)，(2，1)}
D ．∅
3．设010()sin ,()()f x x f x f x '==,2112014()(),,()(),,()n n f x f x f x f x n f x +''==∈=N 则 A ．sin x
B ．cos x
C ．－sin x
D ．－cos x
4．设,x y ∈R ，则“22x y ≥≥且”是“224x y +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a = A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了5次试验, 收集数据如下：
经检验，这组样本数据具有线性相关关系, 那么对于加工零件的个数x 与加工时间y 这两个变量, 下列判断正确的是
A ．成正相关, 其回归直线经过点（30, 75）
B ．成正相关, 其回归直线经过点（30, 76）
C ．成负相关, 其回归直线经过点（30, 76）
D ．成负相关, 其回归直线经过点（30, 75）
7．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x
＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是
A ．f (x )＝4x －1
B ．f (x )＝(x －1)2
C ．f (x )＝e x
－1
D ．f (x )＝ln(x －0.5)
8．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则
A ．f (－25)<f (11)<f (80)
B ．f (80)<f (11)<f (－25)
C ．f (11)<f (80)<f (－25)
D ．f (－25)<f (80)<f (11)
9．若奇函数()(01)x -x f x =ka a a >a 且≠-在R 上是增函数，那么()=()a g x log x+k 的大致图像是
10．给出下列命题：
①函数x
y -=2
为偶函数；
②函数y =1是周期函数；
③函数2()2x f x x =-的零点有2个；
④函数21
()log ()2
x
x g x =-在(0,)+∞上恰有两个零点12,x x 且121x x ⋅<．
其中正确命题的个数是 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
11．若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a
，b }，则b －a= .
12．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的
方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 .
13．已知函数8)(2
22014
--
+=x b
ax x x f ，10)2(=-f ，则(2)f = . 14．若函数)1(43
1)(3
f x x x f '++-
=，则曲线()f x 在点（0,(0)f ）处的切线方程为 . 15．已知()f x 是偶函数，且()f x 在[)+∞,0上是增函数，如果)2()(-≤+f a x f 在]
3,0[∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围是____________．
16．如图所示，在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角
三角形，按图形所标的边长，有c 2
＝a 2
＋b 2
.
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN.如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面的面积，S 4表示底面积，试类比得到一个相应的命题 .
17．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上
的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3中直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =．
下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ①114f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
； ②()f x 是奇函数； ③()f x 是定义域上单调函数； ④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称．
三、解答题（本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分12分）设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2
－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2
＋a <0}．
（1）当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；
（2）若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围．
19．（本小题满分12分）设p :实数x 满足22430,x ax a -+<其中0a >，命题q :实数x 满足
2
2
60
280x x x x ⎧--≤⎪⎨-->⎪⎩
. （1）若a =1且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.
20．（本小题满分13分）已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0]时，函数解析式
f (x )＝14
x －a
2
x (a ∈R )．
（1）求出a 的值并写出f (x )在[0,1]上的解析式； （2）求f (x )在[0,1]上的最大值．
21．（本小题满分14分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为
3
221805040,[120,144)3120080000,[144,500]2
x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为
200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.
（1）当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
22．（本小题满分14分）设函数()(,)b
f x ax a b R x
=+∈，若()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1．
（1）用a 表示b ；
（2）设()l n ()g x x f x =-，若()1g x ≤-
对定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围.
19.解：（1）由0))(3(03422<--<+-a x a x a ax x 得 ∴a x a 3<<
当a=1时x 的范围为：31<<x 。

………………2分
由⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0
820622x x x x 得32≤<x 。

……………4分
因为
q p ∧为真，则p 真q 真。

所以，x 的范围为：32<<x 。

………………6分 （2）因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件。

………………8分 记{}{}q x B p x A |,|==，则A B ⊂,
⎩
⎨
⎧>≤<∴332
0a a ………………10分 ∴a 的范围为：21≤<a 。

………………12分
20.解：(1)∵f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，且f (x )在x ＝0处有意义，
∴f (0)＝0，即f (0)＝14－a
2
＝1－a ＝0.
∴a ＝1. ………………3分 设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]．
∴f (－x )＝14－x －12
－x ＝4x －2x
.
又∵f (－x )＝－f (x )
∴－f (x )＝4x －2x
.
∴f (x )＝2x －4x
. …………………8分
(2)当x ∈[0,1]，f (x )＝2x －4x ＝2x －(2x )2
，
∴设t ＝2x (t >0)，则f (t )＝t －t 2
. ∵x ∈[0,1]，∴t ∈[1,2]．
当t ＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0. ………………13分
②当x ∈[144,500]时，
y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ×80 000
x
－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，y
x
取得最小值200. ┉┉┉┉12分
因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． ┉┉┉┉┉┉14分
22.解：（1）2
()b
f x a x '=-
，依题意有：
2
(1)11b
f a a b b a x '=-
=-=⇒=-； ┉┉┉┉┉┉5分 法一：2222
111(1)(1)
()a ax x a ax a x g x a x x x x --++--+--'=-+==，
┉┉┉┉┉┉6分
①当0a =时，2
1
()x g x x -'=
，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增，则max ()(1)1g x g ==，不符题意；
┉┉┉┉┉┉8分 ②当0a ≠时，
221
[(1)](1)
(1)(1)1()01,1a x x ax a x a g x x x x x a ---+--+--'===⇒==-+
， （1）若0a <，1
10a
-+<，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，
()0g x '>，()g x 单调递增，则min ()(1)1211g x g a ==->>-，不符题意；
┉┉┉┉┉┉10分。