备战中考数学培优(含解析)之二次函数含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－
4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。

【答案】解：（1）2
y x 2x 3=--；（2）存在，P 1-1313-1
）；（3）Q 点坐标为（0，-72）或（0，3
2
）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】 【分析】
（1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.
（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可. 【详解】
解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2， ∴y ＝2x ﹣6， 令y ＝0，解得：x ＝3， ∴B 的坐标是（3，0）． ∵A 为顶点，
∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，
把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在．
∵OB＝OC＝3，OP＝OP，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．
设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝1-13
2
（m＝
1+13
2
＞0，舍），
∴P（1-13，13-1）．
（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，
∴1
DQ
AD
OD DB
=，即5
6
=1
35
，∴DQ1＝
5
2
，
∴OQ1＝7
2
，即Q1（0，-
7
2
）；
②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，
∴2
OQ
OB
OD OB
=，即2
3
63
OQ
=，
∴OQ2＝3
2
，即Q2（0，
3
2
）；
③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ3∽△Q3EA，
∴3
3
OQ
OB
Q E AE
=，即3
3
3
41
OQ
OQ
=
-
∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，
即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．
综上，Q点坐标为（0，-
7
2
）或（0，
3
2
）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
2．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线
2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．
()1求抛物线的表达式；
()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样
的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；
()3若
AOC 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中
AOC 与OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．
【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32或3322+或3322
-；（3）13． 【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|4
3
x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；
（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 1
6
=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13
． 【详解】
（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．
∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2
+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线的表达式为：y 43=-x 213
3
+x ． （2）存在．
设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 1
3
=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|1
3
x ﹣（43-
x 2133+x ）|=|4
3
x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43
x 2
﹣4x |=3． 若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：
x =或
x = 若
43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 3
2
=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：
32
或32+
或32
-． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13
=
x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．
设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，11
33
+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．
设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （4
3
t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=
x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，1
2
t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=
t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 1
2
-OE •PG
12=
（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12
t 16=-（t ﹣1）213
+
当t =1时，S 有最大值为
13，∴S 的最大值为1
3
．
【点睛】
本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．
3．函数()2
110,>02
y x mx x m =-
++≥的图象记为1C ，函数()21
10,>02
y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象
记为C .
（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值； （Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值； （Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ，当03
92
y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912
m ≤≤. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的值；
（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程，解之
即可
（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范围，分三种情形讨论求解即可； 【详解】
解：（Ⅰ）将点()1,1代入1C 的解析式，解得1m .2
=
（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
， 令2
m 112
-=，得m 2,=± ∵m>0，∴m 2.=
（Ⅲ）∵抛物线1C 的顶点2m P m,12⎛⎫+ ⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点2m Q m,12⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
， 当0m 2<≤时，最高点是抛物线G 1的顶点
∴2
03m y 1922
≤=+≤，解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时，G 1中（2，2m-1）是最高点，0y =2m-1 ∴
3
2
≤2m-19≤，解得2m 4.<≤ 当m>4时，G 2中（-4，4m-9）是最高点，0y =4m-9． ∴
32≤4m-99≤，解得94m 2
<≤. 综上所述，9
1m 2
≤≤即为所求. 【点睛】
本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
4．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx （a ≠0）过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ． （1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；
（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P ，使得△ABP 的面积为△ABC 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴正半轴上运动，当以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．
【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；
（4）5
2
或5．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；
（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；
（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.
试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得
1640
3
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解
得
1
4
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．
（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝1
2
×2×3＝3．
（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．
∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP
∴6＋1
2×（m－1）×（3＋m2－4m）＝
1
2
×3×3＋
1
2
×（3＋m－1）（m2－4m）
整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．
（4）5
2
或5．
提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝5
2
；
②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；
③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.
5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）设x 1，x 2是方程两根，且121111
x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣14；（2）k 1+5 【解析】 【分析】
（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可. 【详解】
解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1 ∵△≥0 ∴4k +1≥0 ∴k ≥﹣
1
4
； （2）∵x 1，x 2是方程两根， ∴x 1+x 2＝2k +1 x 1x 2＝k 2， 又∵121111
x x k +=-， ∴12121
1
x x x x k +=⋅-， 即
2211
1
k k k +=+ ，
解得：121515
,22
k k +-==
， 又∵k ≥﹣14
， 即：k ＝
15
2
-． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -
，两根之积等于c
a
”是解题的关键.
6．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .
（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为2
23y x x =--+，直线的解析式为3y
x .（2）
(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--.
【解析】
分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）
2
+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求
出点P 的坐标．
详解：（1）依题意得：1
203
b
a a
b
c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪
⎩
，解得：123a b c =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩，
∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ， ∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+， 得303m n n -+=⎧⎨
=⎩，解之得：1
3
m n =⎧⎨=⎩，
∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.
（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，
∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明
MA MC +的值最小的原因）.
（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，
∴218BC =，()2
222134PB t t =-++=+，()()2
2
2213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：
2t =-，
②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：
4t =，
③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：
1317
2
t =
，23172t -=
. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或317⎛+- ⎝⎭或317⎛-- ⎝⎭
. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函
数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
7．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；
（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P
为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．
【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；
（3）2213(03)2213(03)2
2t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程
2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223
y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3
b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；
（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），
∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，
∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，223
t t
--），过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，
∵PQ=2，∴QF=1．
①当点P在点M上方时，即0
＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（223
t t
--）=23
t t
-+，
∴S=1
2
PM×QF=2
1
(3)
2
t t
-+
=2
13
22
t t
-+，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t ＞3时，PM=223
t t
--﹣（t﹣3）=23
t t
-，∴S=
1
2
PM×QF=
1
2
（23
t t
-）=2
13
22
t t
-．综上所述，S=
2
2
13
(03)
22
{
13
(03)
22
t t t
t t t t
或
-+<<
-
．
考点：二次函数综合题；分类讨论．
8．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．
（1）求点B，C的坐标；
（2）判断△CDB的形状并说明理由；
（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形；
(Ⅲ)22333(0)221933(3)2
22t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】
【分析】
（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标．
（2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：
①当0＜t≤
32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32
＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】
解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()2
1y x c =--+上， ∴()2
011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()2
14y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；
令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .
(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：
由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.
如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，
则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.
过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆
中，由勾股定理得：BC ===
在Rt CND ∆
中，由勾股定理得：CD ==
在Rt BMD ∆
中，由勾股定理得：BD =
==.
∵222BC CD BD +=，
∴CDB ∆为直角三角形.
(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，
∵()()3,0,0,3B C ，
∴303
k b b +=⎧⎨=⎩， 解得1,3k b =-=，
∴3y x =-+，
直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，
∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++；
设直线BD 的解析式为y mx n =+，
∵()()3,0,1,4B D ，
∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩
，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+.
连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫
⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中：
(1)当302
t <≤时，如答图2所示：
设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.
设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩
. 解得32x t y t =-⎧⎨=⎩
， ∴()3,2F t t -. 111222QPE PBK
FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=
⋅-⋅-⋅ ()221113333232222
t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时，如答图3所示：
设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J .
∵CQ t =，
∴KQ t =，3PK PB t ==-. 直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.
1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=
⋅-⋅ ()()()211362322
t t t =---- 219322
t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩
.
9．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax 2+bx+4过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）．
（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？ （3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．
【答案】（1）B （10，4），C （0，4），215463y x x =-
++；（2）3；（3）103或 203
. 【解析】 试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设P （t ，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB 、PE 的长，由条件可证得△PBE ∽△OCD ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；
（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ ∽△QAB ，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值．
试题解析：
解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4，
∴C （0，4），
∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0），
∴B （10，4），
把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得10010444240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩
， 解得1653a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴抛物线解析式为y ＝16-x 2＋53
x ＋4； （2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-
t 2＋53t ＋4）， ∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋53
t ，
∵∠BPE ＝∠COD ＝90°，
当∠PBE ＝∠OCD 时，
则△PBE ∽△OCD ， ∴PE PB OD OC
=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-
t 2＋53
t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去）， ∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；
当∠PBE ＝∠CDO 时，
则△PBE ∽△ODC ， ∴PE PB OC OD
=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-
t 2＋53
t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去） 综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； （3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ， ∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°，
∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°，
∴∠OCQ ＝∠AQB ，
∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ， ∴CO OQ AQ AB
=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，
∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8，
①当m ＝2时，CQ BQ
∴sin ∠BCQ ＝BQ BC ，sin ∠CBQ ＝CQ BC ，
∴PM ＝PC •sin ∠PCQ t ，PN ＝PB •sin ∠CBQ （10﹣t ），
∴t （10﹣t ），解得t ＝103
， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝
203， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203
． 点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE ∽△OCD 是解题的关键，在（3）中利用Rt △COQ ∽Rt △QAB 求得CQ 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度
较大．
10．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．
【答案】解：（1）y=x2﹣1
（2）详见解析
（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。

（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证。

（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入计算即可得解；
②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再联立抛物线与
直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出
x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解。

【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得。

∴抛物线的解析式为y=x2﹣1。

（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），
则。

∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2。

∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。

∴AO=AM。

（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，
∴。

②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则。

联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16。

∴。

∴无论k取何值，的值都等于同一个常数1。