因式分解的9种方法

因式分解的多种方法----知识延伸，向竞赛过度
1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式：完全平方公式、平方差公式
例一：0322=-x x
解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。

2. 公式法
常用的公式：完全平方公式、平方差公式。

注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。

例二：42-x 分解因式
分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)
3. 十字相乘法
是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果
例三： 把3722
+-x x 分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；
分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 原式=(x-3)(2x-1).
总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b ，即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
这种方法要多实验，多做，多练。

它可以包括前两者方法。

4. 分组分解法
也是比较常规的方法。

一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来，需要可持续性！
例四：2244y x x -++
可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式
解：原式=（x+2）^2-y^2=(x+2+y)(x+2-y)
总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。

5. 换元法
整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上
例五：1)(2)(2++-+y x y x 分解因式
考虑到x+y 是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a 代替x+y
那么原式=a^2-2a+1 =(a-1)^2，回代原式=（x+y-1）^2
6. 主元法
这种方法要难一些，多练即可。

即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数
例六：因式分解24222)1(8)1(216-++-+y x y x y x y
分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y 为主元会使原式极其烦琐，而以x 为主元的话，原
式的难度就大大降低了。

原式=y y x y x y x 168)1(2)1(22224++-+-...............................主元法
=(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x^2+2)---------------------【十字相乘法】
可见，十字相乘十分重要。

7. 双十字相乘法
难度较之前的方法要提升许多。

是用来分解形如f ey dx cy bxy ax +++++22的二次六项式
在草稿纸上，jk f pq c mn a ===,,如果mq ＋np ＝b ，pk ＋qj ＝e ，mk ＋nj ＝d ，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。

则原式＝（mx ＋py ＋j ）（nx ＋qy ＋k ）
要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，
例七：ab ＋2b ＋a －b －2分解因式
解：原式＝0×1×a^2＋ab ＋b^2＋a －b －2
＝（0×a ＋b ＋1）（a ＋b －2）
＝（b ＋1）（a ＋b －2）
8. 待定系数法
将式子看成方程，将方程的解代入，这时就要用到“1”中提到的知识点了
当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式
例八：22-+x x 该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法
我们可以把它当方程做，x^2+x-2=0
一眼看出，该方程有一根为x=1，那么必有一因式为(x-1)
结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）
一次项系数必为1（因为与1相乘要为1），所以另一因式为（x+2），分解为(x-1)(x+2)
9. 列竖式
让人拍案叫绝的方法。

原理和小学的除法差不多。

要建立在待定系数法的方程法上，不足的项要用0补 除的时候，一定要让第一项抵消
例九：2532
3-+x x 分解因式
提示：x=-1可以使该式=0，有因式（x+1）
那么该式分解为（x+1）(3x^2+2x-2)
因式分解有9种方法，这么多？其实是不止的，还有很多很多。

不过了解这些，初中的因式分解是不会有问题了。

考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。

3222223963c ab c b a c b a +- xy ＋6－2x －3y
22)3(4)3)(3(4)3(b a b a b a b a +++--- (x ＋2)(x －3)＋(x ＋2)(x ＋4)
212x －29x ＋15
x(y ＋2)－x －y －1 3244422---++y x y xy x 24m +8mn+23n
24n +4n －15 2x +2x-8 2x +3x-10
. 2x +x-6 22x +5x-3 2x +4x-2 2x -2x-3 5ax+5bx+3ay+3by。