河北省唐山市2018-2019学年高二上学期期末考试A卷数学(文)试题(精品解析)

河北省唐山市2018-2019学年高三上学期期末考试A卷
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的焦点到准线的距离等于（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的标准方程得，求出，即得结论．
【详解】抛物线中，即，所以焦点到准线的距离是．故选B．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，抛物线的准线方程是，焦点坐标是焦点到准线的距离为．本题属于基础题．
2.命题“，”的否定是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“，”的否定是：，．
故选：A．
【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
3.双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线，
它的a，b＝，焦点在x轴上，
而双曲线的渐近线方程为y＝±，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
故选：C．
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想．
4.“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【详解】解：由，解得x＜1或x＞3，此时不等式x＜1不成立，即充分性不成立，
若x＜1，则x＜1或x＞3成立，即必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．
5.圆与圆的位置关系是（）
A. 相离
B. 外切
C. 相交
D. 内切
【答案】D
【解析】
将两圆的方程分别化为标准方程，找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，可得出d＝R﹣r，可得出两圆内切．
【详解】圆与圆化为标准方程得：
（x﹣3）2+（y+2）2＝4，（x﹣7）2+（y﹣1）2＝49，
∴圆心坐标分别为（3，﹣2）和（7，1），半径分别为r＝2和R＝7，
∵两圆心距d5，
∴d＝R﹣r，
则两圆的位置关系是内切．
故选：D．
【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，圆与圆的位置关系可以由圆心距d与R及r的关系来判定，当d＜R﹣r时，两圆内含；当d＝R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d＝R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．
6.设为三个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中假命题是（）
A. 当时，若，则
B. 当，时，若，则
C. 当，时，若，则是异面直线
D. 当，，若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间线面垂直、面面垂直、面面平行的性质定理对选项分别分析选择．
【详解】对于A，根据平面与平面平行、垂直的性质，可得正确；
对于B，根据平面与平面平行、线面垂直的性质，可得正确；
对于C，可能异面，也可能平行，故错误；
对于D，由，可知，又，所以，可得正确.
故选：C
【点睛】本题考查了空间线面垂直、面面垂直、面面平行的性质定理和判定定理的运用；牢固掌握运用定
7.正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成的角为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据异面直线所成角的定义，把直线CN平移和直线B1M相交，找到异面直线B1M与CN所成的角，解三角形即可求得结果．在平移直线时经常用到遇到中点找中点的方法．
【详解】解：取AA1的中点E，连接EN，BE角B1M于点O，
则EN∥BC，且EN＝BC
∴四边形BCNE是平行四边形
∴BE∥CN
∴∠BOM就是异面直线B1M与CN所成的角，
而Rt△BB1M≌Rt△ABE
∴∠ABE＝∠BB1M，∠BMB1＝∠AEB，
∴∠BOM＝90°．
故选：D．
【点睛】此题是个基础题．考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所
成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法．
8.若直线与曲线有公共点，则的最小值为（）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
曲线表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆（x轴上方部分），求出相切时，k的值，即可求得结论．【详解】解：如图所示，曲线表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆（x轴上方部分）
当直线y＝k（x﹣2）与曲线相切时，d（k＜0），∴k
∴k最小值
故选：C．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能
力，属于基础题．
9.某三棱锥的三视图如图所示，此三棱锥的体积为，则三棱锥的所有棱中，最长棱的长度为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】
由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P﹣ABC，其中平面P AC⊥底面ABC，结合体积明确底面形状，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．
【详解】
由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P﹣ABC，其中平面P AC⊥底面ABC，取AC中点为E，则PE⊥底面ABC，且PE=3，AC=2
由，即
∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA=2，PB，
PB，
∴最长棱的长度为
故选：B
【点睛】本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
10.如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是（）
A. ①②
B. ②④
C. ①③
D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知几何体为正方体，利用线面垂直的判定逐一分析四个选项得答案．
【详解】对于①，由AB与CE所成角为45°，可得直线与平面不垂直；
对于②，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED=E，可得A B⊥平面；
对于③，由AB与CE所成角为60°，可得直线与平面不垂直；
对于④，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理：EC⊥AB，可得AB⊥平面；
故选：B
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．11.椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，且为等边三角形，则的离心率（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由为等边三角形，可知：P，又点在椭圆上，可得离心率的方程，解之即可.
【详解】
由为等边三角形，可知：P，
又点在椭圆上，
∴,即
∴，或（舍去）
∴
故选：A
【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
12.表面积为的球面上有四点，若是边长为3的等边三角形，则三棱锥体积的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知求出球的半径，画出图形，判断D的位置，然后求解三棱锥D﹣ABC高的最大值，代入棱锥体积公式求解．
【详解】由球的表面积为，可知球半径为R=2，
设球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
O′C3，OO′，
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：3．
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：．
故选：A．
【点睛】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能
力以及计算能力，是中档题．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若直线与直线垂直，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用两条直线互相垂直的充要条件即可得出．
【详解】∵直线与直线垂直，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了两条直线互相垂直的充要条件，属于基础题．
14.圆锥高为3，体积为，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用圆锥体积求出底面半径，从而得到母线长，进而得到圆锥的侧面积.
【详解】设圆锥的底面半径为r，又圆锥高为3，体积为，
∴，
∴
∴圆锥的母线长为
∴圆锥的侧面积为：
故答案为：
【点睛】本题考查圆锥的侧面积与体积公式，考查空间想象力与计算能力，是基础题．
15.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程______．
【答案】
【解析】
试题分析：先由椭圆方程确定焦点位置，确定所求双曲线方程形式：，再根据两个独
立条件求量：一是焦距，二是离心率，解方程组得，．
试题解析：椭圆的焦点坐标为，，2分
设双曲线的方程为，3分
则，，9分
解得，．
所以双曲线的方程是．12分
考点：双曲线方程
16.已知四棱锥底面是边长为2的正方形，平面，且，则直线与平面所成的角大小为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
还原棱锥为正方体ABCD﹣PB1C1D1，作BF⊥CB1于F，连接PF，则∠BPF就是直线PB与平面PCD所成的角，由此能求出直线PB与平面PCD所成的角的大小．
【详解】还原棱锥为正方体ABCD﹣PB1C1D1，作BF⊥CB1于F，
∵平面PB1C1D1⊥平面B1BCC1，
∴BF⊥平面PB1CD，
连接PF，则∠BPF就是直线PB与平面PCD所成的角．
BF a，PB，sin∠BPF，∠BPF＝30°．
∴直线PB与平面PCD所成的角为30°．
故答案为：30°
【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.：直线的斜率大于3，：方程表示焦点在轴上的双曲线.若为真命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
由为真命题，可知为假命题，为真命题．分别求出m的范围，最后取交集即可.
【详解】解：因为为真命题，所以为假命题，为真命题．
：直线的斜率，得．①
因为方程表示焦点在轴上的双曲线，所以
解得，．②
由①②可得，实数的取值范围．
【点睛】本题主要考查利用复合命题的真假求参数的取值问题，要熟练掌握复合命题和简单命题之间的关系．
18.已知圆与轴交于，两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）（2）直线的方程为或
【解析】
【分析】
（1）根据题意列方程求出圆心坐标，计算半径r，写出圆的方程；
（2）讨论过的直线l斜率不存在和斜率存在时，求出对应直线的方程．
【详解】解：（1）圆与轴分别交于，两点，
圆心在线段的中垂线上．
由得圆心，
圆的半径为，
圆的标准方程为．
（2）圆的半径为5，，所以圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为4，符合题意．
当直线的斜率存在时，设，
圆心到直线的距离，
解得，
直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或．
【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了等价转化思想的合理运用．
19.在四棱锥中，底面是梯形，，，，，平面平面，
在棱上且.
（1）证明：平面；
（2）若是正三角形，求三棱锥的体积.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）作交于点，连接，证明四边形为平行四边形，从而有，即可得证；
（2）利用等积变换即可得到结果.
【详解】（1）证明：作交于点，连接，
因为在棱上且，
所以．
又因为，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
从而有．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为平面平面，且交线为，
，平面，
所以平面．
因为，
所以．
即三棱锥的体积为．
【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：
（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；
（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；
（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.
（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.
20.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，且过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若倾斜角为的直线交抛物线于两点，且斜率之积为-2，求直线的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)设出抛物线方程，利用点在曲线上，得到参数p，从而得到抛物线的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程可得借助韦达定理表示斜率之积为－2，解方程即可得到b值.
【详解】解：（1）由题意设抛物线的方程为：．
抛物线过点，
，
抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为，，，
由得，，
因为，所以．
，．
因为斜率之积为－2，
所以，
解得，
所以直线的方程为．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查设而不求法，考查计算能力与转化思想，属于中档题.
21.在三棱柱中，平面，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若为的中点，求点到平面的距离.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)由题意先证明平面，从而证得平面平面；
（2）由平面可知点到平面的距离等于点到平面的距离，利用等积法即可得到点到平面的距离.
【详解】解：（1）因为平面，
所以，
在中，由余弦定理可得，，
从而有，
所以，
又因为，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
（2）由已知得，，平面，
所以，，由（Ⅰ）知，
则．
因为，平面，平面，
所平面，
从而点到平面的距离等于点到平面的距离．
设点到平面的距离为，
由得，
，
所以．
即点到平面的距离为．
【点睛】本题考查面与平面垂直的判断定理的应用，等体积法的应用，空间点线面距离的求法，考查计算能力．
22.已知椭圆的焦距为4，点在椭圆上，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意列关于a，b的方程即可得到椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程可得，利用韦达定理可得的面
积，借助均值不等式即可得到面积的最大值.
【详解】解：（1）由已知可得，，，．
，
从而有，．
所以椭圆的方程为：．
（2）因为直线，，所以直线的斜率．
设直线的方程为，，，
由得，，
因为，所以．
，．
．
到直线的距离.
的面积，
当且仅当，即时取“＝”号．
所以面积的最大值是．
【点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.。