2011山东潍坊中考数学及答案

2011年潍坊市初中学业水平考试
数学试题
（满分：120分 时间：120分钟）
第Ⅰ卷 选择题（共36分）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正
确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分）
1. （2011山东潍坊，1，3分）下面计算正确的是（ ）
A.3= 3= 2=-
【答案】B
2. （2011山东潍坊，2，3分）我国以2010年11月1日零时为标准时点进行了第六次全国
人口普查，普查得到全国总人口为1370536875人，该数用科学记数法表示为（ ）.（保留 3 个有效数字）
A . 13.7 亿 B. 813.710⨯ C . 91.3710⨯ D . 9
1.410⨯
【答案】C
3. （2011山东潍坊，3，3分）如图，△ABC 中，BC = 2，DE 是它的中位线，下面三个结
论：⑴DE=1；⑵△ADE ∽△ABC ；⑶△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1 : 4。

其中正确的有（ ）
A . 0 个 B.1个 C . 2 个 D.3个
【答案】D
4. （2011山东潍坊，4，3分）如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，
再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是．．
轴对称图形的是（ ）
【答案】D
5. （2011山东潍坊，5，3分）不等式组1124,2231.22
x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤的解集在数轴上表示正确的是
（ ）
【答案】A
6. （2011山东潍坊，6，3分）某市2011年5月1日～10日十天的空气污染指数的数据如
下（主要污染物为可吸入颗粒物）：
61 , 75 , 70 , 56 , 81 , 91 , 92 , 91 , 75 , 81 .
那么该组数据的极差和中位数分别是（ ）
A . 36 , 78
B . 36 , 86
C . 20 , 78
D . 20 , 77. 3
【答案】A
7. （2011山东潍坊，7，3分）关于x 的方程2
210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是
（ ）
A . k 为任何实数，方程都没有实数根
B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【答案】B
8. （2011山东潍坊，8，3分）在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测
试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程 S （米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD . 下列说法正确的是（ ）
A.小莹的速度随时间的增大而增大
B.小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C.在起跑后 180 秒时，两人相遇
D.在起跑后 50 秒时，小梅在小莹的前面
【答案】D
9. （2011山东潍坊，9，3分）如图，半径为1的小圆在半径为9 的大圆内滚动，且始终
与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为（）
A . 17π
B . 32π
C . 49π
D . 80π
【答案】B
10. （2011山东潍坊，10，3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人
放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【答案】D
11. （2011山东潍坊，11，3分）已知直角梯形ABCD中，A D∥BC，∠BCD=90°, BC =
CD=2AD , E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论不正确
．．．的是（）
A . CP 平分∠BCD
B. 四边形ABED 为平行四边形
C. CQ将直角梯形ABCD 分为面积相等的两部分
D. △ABF为等腰三角形
【答案】C
12. （2011山东潍坊，12，3分）已知一元二次方程20(0)ax bx c a ++= >的两个实数根
1x 、2x 满足124x x +=和123x x = ，那么二次函数2(0)y ax bx c a =++ >的图象有可能是（ ）
【答案】C
第Ⅱ卷 非选择题（共84分）
二、填空题（本大题共5小题，共15分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）
13.（2011山东潍坊，13，3分）分解因式：321a a a +--=_________________
【答案】2(1)(1)a a +-
14. （2011山东潍坊，14，3分）一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过（2,1）
点；②当x >0时，y 随x 的增大而减小.这个函数解析式为_________________________（写出一个即可） 【答案】如：22,3,5y y x y x x
==-+=-+等，写出一个即可. 15. （2011山东潍坊，15，3分）方程组524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩
的解是___________________. 【答案】23
x y =⎧⎨=⎩ 16. （2011山东潍坊，16，3分）已知线段AB 的长为a ，以AB 为边在AB 的下方作正方形
ACDB .取AB 边上一点E ，以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM .过E 作EF ⊥CD ，垂足为F 点.若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等，则AE 的长为_________________.
17. （2011山东潍坊，17，3分）已知长方形ABCD ，AB =3cm ，AD =4cm ，过对角线BD 的
中点O 做BD 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为_______________.
【答案】7
8 cm
三、解答题（本大题共7小题，共69分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算
步骤）
18. （2011山东潍坊，18，8分）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交
于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.
（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；
（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求P E－PF的值.
【解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.
又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.
∴PE+PF=OF+FB=OB=cos45
2
a︒=.
（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.
又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.
∴PE－PF=OF－BF= OB=cos45
2
a︒=.
19. （2011山东潍坊，19，9分）今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动.
他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示.斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°,.已知A点海拔121米，C点海拔721米.
（1）求B点的海拔；
（2）求斜坡AB的坡度.
【解】（1）如图所示，过点C 作CF ⊥AM ，F 为垂足，过点B 作BE ⊥AM ，BD ⊥CF ，E 、D 为垂足.
∵在C 点测得B 点的俯角为30°，
∴∠CBD =30°，又∵BC =400米，
∴CD =400×sin 30°=400×1
2=200（米）.
∴B 点的海拔为721－200=521（米）.
（2）∵BE =521－121=400（米），AB =1040米，
∴960AE ==（米）. ∴AB 的坡度400596012
AB BE i AE ===，所以斜坡AB 的坡度为1：2.4. 20. （2011山东潍坊，20，9分）甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有
2个白球，1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球，2个黄球和若干个蓝球.从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍.
（1）求乙盒中蓝球的个数；
（2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率.
【解】（1）设乙盒中有x 个蓝球，则从乙盒中任意摸取一球，摸到蓝球的概率13x P x =+； 从甲盒中任意摸取一球，摸到蓝球的概率214P =
； 根据题意，得132
x x =+， 解得3x =，所以乙盒中有3个蓝球.
（2）方法一：列表如下
由表格可以看出，可能的结果有24种，其中均为蓝球的有3种，因此从甲、乙两盒中各摸取一球，两球均为蓝球的概率31248
P ==. ∴从甲、乙两盒中各摸取一球，两球均为蓝球的概率为
18. （也可以用画树状图法或枚举法） 方法二：从甲盒中任意摸取一球，摸到蓝球的概率为14
，从乙盒中任意摸取一球，摸到
蓝球的概率为12
. 则从甲、乙两盒中各摸取一球，两球均为蓝球的概率为111428P =
⨯=. 21. （2011山东潍坊，21，10分）2010年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，
每天需从社区外调运饮用水120吨.有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出80吨，乙厂每天最多可调出90吨.从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：
（1）若某天调运水的总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？
（2）设从甲厂调运饮用水x 吨，总运费为W 元，试写出W 关于与x 的函数关系式，怎样安排调运方案才能是每天的总运费最省？
【解】（1）设从甲厂调运饮用水x 吨，从乙厂调运饮用水y 吨，根据题意得
2012141526700,120.x y x y ⨯+⨯=⎧⎨+=⎩
解得50,70.
x y =⎧⎨=⎩ ∵50<80，70<90，∴符合条件.
故从甲、乙两水厂各调用了50吨、70吨饮用水.
（2）设从甲厂调运饮用水x 吨，则需从乙厂调运水（120－x ）吨，根据题意可得 80,12090.
x x ⎧⎨-⎩≤≤解得3080x ≤≤. 总运费()201214151203025200W x x x =⨯+⨯-=+，（3
080x ≤≤）
∵W 随x 的增大而增大，故当30x =时，26100W =最小元.
∴每天从甲厂调运30吨，从乙厂调运90吨，每天的总运费最省.
22. （2011山东潍坊，22，10分）2010年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一
路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y 元/千克与月份x 呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x 呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.
（1）分别求出当1≤x ≤7和7≤x ≤12时，y 关于x 的函数关系式；
（2）2010年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？
（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？
【解】（1）当17x ≤≤时，设y kx m =+，
将点（1，8）、（7，26）分别代入y kx m =+，得
8,726.k m k m +=⎧⎨+=⎩解之，得5,3.
m k =⎧⎨=⎩ ∴函数解析式为35y x =+.
当712x ≤≤时，设2y ax bx c =++，
将（7，26）、（9，14）、（12，11）分别代入2y ax bx c =++，得：
49726,81914,1441211.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之，得1,22,131.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩
∴函数解析式为222131y x x =-+.
（2）当17x ≤≤时，函数35y x =+中y 随x 的增大而增大，
∴当1x =最小值时，3158y =⨯+=最小值.
当712x ≤≤时，()2
2221311110y x x x =-+=-+， ∴当11x =时，10y =最小值.
所以，该农产品平均价格最低的是1月，最低为8元/千克.
（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，
∴4x =时的月平均价格17是前7个月的平均值.
将8x =，10x =和11x =分别代入222131y x x =-+，得19y =，11y =和10y =. ∴后5个月的月平均价格分别为19，14，11，10，11. ∴年平均价格为17719141110114615.3123
y ⨯+++++==≈（元/千克）. 当3x =时，1415.3y =<，
∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格.
23. （2011山东潍坊，23，11分）如图，AB 是半圆O 的直径，AB =2.射线AM 、BN 为半圆
的切线.在AM 上取一点D ，连接BD 交半圆于点C ，连接AC .过O 点作BC 的垂线OE ，垂足为点E ，与BN 相交于点F .过D 点做半圆的切线DP ，切点为P ，与BN 相交于点Q .
（1）求证：△ABC ∽ΔOFB ；
（2）当ΔABD 与△BFO 的面积相等时，求BQ 的长；
（3）求证：当D 在AM 上移动时（A 点除外），点Q 始终是线段BF 的中点.
【解】（1）证明：∵AB 为直径，
∴∠ACB =90°，即AC ⊥BC .
又∵OE ⊥BC ，∴OE //AC ，∴∠BAC =∠FOB .
∵BN 是半圆的切线，故∠BCA =∠OBF =90°.
∴△ACB ∽△OBF .
（2）由△ACB ∽△OBF ，得∠OFB =∠DBA ，∠DAB =∠OBF =90°， ∴△ABD ∽△BFO ，
当△ABD 与△BFO 的面积相等时，△ABD ≌△BFO .
∴AD =BO=12
AB =1. ∵DA ⊥AB ，∴DA 为⊙O 的切线.
连接OP ，∵DP 是半圆O 的切线，
∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，
∴四边形ADPO 为正方形.
∴DP//AB ，∴四边形DABQ 为矩形.
∴BQ =AD =1.
（3）由（2）知，△ABD ∽△BFO ， ∴BF AB OB AD =，∴2BF AD
=. ∵DPQ 是半圆O 的切线，∴AD =DP ，QB =QP . 过点Q 作AM 的垂线QK ，垂足为K ，在Rt △DQK 中，222DQ QK DK =+，
∴()()22
22AD BQ AD BQ +=-+， ∴1BQ AD
=，∴BF =2BQ ，∴Q 为BF 的中点.
24. （2011山东潍坊，24，12分）如图，y 关于x
的二次函数)(3)3y x m x m m
=-+-图象的顶点为M ，图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于D 点.以AB 为直径做圆，圆心为C ，定点E 的坐标为（－3,0），连接ED .（m ＞0）
（1）写出A 、B 、D 三点的坐标；
（2）当m 为何值时M 点在直线ED 上？判定此时直线ED 与圆的位置关系；
（3）当m 变化时，用m 表示△AED 的面积S ，并在给出的直角坐标系中画出S 关于m 的函数图象的示意图
.
【解】（1）(),0A m -，()3,0B m
，()
D . （2）设直线ED 的解析式为y kx b =+，将()3,0-
、()
D 代入，得
30,.k b b -+=⎧⎪⎨=⎪⎩
解得,.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
∴直线ED
的解析式为3
y mx =.
∵
)2)(3)333
y x m x m x m m m m =+-=--+， ∴顶点M
的坐标为,3m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
把m m ⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
代入y =+，得2m m =. ∵0m >，∴1m =.
∴当1m =时，点M 在直线DE 上.
连接CD ，C 为AB 中点，C 点坐标为(),0C m .
∵1OD OC ==，∴CD =2，点D 在圆上.
又∵OE =3，22212DE OD OE =+=，216EC =，2
4CD =.
∴222
CD DE EC +=.
∴∠EDC =90°，
∴直线ED 与⊙C 相切.
（3）当03m <<时，()1322AED S AE OD m m ∆==- ，即222S =-+.
当3m >时，()1322AED S AE OD m m ∆==- ，即222S m =-. 图象示意图如图中的实线部分.。