【初赛】2012年迎春杯六年级

2012“数学解题能力展示”读者评选活动
六年级组初赛试题
（测评时间：2011年12月17日9：00—10：00）
一．填空题（每小题8分，共32分） 1.算式1
1111
(975
31)122
6
122030
++++⨯的计算结果是_________． 2.将棱长为5的大正方体切割成125个棱长为1的小正方体．这些小正方体的表面积总和
是原大正方体表面积的_________倍．
3.一辆玩具汽车，第一天按100%的利润定价，无人来买；第二天降价10%，还是无人买；
第三天再降价360元，终于卖出．已知卖出的价格是进价的1.44倍，那么这辆玩具汽车的进价是_________元．
4.在右图中的竖式除法中，被除数为________．
二．填空题（每小题10分，共40分）
5.一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．那么2011
年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD ，那么ABCD =_________．
6.一个n 位正整数x ，如果把它补在任意．．
两个正整数的后面，所得两个新数的乘积的末尾还是x ，那么称x 是“吉祥数”．例如：6就是一个“吉祥数”；但16不是，因为11621625056⨯=，
末尾不再是16．所有位数不超过3位的“吉祥数”之和是_________．7.有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长
方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是_________
厘米．
水
8.有一个66⨯的正方形，分成36个11⨯的正方形．选出其中一些11⨯的正方
形并画出它们的对角线，使得所画出的任何两条对角线都没有公共点，那么最多可以画出 条对角线．
三．填空题（每小题12分，共48分）
9.甲车由A 地开往B 地，同时乙车也从B 地开往A 地．甲车速度是每小时80千米，乙车
速度是每小时70千米．甲车在中途C 地停车，15分钟后乙车到达C 地，这时甲车继续行驶．如果两车同时到达目的地，那么AB 两地相距_________千米．
10.如果自然数a 的各位数字之和等于5，那么称a 为“龙腾数”．将所有的“龙腾数”从
小到大排成一列，2012排在这一列数中的第_________个．
11.在右图中，将一个每边长均为12厘米的正八边形的8个顶点间隔地连
线，可以连出两个正方形．图中阴影部分的面积是_________平方厘米．
12.用横向或纵向的线连接所有的黑点和白点并形成自身不相交的回路．这
个回路在黑点处必须拐直角弯，且前一格和后一格都必须直行通过；在
白点处必须直行通过，且在前一格或者后一格（至少一处）拐直角弯．例如，图2的画法是图1的唯一解．如果按照这个规则在图3中画出回路，那么这条回路一共拐了_________次弯．
图1 图2 图3
【参考答案】
一．填空题（每小题8分，共32分）
1.算式11111
(97531)12
26122030
++++⨯的计算结果是_________．知识点：分数四则运算
难易度：☆（半颗星）
答案：310
解析：
11111
(97531)12
26122030
111111111 (97531)12(1)12
223344556 30010310
++++⨯
=++++⨯+-+-+-+-+-⨯=+=
2.将棱长为5的大正方体切割成125个棱长为1的小正方体．这些小正方体的表面积总和
是原大正方体表面积的_________倍．
知识点：立体几何
难易度：☆（半颗星）
答案：5
解析：把大正方体切割成小正方体，需要切12刀，一共增加了24个5×5的面．原来有6个面，切割后增加到了30个面，因此小正方体的表面积总和是原大正方体表面积的5倍．
3.一辆玩具汽车，第一天按100%的利润定价，无人来买；第二天降价10%，还是无人买；
第三天再降价360元，终于卖出．已知卖出的价格是进价的1.44倍，那么这辆玩具汽车的进价是_________元．
知识点：经济问题
难易度：★（一颗星）
答案：1000
解析：设进价为“1”，则第一天定价为“2”，第二天定价为“1.8”，最终售价为“1.44”．“1.8”
与“1.44”的差价等于360元，可知进价“1”=1000元．
4.在右图中的竖式除法中，被除数为________．
知识点：数字谜与数阵图
难易度：★★★（三颗星）
答案：20952
解析：首先，X ＝1，Y ＝9，则Z ＝1； 由ABC ×D ＝10□，知D ＝1，A ＝1，B ＝0；
由C 10×E ＝9□2，知E ＝9，C ＝8；从而Y □2＝972；
由Y □2＝972知PQ 取值38～47，又据108×F ＝PQ □，得F ＝4． 所以，被除数108×194＝20952．
二．填空题（每小题10分，共40分）
5.一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．那么2011
年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD ，那么ABCD =_________． 知识点：整除问题 难易度：★★（两颗星） 答案：1221
解析：因为是最后一个能被101整除的日子，所以先看12月有没有，令12AB =．判断能否被101整除要用两位截断后奇偶作差能否被101整除．偶数段的和是201232+=，那么奇数段的和可能是32、133．后面一个不可能，只能是32．那么321121CD =-=，1221ABCD =．
6.一个n 位正整数x ，如果把它补在任意．．
两个正整数的后面，所得两个新数的乘积的末尾还是x ，那么称x 是“吉祥数”．例如：6就是一个“吉祥数”；但16不是，因为11621625056⨯=，末尾不再是16．所有位数不超过3位的“吉祥数”之和是_________．供题者：西城实验中学-王宁知识点：余数问题难易度：★★★（三颗星）答案：1114
解析：可知只要一个数的平方的末尾还是这个数，这个数就是吉祥数．
当1n =时，显然1,5,6x =是“吉祥数”．
当2n =时，这个两位“吉祥数”的个位数字也一定是1、5、6中的一个．如果个位数字是1，设这个数是101a +，()2
2101100201a a a +=++，个位数字是1，十位数
字是2a 的个位数字．而2a 的个位数字不可能是a ，所以两位“吉祥数”的各位数字不可能是1；如果个位数字是5，设这个数是105a +，()2
210510010025a a a +=++，末两位数字是25，这个“吉祥数”就是25；如果个位数字是6，设这个数是106a +，
()
2
210610012036a a a +=++，个位数字是6，十位数字是2a +3的个位数字．那么有
2310a a +-=（减10是因为会进位），7a =．这个“吉祥数”就是76．可知两位的“吉祥数”只有25和76．
类似地，当3n =时，可知三位“吉祥数”的末两位是两位“吉祥数”．如果末两位是25，设这个数为10025a +，()2
210025100005000625a a a +=++，末三位是625，这个“吉祥数”就是625；如果末两位是76，设这个数为10076a +，
()
2
21007610000152005776a a a +=++，末两位是76，百位数字是27a +的个位数字，
即2710a a +-=，3a =．这个“吉祥数”就是376．三位“吉祥数”只有625和376．
因此，所有不超过3位的“吉祥数”之和为15625766253761114++++++=．
7.有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有
6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是_________厘米．
知识点：立体几何难易度：★★★（三颗星）答案：7
解析：铁块被放入以后，“水层”的底面积变成了128平方厘米，“水层”高 度变成了9厘米，说明9厘米高的铁块没入水中，3厘米高的铁块浸入油中．“油层”增加的体积是388192⨯⨯=立方厘米，增加的高度是19216121÷÷=厘米．因此“油层”的高度是7厘米．
8.有一个66⨯的正方形，分成36个11⨯的正方形．选出其中一些11⨯的正方形
并画出它们的对角线，使得所画出的任何两条对角线都没有公共点，那么最多可以画出 条对角线．知识点：构造论证难易度：★★★（三颗星）
水
油
答案：21
解析：如下左图，可以画出21条对角线．
如下右图，标记了21个格点，画出的每条1×1正方形的对角线都要以这21个标记格点中的某一个为顶点．而据题意，所画出的任何两条对角线都没有公共点，所以每个标
记格点至多画出一条对角线，从而至多画出21条对角线．
三．填空题（每小题12分，共48分）
9.甲车由A 地开往B 地，同时乙车也从B 地开往A 地．甲车速度是每小时80千米，乙车
速度是每小时70千米．甲车在中途C 地停车，15分钟后乙车到达C 地，这时甲车继续行驶．如果两车同时到达目的地，那么AB 两地相距_________千米．知识点：行程问题难易度：★★（两颗星）答案：140
解析：设全长为x 千米，则
15
7080
60
x
-，解得140x =．或者这样做：甲乙两车的速度比是8:7，所走的路程相同，所以甲乙所用的时间比是7:8．又因为乙车比甲车多走了15分钟，可知乙车一共走了()15878120÷-⨯=分钟，即两小时．所以AB 间的路程是140千米．
10.如果自然数a 的各位数字之和等于5，那么称a 为“龙腾数”．将所有的“龙腾数”从
小到大排成一列，2012排在这一列数中的第_________个．知识点：不定方程及其它难易度：★★★（三颗星）答案：38
解析：先计算位数小于四位的“龙腾数”的个数，相当于不定方程5a b c ++=的自然数解(,,)a b c 的组数，有2721C =组（a =0、b =0对应一位“龙腾数”，a =0、b ≠0对应两位“龙腾数”，a ≠0对应三位“龙腾数”）；再计算以1开头的四位“龙腾数”的个数，相当于不定方程4a b c ++=的自然数解(,,)a b c 的组数，有2615C =组．考虑到2012是第二个以2开头的四位“龙腾数”，因此答案是2012是这一列数中的第38个．
11.在右图中，将一个每边长均为12厘米的正八边形的8个顶点间隔地连线，可以连出两
个正方形．图中阴影部分的面积是_________平方厘米．知识点：图形的切拼；弦图与勾股定理难易度：★★★★（四颗星）答案：288
解析：如下左图，记AD = a ，由对称性知，DB = a ，BC = a ．
取E 为DC 中点，连接BE ，将△ABC 分成直角三角形ABE 和等腰直角三角形BEC ． 四个△BEC 可以拼成一个边长a 的正方形．记BE = b ，则CE = a ，DE = a
由AE = a + b ，BE = b 知：由4个△ABE 和一个以a 为边长的正方形可拼成一个以AB 为边长的正方形（如下右弦图）．
题中阴影可看做8个△ABE 的面积，△ABE 的面积等于36平方厘米，因此本题答案为288平方厘米．
12.用横向或纵向的线连接所有的黑点和白点并形成自身不相交的回路．这个回路在黑点处
必须拐直角弯，且前一格和后一格都必须直行通过；在白点处必须直行通过，且在前一格或者后一格（至少一处）拐直角弯．例如，图2的画法是图1的唯一解．如果按照这个规则在图3中画出回路，那么这条回路一共拐了_________次弯．
知识点：一笔画与图论
B
图
1
图2
图
3
难易度：★★★★★（五颗星） 答案：20
解析：依题意，黑点和白点处的画线方式应如图4所示．按照图3摆放方式的，我们可以先确定其中1个黑点和4个白点的画线方式，如图5所示．在图5的基础上，可以确定2个黑点的画线方式，如图6所示．在图6的基础上，可以确定剩下黑点和1个白点的画线方式，如图7所示．在图7的基础上，可以完成这个回路，一共拐了20次弯．
图
8
图
7 图
6
图
5 图4。