北航-工科数学分析2006-2007 期末试题

2006-2007学年第二学期期末考试试题
数学分析
一、 填空题 （每小题6分，共30分）
1． 设向量场
),,(222222y x x z z y F +++=，则_,____________________=F div ._______________________________=F rot ２．在曲面
0:2=−Σ−z x e y 上点)2,1,1(处的法线方程是.________________________
３．设}0,1|),{(22≥=+=y y x y x L ，则.___________2=∫L ds x
４．锥面
22y x z +=被圆柱面x y x 222=+截下的曲面的面积为._______________ ５．求极限._____________)1(lim 2200222=+∫∫→x
x t x t x dt e x dt e
二、 （本题满分１０分）
计算定积分
∫−=10ln 1dx x x I ．
三、 （本题满分１０分）
计算
∫∫∫V z dxdydz e ||，其中
1:222≤++z y x V ． 四、 （本题满分１０分）
设函数)(x f 在),(+∞−∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),(b a ，终点为),(d c ．记∫−++=L dy xy f y y x dx xy f y y I ]1)([)](1[1222，
（１） 证明曲线积分I 与路径L 无关；
（２） 当cd ab =时，求I 的值．
（３）
五、 （本题满分１０分）
求解微分方程
0)sin ()(22=+−−dy y x dx y x ．
六、 （本题满分１０分）
计算∫∫Σ−+−xzdxdy
xydzdx dydz x 48)1(22，其中Σ是由曲线
)0(a y e x y ≤≤=绕x 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与x 轴正向的夹角恒大于2π
．
七、 （本题满分１０分）
计算∫−+−+−=L dz
y x dy x z dx z y I )()()(222222，其中L 为平面1
=++z y x 被三个坐标平面所截三角形Σ的边界，若从x 轴的正向看去，定向为顺时针方向．
八、 （本题满分１０分） 证明
∫∞+−+18sin dx y x x e xy 在),0[+∞上一致收敛．
九、 加选题（本题满分１０分）
设L 是不经过点)0,2(及点)0,2(−的分段光滑的简单闭曲线，试就L 的不同情形计算曲线积分
∫ +++−+−−+ ++++−=L dy y x x y x x dx y x y y x y I .)2(2)2(2)2()2(22222222 其中L 取正向．
1.解：0)()()(222222=+∂∂++∂∂++∂∂=y x z
x z y z y x F div ,
222222y x x z z y z y x
k j i F rot +++∂∂∂∂∂∂= , ),,(2y x x z z y F rot −−−= , 或k y x j x z i z y F rot )(2)(2)(2−+−+−=.
2.解：z x e y F −−=2, ),1,2(),,(22z x z x z y x e e F F F −−−=,
)1,1,2(|),,()2,1,1(−==z y x F F F n , 于是所求法线方程为1
21121−=−=−−z y x 3.解：。