二次函数性质ppt课件
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二次函数性质ppt课 件
目录
CONTENTS
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图象变换 • 二次函数的应用 • 习题与解答
01
二次函数的基本概 念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数,其中$a neq 0$ 。
详细描述
二次函数是数学中一种常见的函 数形式,其定义是基于变量的二 次方。在定义中,$a$、$b$和 $c$是常数,且$a neq 0$。
最值
总结词
当a>0时,二次函数有最小值;当a<0时,二次函数有最大 值。最值出现在对称轴上,即x=-b/2a处。
详细描述
由于抛物线的开口方向由系数a决定,当a>0时,抛物线有最 小值;当a<0时,抛物线有最大值。这些最值出现在对称轴 上,即x=-b/2a处。最值的y坐标可以通过公式c-b^2/4a计 算得出。
03
二次函数的图象变 换
平移变换
平移变换是指将二次 函数的图象沿x轴或y 轴进行移动。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图 象沿y轴平移k个单位 ,得到新的函数为 y=ax^2+bx+c-k。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图 象沿x轴平移k个单位 ,得到新的函数为 y=ax^2+(b2ak)x+c+ak^2。
翻折变换
翻折变换是指将二次函数的图 象沿某条直线进行翻折。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图象沿x轴翻 折,得到新的函数为y=-ax^2bx-c。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图象沿y轴翻 折,得到新的函数为y=ax^2+bx-c。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图象 沿x轴或y轴进行缩放。
习题与解答
习题
判断题
二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的对称轴是$x = frac{b}{2a}$。
选择题
下列哪个选项是二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的顶点坐标?
填空题
已知二次函数$f(x) = x^2 2x$在区间$( - infty, a)$上是减 函数,则$a$的取值范围是____ 。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式(b/2a, c-b^2/4a)计算得出。其中, b/2a是对称轴的x坐标,c-b^2/4a是 顶点的y坐标。顶点是抛物线的最低点 或最高点。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线,其方程为x=-b/2a。对称轴是抛物线的对称中心,它将抛物线平分 。
如果将二次函数y=ax^2+bx+c 的图象沿x轴伸缩k倍,得到新的 函数为y=a(kx)^2+(b/k)x+c。
如果将二次函数y=ax^2+bx+c 的图象沿y轴伸缩k倍,得到新的
函数为y=ax^2+bx+c/k。
04
二次函数的应用
生活中的二次函数
总结词
二次函数在生活中的应用广泛,涉及多个领域。
THANKS
感谢您的观看
详细描述
二次函数在现实生活中有着广泛的应用,如物理学中的抛物线运动、经济学中的成本与收益关系、工 程学中的桥梁设计等。通过理解二次函数的性质,我们可以更好地解决这些实际问题。
数学中的二次函数
总结词
二次函数是数学中的基础函数之一,具 有重要地位。
VS
详细பைடு நூலகம்述
在数学领域,二次函数是基础函数之一, 具有丰富的性质和重要的地位。它不仅是 代数和几何的重要内容,还是解决各种数 学问题的关键工具。深入理解二次函数的 性质和图像特征,有助于提高数学分析和 解决问题的能力。
$(1, -1)$。二次函数$f(x) = x^2 - 2x$可以写成顶点式$f(x) = (x - 1)^2 - 1$,由此可知顶 点坐标为$(1, -1)$。
03
填空题答案与解析
$a leq 1$。二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的对称轴是直线$x = 1$,由于在区间$( - infty, a)$ 上是减函数,因此$a leq 1$。
02
二次函数的性质
开口方向
总结词
由二次函数的系数a决定,a>0时向上开口,a<0时向下开口。
详细描述
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c,其中a为系数。当a>0时,抛物线向上开 口;当a<0时,抛物线向下开口。开口方向决定了抛物线的增减性。
顶点坐标
总结词
由二次函数的对称轴和顶点决定,顶 点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的标准形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$,其中顶点坐标为$(frac{b}{2a}, f(-frac{b}{2a}))$。
详细描述
二次函数的表达式是$f(x) = ax^2 + bx + c$,其中$a$、$b$和$c$是常 数,且$a neq 0$。顶点坐标为$(frac{b}{2a}, f(-frac{b}{2a}))$。
解答题
求二次函数$f(x) = x^2 - 2x$ 在区间$(1,3)$上的最大值和最
小值。
答案与解析
01
判断题答案与解析 02
正确。二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的对称轴是$x = frac{b}{2a}$,这是二次函数的 性质之一,由二次函数的对称 性得出。
选择题答案与解析
04
解答题答案与解析
最大值为0,最小值为-1。在区 间$(1,3)$上,由于二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的对称轴是直线$x = 1$,且开口向上,因此在区间 $(1,3)$上,函数先减后增,最小 值为顶点的纵坐标$-1$,最大值 为端点处的纵坐标,即当$x=3$ 时,$f(3) = 0$。
二次函数的图象
总结词
二次函数的图象是一个抛物线,开口方向由系数$a$决定,对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。
详细描述
二次函数的图象是一个抛物线。根据系数$a$的正负,抛物线的开口方向会有所 不同。当$a > 0$时,抛物线开口向上;当$a < 0$时,抛物线开口向下。抛物 线的对称轴是直线$x = -frac{b}{2a}$。
科学中的二次函数
总结词
二次函数在科学领域中的应用广泛,涉及多 个学科。
详细描述
在科学研究中,二次函数的应用非常广泛, 如物理学中的重力加速度计算、化学中的反 应速率计算、生物学中的种群增长模型等。 通过运用二次函数的性质和图像特征,科学 家们能够更好地理解和解释自然现象,推动 科学的发展和进步。
05
目录
CONTENTS
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图象变换 • 二次函数的应用 • 习题与解答
01
二次函数的基本概 念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数,其中$a neq 0$ 。
详细描述
二次函数是数学中一种常见的函 数形式,其定义是基于变量的二 次方。在定义中,$a$、$b$和 $c$是常数,且$a neq 0$。
最值
总结词
当a>0时,二次函数有最小值;当a<0时,二次函数有最大 值。最值出现在对称轴上,即x=-b/2a处。
详细描述
由于抛物线的开口方向由系数a决定,当a>0时,抛物线有最 小值;当a<0时,抛物线有最大值。这些最值出现在对称轴 上,即x=-b/2a处。最值的y坐标可以通过公式c-b^2/4a计 算得出。
03
二次函数的图象变 换
平移变换
平移变换是指将二次 函数的图象沿x轴或y 轴进行移动。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图 象沿y轴平移k个单位 ,得到新的函数为 y=ax^2+bx+c-k。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图 象沿x轴平移k个单位 ,得到新的函数为 y=ax^2+(b2ak)x+c+ak^2。
翻折变换
翻折变换是指将二次函数的图 象沿某条直线进行翻折。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图象沿x轴翻 折,得到新的函数为y=-ax^2bx-c。
如果将二次函数 y=ax^2+bx+c的图象沿y轴翻 折,得到新的函数为y=ax^2+bx-c。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图象 沿x轴或y轴进行缩放。
习题与解答
习题
判断题
二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的对称轴是$x = frac{b}{2a}$。
选择题
下列哪个选项是二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的顶点坐标?
填空题
已知二次函数$f(x) = x^2 2x$在区间$( - infty, a)$上是减 函数,则$a$的取值范围是____ 。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式(b/2a, c-b^2/4a)计算得出。其中, b/2a是对称轴的x坐标,c-b^2/4a是 顶点的y坐标。顶点是抛物线的最低点 或最高点。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线,其方程为x=-b/2a。对称轴是抛物线的对称中心,它将抛物线平分 。
如果将二次函数y=ax^2+bx+c 的图象沿x轴伸缩k倍,得到新的 函数为y=a(kx)^2+(b/k)x+c。
如果将二次函数y=ax^2+bx+c 的图象沿y轴伸缩k倍,得到新的
函数为y=ax^2+bx+c/k。
04
二次函数的应用
生活中的二次函数
总结词
二次函数在生活中的应用广泛,涉及多个领域。
THANKS
感谢您的观看
详细描述
二次函数在现实生活中有着广泛的应用,如物理学中的抛物线运动、经济学中的成本与收益关系、工 程学中的桥梁设计等。通过理解二次函数的性质,我们可以更好地解决这些实际问题。
数学中的二次函数
总结词
二次函数是数学中的基础函数之一,具 有重要地位。
VS
详细பைடு நூலகம்述
在数学领域,二次函数是基础函数之一, 具有丰富的性质和重要的地位。它不仅是 代数和几何的重要内容,还是解决各种数 学问题的关键工具。深入理解二次函数的 性质和图像特征,有助于提高数学分析和 解决问题的能力。
$(1, -1)$。二次函数$f(x) = x^2 - 2x$可以写成顶点式$f(x) = (x - 1)^2 - 1$,由此可知顶 点坐标为$(1, -1)$。
03
填空题答案与解析
$a leq 1$。二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的对称轴是直线$x = 1$,由于在区间$( - infty, a)$ 上是减函数,因此$a leq 1$。
02
二次函数的性质
开口方向
总结词
由二次函数的系数a决定,a>0时向上开口,a<0时向下开口。
详细描述
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c,其中a为系数。当a>0时,抛物线向上开 口;当a<0时,抛物线向下开口。开口方向决定了抛物线的增减性。
顶点坐标
总结词
由二次函数的对称轴和顶点决定,顶 点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的标准形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$,其中顶点坐标为$(frac{b}{2a}, f(-frac{b}{2a}))$。
详细描述
二次函数的表达式是$f(x) = ax^2 + bx + c$,其中$a$、$b$和$c$是常 数,且$a neq 0$。顶点坐标为$(frac{b}{2a}, f(-frac{b}{2a}))$。
解答题
求二次函数$f(x) = x^2 - 2x$ 在区间$(1,3)$上的最大值和最
小值。
答案与解析
01
判断题答案与解析 02
正确。二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的对称轴是$x = frac{b}{2a}$,这是二次函数的 性质之一,由二次函数的对称 性得出。
选择题答案与解析
04
解答题答案与解析
最大值为0,最小值为-1。在区 间$(1,3)$上,由于二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的对称轴是直线$x = 1$,且开口向上,因此在区间 $(1,3)$上,函数先减后增,最小 值为顶点的纵坐标$-1$,最大值 为端点处的纵坐标,即当$x=3$ 时,$f(3) = 0$。
二次函数的图象
总结词
二次函数的图象是一个抛物线,开口方向由系数$a$决定,对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。
详细描述
二次函数的图象是一个抛物线。根据系数$a$的正负,抛物线的开口方向会有所 不同。当$a > 0$时,抛物线开口向上;当$a < 0$时,抛物线开口向下。抛物 线的对称轴是直线$x = -frac{b}{2a}$。
科学中的二次函数
总结词
二次函数在科学领域中的应用广泛,涉及多 个学科。
详细描述
在科学研究中,二次函数的应用非常广泛, 如物理学中的重力加速度计算、化学中的反 应速率计算、生物学中的种群增长模型等。 通过运用二次函数的性质和图像特征,科学 家们能够更好地理解和解释自然现象,推动 科学的发展和进步。
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