2014高考数学知识点讲析数列
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2014高考数学知识点讲析:数列
【专题要点】数列的概念及表示方法,等差数列和等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、性质、判定,等差数列和等比数列的比较,等差数列和等比数列与其它知识的综合应用
【考纲要求】
1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据数列的通项公式写出数列的前几项。
2.理解等差、等比数列的概念并能解决简单的实际问题,掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差(或等比)关系,能够构造等差、等比数列的模型,并能用有关知识解决相应的实际问题
【知识纵横】
【教法指引】
数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。
高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。
高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
(2)数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
(3)数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大都以基础题和中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大
有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。
在解决综合题和探索性问题时,教师可适当引导学生加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,从而提高分析问题和解决问题的能力, 进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.
【典例精析】
例1.(04年浙江)设数列{a n }的前项的和S n =3
1
(a n -1) (n ∈N +),(1)求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列
解: (1)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21- 又)1(31
22-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得4
1
2=a .
(2)当n >1时,),1(3
1
)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a
得
,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为2
1
-的等比数列 例2.(2008深圳模拟)图(1)、(2)、(3)、
(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”,则(5)f = ;
()(1)f n f n --=____
解:第1个图个数:1
第2个图个数:1+3+1
第3个图个数:1+3+5+3+1
第4个图个数:1+3+5+7+5+3+1
第5个图个数:1+3+5+7+9+7+5+3+1=41,
所以,f(5)=41
f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,f(5)-f(4)=16
()(1)
f n f n
--=4(1)
n-
点评:由特殊到一般,考查逻辑归纳能力,分析问题和解决问题的能力,本题的第二问是一个递推关系式,有时候求数列的通项公式,可以转化递推公式来求解,体现了转化与化归的数学思想
例3.已知数列{a
n }是公差d≠0的等差数列,其前n项和为S
n
.
(2)过点Q
1(1,a
1
),Q2(2,a2)作直线12,设l
1
与l2的夹角为θ,
证明:(1)因为等差数列{a
n
}的公差d≠0,所以
Kp
1
p k是常数(k=2,3,…,n).
(2)直线l2的方程为y-a
1
=d(x-1),直线l2的斜率为d.
例4.已知数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,并且1142(1,2,
),1n n S a n a +=+==,
⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列; ⑵设数列),2,1(,2
==
n a c n n
n ,求证:数列{}n c 是等差数列; ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和
分析:由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关,{a n }中又有S 1n +=4a n +2,可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径.
解:(1)由S 1n +=4a 2n +,S 2n +=4a 1n ++2,两式相减,得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n ),即 a 2n +=4a 1n +-4a n .(根据b n 的构造,如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练)
a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n ),又
b n =a 1n +-2a n ,所以b 1n +=2b n ① 已知S 2=4a 1+2,a 1=1,a 1+a 2=4a 1+2,解得a 2=5,b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得,数列{b n }是首项为3,公比为2的等比数列,故b n =3·2
1
n -.
当n ≥2时,S n =4a 1n -+2=2
1
n -(3n-4)+2;当n=1时,S 1=a 1=1也适合上式.
综上可知,所求的求和公式为S n =2
1
n -(3n-4)+2.
说明:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前n 项和。
解决本题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式。
2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用.
例5.在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,对一切正整数n ,点n P 位于函数4133+=x y 的图象上,且n P 的横坐标构成以2
5
-为首项,1-为公差的等差数列{}n x
⑴求点n P 的坐标;
⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,第n 条抛物线n c 的顶点为n P ,且过点)1,0(2+n D n ,记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ,求:
n
n k k k k k k 13221111-+
++ ⑶设{}{}1,4|,1,,2|≥==≥∈==n y y y T n N n x x x S n n ,等差数列{}n a 的任一项
T S a n ⋂∈,其中1a 是T S ⋂中的最大数,12526510-<<-a ,求{}n a 的通项公式
解:(1)2
3
)1()1(25--=-⨯-+-
=n n x n 1353533,(,3)4424
n n n y x n P n n ∴=⋅+
=--∴---- (2)n c 的对称轴垂直于x 轴,且顶点为n P .∴设n c 的方程为:
,4
5
12)232(2+-++
=n n x a y 把)1,0(2+n D n 代入上式,得1=a ,n c ∴的方程为:1)32(2
2
++++=n x n x y 。
32|0'+===n y k x n ,)3
21
121(21)32)(12(111+-+=++=
∴
-n n n n k k n
n
n n k k k k k k 132211
11-+
++∴
)]321121()9171()7
151[(21+-+++-+-=n n =
6
41
101)32151(21+-
=+-n n (3)}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ,
}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y
,S
T T ∴=T 中最大数171-=a .
设}{n a 公差为d ,则)125,265(91710--∈+-=d a ,由此得
).(247,24),
(12,129
248
**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<-
又 说明:本例为数列与解析几何的综合题,难度较大(1)、(2)两问运用几何知识算出n k ,解决(3)的关键在于算出S
T 及求数列{}n a 的公差
例 6.(河北省正定中学高2008届一模)设数列{a n }的各项都是正数,且对任意n ∈N +
,都有
2
3333231n
n S a a a a =++++ ,记S n 为数列{a n }的前n 项和. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)若n a
n n n b 2)1(31⋅-+=-λ(λ为非零常数,n ∈N +
),问是否存在整数λ,使得对任
意 n ∈N +
,都有b n +1>b n .
解:(1)在已知式中,当n =1时,2
131a a = ∵a 1>0 ∴a 1=1
当n ≥2时,2
3333231n n S a a a a =++++ ① 2131333231--=++++n n S a a a a ②
①-②得,()()3
2
2
111n n n n n n n a S S S S S S ---=-=-+
∵a n >0 ∴2n a =1n n S S -+=2S n -a n
∵a 1=1适合上式
当n ≥2时, 21-n a =2S n -1-a n -1 ④
③-④得2n a -21-n a =2(S n -S n -1)-a n +a n -1=2a n -a n + a n -1= a n + a n -1
∵a n +a n -1>0 ∴a n -a n -1=1
∴数列{a n }是等差数列,首项为1,公差为1,可得a n =n (2)∵113(1)23(1)2n
a n n n n n n n a n
b λλ--=∴=+-⋅=+-⋅
2)
1(332]
2)1(3[]2)1(3[1
1111>⋅--⋅=⋅-+-⋅-+=-∴--+++n
n n
n n n n n n n n b b λλλ
∴11)2
3()1(--<⋅-n n λ ⑤
当n =2k -1,k =1,2,3,……时,⑤式即为22)2
3(-<k λ ⑥ 依题意,⑥式对k=1,2,3……都成立,∴λ<1 当n=2k ,k=1,2,3,…时,⑤式即为213()2
k λ->- ⑦ 依题意,⑦式对k=1,2,3,……都成立, ∴2
3->λ分 ∴0,12
3
≠<<-
λλ又 ∴存在整数λ=-1,使得对任意n ∈N ,都有b n+1>b n
例7.(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知2
1
4)(x x f +
-=数列}{n a 的前n 项和为n S ,点)1,(1
+-
n n n a a P 在曲线)(x f y =上)(*N n ∈且0,11>=n a a .
(1)求数列}{n a 的通项公式; (2)数列}{n b 的前n 项和为且n T 满足
3816221
21--+=++n n a T a T n n
n n ,设定1b 的值使得数列}{n b 是等差数列;
(3)求证:*,1142
1
N n n S n ∈-+>. 解:(1)014)(12
1
>+
-==-
+n n
n n a a a f a 且
∴
2
1
141n
n a a +
=+
∴
*)(4112
2
1
N n a a n
n ∈=-+
∴数列}1{
2
n
a 是等差数列,首项112
=n
a 公差d=4
∴
)1(4112
-+=n a n
∴3
41
2
-=
n a n
∵0>n a ∴*)(3
1N n a a n n ∈-=
(2)由3816,
341
22
1
--=-=
+n n a T n a n
n n
得)14)(34()14()34(1+-++=-+n n T n T n n n
∴
134141=--++n T
n T n n ∴
13
41-+=-n T n T n
∴)1)(34(1-+-=n T n T n
若}{n b 为等差数列,则11,01111===-b T T 即 ∴*78N n n b n ∈-=
(3)341-=
n a n
∴1
43423
422
++->
-=
n n n a n
2
3
414--+=
n n
∴)59()15(21
21-+->
+++=n n a a a S 1142
1
)3414(--=--+++n n n
*1142
1N n n ∈=+> 例8.(2008福建理) 已知函数321
()23
f x x x =+-.
(1)设{a n }是正数组成的数列,前n 项和为S n ,其中a 1=3.若点2
11(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函
数y =f ′(x )的图象上,求证:点(n ,S n )也在y =f ′(x )的图象上;
(2)求函数f (x )在区间(a -1,a )内的极值. (1)证明:因为3
21()2,3
f x x x =
+-所以f ′(x )=x 2+2x , 由点211(,2)(N )n n n a a a n +
++-∈在函数y =f ′(x )的图象上,
又0(N ),n a n +>∈所以11()(2)0,n n n n a a a a -+---= 所以2(1)
32=22
n n n S n n n -=+
⨯+,又因为f ′(n )=n 2+2n ,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数y=f ′(x )的图象上.
(2)解:2
()2(2)f x x x x x '=+=+, 由()0,f x '=得02x x ==-或.
当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表:
注意到(1)12a a --=<,从而
①当2
12,21,()(2)3
a a a f x f -<-<-<<--=-
即时的极大值为,此时()f x 无极小值; ②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值; ③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值.
点评:本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识,考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题和解决问题的能力.
例9、根据如图所示的程序框图,将输出的x 、y 值依次分别记为122008,,
,,,n x x x x ;
122008,,,,,n y y y y
(1)求数列}{n x 的通项公式n x ;
(2)写出y 1,y 2,y 3,y 4,由此猜想出数列{y n }的一个通项公式y n ,并证明你的结论; (3)求1122(,2008)n n n z x y x y x y x N n =++
+∈*≤.
解:(1)由框图,知数列2,1}{11+==+n n n x x x x 中,
∴12(1)21(*,2008)n x n n n N n =+-=-∈≤ (2)y 1=2,y 2=8,y 3=26,y 4=80.
由此,猜想31(*,2008).n n y n N n =-∈≤ 证明:由框图,知数列{y n }中,y n +1=3y n +2 ∴)1(311+=++n n y y ∴
111
3,1 3.1
n n y y y ++=+=+
∴数列{y n +1}是以3为首项,3为公比的等比数列 ∴n y +1=3·3
n -1
=3
n
∴n y =3n
-1(*,2008n N n ∈≤) (3)z n =n n y x y x y x +++ 2211
=1×(3-1)+3×(32
-1)+…+(2n -1)(3n
-1) =1×3+3×32
+…+(2n -1)·3n
-[1+3+…+(2n -1)] 记S n =1×3+3×32
+…+(2n -1)·3n
,① 则3S n =1×32
+3×33+…+(2n -1)×3n +1
②
①-②,得-2S n =3+2·32+2·33+…+2·3n -(2n -1)·3n +1
=2(3+32+…+3n )-3-(2n -1)·3n +1
=2×13·)12(33
1)31(3+-----n n n =113·)12(63++---n n n 63·)1(21--=+n n ∴.33·)1(1+-=+n n n S
又1+3+…+(2n -1)=n 2
∴12(1)33(*,2008)n n z n n n N n +=-⋅+-∈≤.
点评:程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物,因为程序框图中循环,与数列的各项一一对应,所以,这方面的内容是命题的新方向,应引起重视
例10.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a ,a n+1=S n +3n ,n∈N*.(1)设b n =S n -3n ,求数列{b n }的通项公式;(2)若a n+1≥a n ,n∈N*,求a 的取值范围.
分析: 第(Ⅰ)小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式;第(Ⅱ)小题将条件a n+1≥a n 转化为关于n 与a 的关系,再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min 求解.
解: (1)依题意,S n+1-S n =a n+1=S n +3n ,即S n+1=2S n +3n ,
由此得S n+1-3 n+1=2(S n -3n ).
因此,所求通项公式为b n =S n -3n =(a -3)2
n -1,n∈N*, ① (2)由①知S n =3n +(a -3)2 n -1,n∈N*,
于是,当n≥2时,a n =S n -S n -1=3n +(a -3)2
n -1-3n -1-(a -3)2 n -2=2×3n -1 +(a -3)2 n -2,
a n+1-a n =4×3 n -1+(a -3)2 n -2=2 n -2
·[12·(32
)n -2+a -3], 当n≥2时,a n+1≥a n ,即2 n -2·[12·(32)n -2+a -3]≥0,12·(32)n -2+a -3≥0,∴a≥-9, 综上,所求的a 的取值范围是[-9,+∞].
点评:一般地,如果求条件与前n 项和相关的数列的通项公式,则可考虑S n 与a n 的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法,应当引起重视.。