一道07年物理高考题的多种解法及其启示

一道07年物理高考题的多种解法及其启示
（株洲市二中 郭建军 株洲景炎中学 唐峻林）
进入21世纪，国际间的竞争日趋激烈。

国际竞争说到底是综合国力的竞争，而综合国力的竞争关键在于科学技术、创新人才和国民科学素质的竞争。

创新人才要有创新思维能力,发散思维能力是创新思维能力的重要组成部分,在习题教学中教师可以启发学生从问题多角度多侧面分析思考,用一题多解, 一题多变, 一题多用等形式让学生不仅可以获取知识，深刻地领会和掌握知识，而且还能使学生产生一种对问题的敏感性，迅速抓住问题的要害，找出各种解决问题的途径，这对于学生形成科学思维能力、提高科学素养都有作用。

请看07年全国卷理科综合24题.
如图所示，质量为m 的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m 的金属球并排悬挂。

现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=600的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。

在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。

已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。

求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于450。

解法一（从绝缘球能量的角度出发找规律）:设在第n 次碰撞前绝缘球的速度为v n-1, 碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v n V n 。

由于发生弹性碰撞，有动量守恒，碰撞前后动能相等，设速度向左为正，则
m v n-1=M V n -m v n 22212
12121n n n mv MV mv +=- 由以上两式及M =19m 解得v n =1109-n v V n =110
1
-n v
第n 次碰撞后绝缘球动能为
E n =
02
)81.0(2
1E mv n n = （E 0是第1次碰撞前绝缘球动能，即初始能量。

） 绝缘球在θ=θ0=600与θ=450处的势能之比为
586.0)
cos 1()cos 1(00=--=θθmgl mgl E E 式中l 为摆长。

由上式，经过n 次碰撞后
n E E
)81.0(0
= 易算出2
)81.0(=0.656 3
)81.0(=0.531,因此,经过3次碰撞后θ将小于450。

解法二（从绝缘球能量的角度出发递推）:设在第1次碰撞前绝缘球的速度为v 0, 碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v 1 V 1。

由于发生弹性碰撞，有动量守恒，碰撞前后动能相等，设速度向左为正，则
m v 0=M V 1 -m v 1
2121202
1
2121mv MV mv += 由以上两式及M =19m 解得v 1=0109v V 1=0101
v
第1次碰撞后绝缘球动能为E 1=02
1)81.0(2
1E mv = （E 0是第1次碰撞前绝缘球动能，即初始能量。

）
绝缘球在θ= 600的势能为E 0=)60cos 1(0-mgl =0.5mgl θ=450处的势能为E P =)45cos 1(0-mgl = 586.0E 0
由E 1>E P ,会有第2次碰撞，同理可得第2次碰撞后绝缘球动能为E 2=0.656 E 0>E P ,会有第3次碰撞，同理可得第3次碰撞后绝缘球动能为E 3=0.531 E 0<E P,
解法三（从能量损失的角度出发找规律）:同解法一解得v n =1109-n v V n =110
1
-n v 第n 次碰撞后金属球损失的能量为
∆E n =212
119.02
121--=n n mv Mv
n 次碰撞损失的能量为∆E=∆E 1+∆E 2+┄┄.+ ∆E n =0.19E 0(1+0.81+┄┄+0.81n-1)
（绝缘球在θ= 600的势能为E 0=)60cos 1(0-mgl =0.5mgl ，即初始能量。

） 绝缘球在θ=θ0=600到θ=450处的过程中损失能量 E 损= )60cos 1(0-mgl -)45cos 1(0-mgl =0.207mgl 要满足∆E> E 损,解出n=3时成立。

解法四（从速度的角度出发递推 ）: 同解法二解得v 1=
0109v V 1=010
1
v
可得v n =0)109(
v n
由碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于450有 )45cos 1(2
102
-<mgl mv n n=3时，上式成立
可得v n =0)10
9(
v n
碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度为θn
)cos 1(2
1n 2
θ-=mgl mv n n c o s θ>045cos n=3时，上式成立
解法七（从摆角的角度出发递推）:同解法二 解得 v 1=010
9
v 碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度为θ1
)cos 1(2
112
1θ-=mgl mv 1c o s θ=0.595<045cos =0.707
同理可得2cos θ=0.672<0
45cos =0.707 3cos θ=0.734>0
45cos =0.707 所以，最多碰撞3次
同理可得h 2>h 临 h 3<h 临 所以，最多碰撞3次 解法九（从摆起的高度出发找规律）:同解法二解得 v 1=
010
9v
绝缘球摆动450高度为h 临= )45cos 1(0
-l h n =0.81n h 0<临 n=3时，上式成立
上面所介绍的几种方法，都要用到数学上的一些方法虽各不相同，但不难看出在
计算或推证物理问题的过程中，不仅要熟练掌握有关的物理概念和公式，还要有灵活的数学运算技巧。

在物理教学中，用些需要用数学思想、方法及技巧处理物理问题的考题，来训练学生的思维能力，增强学生科学素养，这也是新一轮国家基础教育课程改革的一个重要任务。

出师表
两汉：诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。

今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。

此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。

至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。

若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。

臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。