2020年高中数学人教A必修5练习3 解三角形的实际应用 Word版含解析

学业分层测评（三）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1-2-9，测得下面四组数据，较合理的是()
图1-2-9
A．c与α
B．c与b
C．b，c与β
D．b，α与γ
【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.
【答案】 D
2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是()
A．50 n mile B．70 n mile
C．90 n mile D．110 n mile
【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得
两船之间的距离为
l＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝70 (n mile)．
【答案】 B
3．如图1-2-10，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，
AD＝20(3＋1)，则A，B间距离是()
图1-2-10
A．202米B．203米
C．206米D．402米
【解析】可得DB＝DC＝40，AD＝20(3＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB 中，由余弦定理得AB＝206(米)．
【答案】 C
4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()
A．20 m B．30 m
C．40 m D．60 m
【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，
在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．
【答案】 C
5．如图1-2-11所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为()
图1-2-11
A．15 6
m B．20 6 m
C．25 6 m D．30 6 m 【解析】设建筑物的高度为h，由题图知，
P A＝2h，PB＝2h，PC＝23
3h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，
得cos∠PBA＝602＋2h2－4h2
2×60×2h
，①
cos∠PBC＝602＋2h2－
4
3h
2
2×60×2h
. ②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③
由①②③，解得h＝306或h＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.
【答案】 D
二、填空题
6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长千米．
【解析】如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，
∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.
在△ABC中，
AB
sin C＝
AC
sin ∠ABC
，
∴AC＝AB·sin ∠ABC
sin C＝
1×
2
2
1
2
＝2(千米)．
【答案】 2
7．如图1-2-12，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是m.
图1-2-12
【解析】 tan 30°＝CD AD ，tan 75°＝CD DB ，
又AD ＋DB ＝120，
∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°，
∴AD ＝603，故CD ＝60.
【答案】 60
8．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 做匀速直线滚动，如图1-2-13所示，已知AB ＝4 2 dm ，AD ＝17 dm ，∠BAC ＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A 点 dm 的C 处截住足球. 【导学号：05920061】
图1-2-13
【解析】 设机器人最快可在点C 处截住足球，
点C 在线段AD 上，设BC ＝x dm ，由题意知CD ＝2x dm ，AC ＝AD －CD ＝(17－2x )dm.
在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，
即x 2＝(42)2＋(17－2x )2－82(17－2x )cos 45°，解得x 1＝5，x 2＝373.
∴AC ＝17－2x ＝7(dm)，或AC ＝－233(dm)(舍去)．
∴该机器人最快可在线段AD 上距A 点7 dm 的点C 处截住足球．
【答案】 7
三、解答题
9．A ，B ，C ，D 四个景点，如图1-2-14，∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，∠ADC ＝15°.A ，D 相距2 km ，C ，D 相距(32－6)km ，求A ，B 两景点的距离．
图1-2-14 【解】在△BCD中，
∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，
由正弦定理得
BD
sin ∠BCD
＝
CD
sin ∠CBD
，
即BD＝CD·sin 75°sin 60°＝2.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝2.
答：A，B两景点的距离为2 km.
10．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．【解】
如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.
∵AB＝30(m)，
∴BC＝30(m)，
在Rt△ABD中，BD＝
30
tan 30°＝303(m)．
在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，
∴CD＝30(m)，即两船相距30 m.
[能力提升]
1．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车
的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()
A．d1>d2B．d1＝d2
C．d1<d2D．不能确定大小
【解析】如图，
B，C，D分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α＝β.
在△PBC中，
d1
sin α＝
PB
sin∠PCB
，
在△PCD中，
d2
sin β＝
PD
sin∠PCD
，
∵sin α＝sin β，sin∠PCB＝sin∠PCD，∴d1
d2＝
PB
PD.
∵PB<PD，∴d1<d2.
【答案】 C
2．如图1-2-15，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m, 3＝1.732)()
图1-2-15
A．2.7 m B．17.3 m
C．37.3 m D．373 m
【解析】在△ACE中，tan 30°＝CE
AE＝
CM－10
AE.
∴AE＝CM－10
tan 30°(m)．
在△AED中，tan 45°＝DE
AE＝
CM＋10
AE，
∴AE＝CM＋10
tan 45°(m)，
∴CM－10
tan 30°＝
CM＋10
tan 45°，
∴CM＝10(3＋1)
3－1
＝10(2＋3)≈37.3(m)．
【答案】 C
3.如图1-2-16所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°；从B 处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°；从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为米．
图1-2-16
【解析】在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.
因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.
由正弦定理，得
BD
sin∠DAB
＝
AD
sin∠ABD
，
所以
200
sin 30°＝
AD
sin 120°.
所以AD＝200×sin 120°
sin 30°＝2003(米)．
在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，
所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝10039(米)．故石竹山这条索道AC长为10039米．
【答案】10039
4．2015年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图1-2-17)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需
要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
图1-2-17
【解】方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B 点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d.
②第一步：计算AM.由正弦定理AM＝
d sin α2
sin(α1＋α2)
；
第二步：计算AN.由正弦定理AN＝
d sin β2
sin(β2－β1)
；
第三步：计算MN.由余弦定理
MN＝AM2＋AN2－2AM·AN cos(α1－β1).
方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d.
②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝
d sin α1
sin(α1＋α2)
；
第二步：计算BN.由正弦定理BN＝
d sin β1
sin(β2－β1)
；
第三步：计算MN.由余弦定理
MN＝BM2＋BN2－2BM·BN cos(β2＋α2).
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