精品解析：【全国百强校】上海市交大附中2019届高三上9月开学摸底考试数学试题(解析版)

上海市交大附中高三9月份开学考试
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、填空题.
1.方程组的增广矩阵是______．
【答案】
【解析】
试题分析：根据增广矩阵的定义可知为.
考点：本小题主要考查增广矩阵的定义和应用.
点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。

2.若直线的参数方程为，则直线的倾斜角是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程为y+2（x﹣3），求出其斜率，结合直线的斜率与倾斜
角的关系可得tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．
【详解】根据题意，直线l的参数方程为，
则其普通方程为y+2（x﹣3），
其斜率k，
则有tanθ，且0°≤θ＜180°，
则θ＝120°；
故答案为：120°．
【点睛】本题考查直线的参数方程，关键是将直线的参数方程变形为普通方程,熟记斜率与倾斜角的关系是
关键，是基础题
3._______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理系数的性质，求解分子，然后利用数列极限的运算法则求解即可．
【详解】由二项式定理系数的性质可得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力，是基础题
4.已知数列的前项的和，则当为正偶数时，______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知求得，当n≥2且n为正偶数时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3，验证a2＝3适合，由此可得当n为正偶数时的a n．
【详解】由，
得＝1，；
当n≥2且n为正偶数时，
a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3．
验证＝3适合上式，
∴当n为正偶数时，．
故答案为：2n﹣2n+3．
【点睛】本题考查数列通项公式，考查利用数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．
5.函数是奇函数，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】
求f（﹣x）＝，再根据f（x）为奇函数，可得出＝-整理化简即可求出a的值．
【详解】由题f（﹣x）＝函数是奇函数，∴- f（﹣x）＝，即-解得2,∴
故答案为-1
【点睛】本题考查奇函数的定义，多项式的运算，多项式相等的充要条件，准确利用定义计算是关键，是基础题
6.若函数无最值，则的取值范围是______．
【答案】a或a
【解析】
【分析】
由题意函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，即△≥0，可得a的取值范围．
【详解】由题意，函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，
那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，
即△≥0，
∴a2﹣8≥0，
则a或a；
故答案为：a或a．
【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，考查对数函数的性质，明确真数无最值是突破点，准确利用二次函数的△≥0解决问题是关键，是中档题
7.△的内角，，的对边分别为，，，已知△的面积为，，则______．【答案】
【解析】
【分析】
直接利用三角形的面积公式和正弦定理求出sinBsinC的值，进一步利用三角函数关系式的变换即可求出A 的值．
【详解】已知△ABC的面积为，则：S△ABC acsinB，
整理得：3csinBsinA＝2a，
由正弦定理得：3sinCsinBsinA＝2sinA，
由于sinA≠0，
故：sinBsinC，
由于：6cosBcosC＝1，
所以：cosBcosC，
所以：cosBcosC﹣sinBsinC，
所以：cos（B+C），
故：cosA，A
所以：A．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8.设，是虚数单位，已知集合，，若，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示圆的圆心移动到了（1，1+b）；两圆面有交点即可求解b的取值范围．
【详解】由题意，集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；
集合B表示点的轨迹为（1，1+b），半径为2的圆及内部
∵A∩B≠∅，
说明，两圆面有交点；
∴．
可得：，
故答案：，
【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B集合的意义是关键，是中档题
9.从双曲线（，）的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于
点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是____．
【答案】
【解析】
试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，，，则，在中，，
，所以，又是线段的中点，为中点，
所以，所以即
，故应填入.
考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.
10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表
示）．
【答案】
【解析】
【分析】
胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.
【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；
∴由古典概型得所求的概率为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
11.关于的方程恰有3个实数根，，，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，判断f（x）的奇偶性，由题意可得f（0）＝0，求得a，再由反三角函数的定义和性质，化简函数，求得f（x）＝0的解，即可得到所求和．
【详解】令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，
可得f（﹣x）＝（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a＝f（x），
则f（x）为偶函数，
∵f（x）＝0有三个实数根，
∴f（0）＝0，即0a＝0，故有a，
关于x的方程即x2+arcsin（cosx）0，
可设＝0，
且2+arcsin（cos）0，
2+arcsin（cos）0，
由y＝x2和y arcsin（cosx），
当x＞0，且0＜x＜π时，y arcsin（cosx）arcsin（sin（x））
（x））＝x，
则﹣π＜x＜0时，y arcsin（cosx）＝﹣x，
由y＝x2和y arcsin（cosx）的图象可得：
它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），
则2+2+2＝0+1+1＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查函数与方程，函数的奇偶性，反三角函数的定义和性质，函数方程的转化思想，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
12.由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是____．
①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；
③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素.
【答案】①②④
【解析】
由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．
【详解】若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；若M＝{x∈Q|x}，N＝{x∈Q|x}；则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；
若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；
M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数矛盾，故③不可能成立．
故答案为：①②④
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查列举法和推理能力，对每个选项举出反例说明是关键，属于基础题．
二、选择题。

13.已知集合，则下列选项正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B正确.
14.在空间直角坐标系中，若点在第Ⅵ卦限，则与点关于轴对称的点在（）
A. 第Ⅰ卦限
B. 第Ⅲ卦限
C. 第Ⅴ卦限
D. 第Ⅶ卦限
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点P的卦限得坐标x，y，z的符号，再得对称点的坐标的符号，从而可得对称点的卦限．
【详解】因为点P（x，y，z）在第Ⅵ卦限，所以x＜0，y＞0，z＜0，
点P关于y轴的对称点为（﹣x，y，﹣z），在第Ⅰ卦限．
故选：A．
【点睛】本题考查了空间向量运算的坐标表示，熟记每个卦限的坐标符号是解决问题的关键，属基础题．15.设，，为实数，则实数“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
首先求出方程Ax 2+By 2＝C 表示的曲线为双曲线的充要条件，然后根据充分条件，必要条件的定义来判断． 【详解】∵方程Ax 2
+By 2
＝C 表示的曲线为双曲线， ∴
，∴AB＜0且C≠0；
∵ABC＜0推不出AB ＜0且C≠0， AB ＜0且C≠0推不出ABC ＜0；
∴实数“ABC＜0”是“方程Ax 2+By 2＝C 表示的曲线为双曲线”的 非充分非必要条件． 故选：D ．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，熟记双曲线的方程的特点，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是基础题
16.已知、、、是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数、、，使得，
则三个角、
、
（ ）
A. 都是钝角
B. 至少有两个钝角
C. 恰有两个钝角
D. 至多有两个钝角
【答案】B 【解析】 【分析】
根据
，移项得
，两边同时点乘
，得
•
0，再根据正实数
，
和向量数量积的定义即可确定∠BOC、
∠COA 至少有一个为钝角，同理可证明∠AOB、∠BOC 至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA 至少有一个为钝角，从而得到结论． 【详解】∵λ
1
λ
2
λ
3
，
∴，两边同时点乘，得
•，
即||•||cos∠COA+cos∠BOC＝﹣0，
∴∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，
同理∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，
因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有两个钝角．
故选：D．
【点睛】本题考查数量积，考查向量的夹角，以及数量积的定义式，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,是中档题
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.如图所示，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点.
（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，在△中，利用余弦
定理求，即可求解（2）分别求和，再求比值即可
【详解】（1）连接，则，
直线与的所成角等于直线与所成角，
设圆柱的底面半径为，即，，
在△中，，又
所以直线与所成角的大小等于.
（2）设圆柱的底面半径为，母线长度为，
当点是弧的中点时，，且平面，
，，
∴.
【点睛】本题主要考查异面直线所成角，圆柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
18.（1）已知是定义在上的奇函数，求实数、的值；
（2）已知是定义在上的函数，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝lg lgb＝0，解可得b，又由f（x）+f（﹣x）＝0，可得a的值，即可得答案．（2）根据题意，分析可得不等式ax＞0在R上恒成立；即ax 恒成立，转化为两个函数y=和y=ax，先求相切的临界情况，再由不等关系，即可得答案．
【详解】（1）是定义在R上的奇函数，
则有f（0）＝lg lgb＝0，则b，
且f（x）+f（﹣x）＝lg（ax）+lg（ax）﹣2lg lg[（x2+2）﹣a2x2]﹣lg2＝lg[（1﹣a2）x2+2）]﹣lg2＝0，
即（1﹣a2）x2＝0恒成立；
可得：a＝±1；
故a＝±1，b；
（2）若f（x）＝lg（ax）﹣lgb为定义在R上的函数，
则ax＞0在R上恒成立；即ax恒成立，
令y=此函数为焦点在y轴上的双曲线的上支，令y=ax,当y=ax与y=相切时，两式联立消去y,得,，故ax恒成立时，﹣1<a<1
即a的取值范围为（-1，1）．
【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，对数函数的运算性质，函数值域，不等式恒成立，数形结合思想，第（2）转化为两个函数交点问题是关键，属于中档题．
19.某工厂在生产产品时需要用到长度为的型和长度为的型两种钢管.工厂利用长度为
的钢管原材料，裁剪成若干型和型钢管，假设裁剪时损耗忽略不计，裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率.
（1）要使裁剪的废料率小于，共有几种方案剪裁？请写出每种方案中分别被裁剪型钢管和型钢管的根数；
（2）假设一根型钢管和一根型钢管能成为一套毛胚，假定只能按（1）中的那些方案裁剪，若工厂需要生产套毛胚，则至少需要采购多少根长度为的钢管原材料？最终的废料率为多少？
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）设每根原材料可裁剪a根A型和b根B型钢管，则，再由废料率小于得
故即可设计方案，（2）设用方案一裁剪x根原材料，用方案二裁剪y 根原材料，共裁剪得z套毛胚，则z＝2x+4y，由得即可求出答案．
【详解】（1）设每根原料可裁剪成根型钢管和型钢管，则
即根据题意，废料率为
故满足条件的a与b的值为
方案一：废料率为；则可裁剪成2根A型钢管和5根B型钢管.
方案二：废料率为.则可裁剪成4根A型钢管和2根B型钢管. （2）设用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛坯，则,即
，故由题，所以
所以至少采购100根长度为4000mm的钢管原材料，其中方案一裁剪40根，方案二裁剪60根，废料率为
.
【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，准确计算不等式组的解是关键，属于中档题．
20.在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义.
（1）若，，求；
（2）若，证明：若位置向量的终点在直线上，则位置向量的终点也在一条直线上；
（3）已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线：上时，位置向量终点总在抛物线：
上，曲线和关于直线对称，问直线与向量满足什么关系？
【答案】（1）（2）见证明（3）直线与向量垂直
【解析】
【分析】
（1）根据题意，算出7，10，代入的表达式并化简整理，即可得到（，）；（2）设
（x'，y'），终点在直线Ax+By+C＝0上，由题中的表达式解出（x，y）满足的关系式，从而得到点
（，）在直线Ax+By+C＝0上，化简整理得到直线（3A+4B）x+（4A﹣3B）y﹣5C＝0，说
明向量的终点也在一条直线上；（3）设，则，取，解出关于和t的坐标形式，结合的终点在抛物线x2＝y上且终点在抛物线y2＝x上，建立关于和t的方程，化简整理得到±（，）．再由曲线C和C′关于直线l：y＝x对称，算出l的方向向量满足•0，从而得到直线l与向量垂直．
【详解】（1）根据题意，7，10，∴.
（2）设，，则
，
∴
于是故，
从而w，
由于、不全为零，所以，也不全为零.
于是的终点在直线上.
（3）设，则，对任意实数，取，
则
，
∵的终点在曲线上，
∴.①
由于为任意实数，比较①式两边的系数得
，，，
从而，，
∴.
对曲线中任意点，可知落在曲线上，反之亦然，故曲线：与曲线：关于直线：对称，
的方向向量，∵，∴，即直线与向量垂直.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，相关点法求轨迹，着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题．
21.设函数，，，若对任意成立，且数列满足：，
.
（1）求函数的解析式；
（2）求证：；
（3）求证：.
【答案】（1）；（2）（证明略）；（3）（证明略）
【解析】
【分析】
（1）由题令，解x=-1,所以-4≤f(-1)≤-4,则f(-1)=-4，得a=b-4，进而得
对任意成立，由判别式整理解得b=2,即可
得a=-2,则f(x)可求；（2）由得，进而，累乘得
（3）由（2）得，累加得
，再由证明数列递增，得
则证得；欲证，即证,
则需证，由，放缩归纳得，再证明
即可
【详解】（1）由题对任意成立，
令，解x=-1,所以-4≤f(-1)≤-4,则f(-1)=-4
又，则f(-1)=a-b=-4，即a=b-4
所以对任意成立，即,则
整理得∴b=2,则a=-2
所以
（2）由（1）知，，∴, ∴
,所以
又
（3）由（2）知
所以
所以
又,又,为递增数列，所以
所以
由（2）可知，欲证，即证
,则需证
∵,∴
所以
=
所以=2
因为2018<
所以,则>
所以证得，即证得
所以
【点睛】本题主要考查数列综合，不等关系与不等式以及数列求和，放缩法证明不等式，转化化归能力，是难题。