求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列的通项公式与求和
112342421{},1(1,2,3,)3(1),,{}.(2)n n n n n n a n S a a S n a a a a a a a +===++
+ 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求 1112{},1(1,2,).:(1){
};(2)4n n n n n n n n a n S a a S n n
S n
S a +++==== 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列
*121{}(1)()3
(1),;
(2):{}.n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列 11211{},,.2n n n n a a a a a n n +==++ 已知数列满足求 112{},,,.31n n n n n a a a a a n +==+ 已知数列满足求 111511{},,().632n n n n n a a a a a ++==+ 已知数列中,求
111{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==⋅+ 已知数列满足，求数列的通项公式
练习8 等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221n a a a a ++++
练习9 求和：5，55，555，5555，…，5(101)9n -，…；
练习10 求和：111
1447(32)(31)n n +++⨯⨯-⨯+
练习11 求和：
111112123123n ++++=+++++++ 练习12 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，
3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．
答案
练习1
练习2 练习3 练习4 练习5 练习6 练习7
练习1答案：
练习2 证明：
(1)
注意到：
a(n+1)=S(n+1)-S(n)
代入已知第二条式子得：
S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n
nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)
nS(n+1)=S(n)*(2n+2)
S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2
又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0
所以{S(n)/n}是等比数列
(2)
由(1)知，
{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。

所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)
即S(n)=n*2^(n-1) (*)
代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n得
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n属于N)
即a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N且n>1) 又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N)
由(*)式得：
S(n+1)=(n+1)*2^n
=(n+1)*2^(n-2)*2^2
=(n+1)*2^(n-2)*4
对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n 练习3 答案：
1)
a1=S1=1/3(a1-1)
a1=-1/2
a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2
3a2=a2-1+3/2
2a2=1/2
a2=1/4
2)
3Sn=an-1
3S(n-1)=a(n-1)-1
相减：
3an=an-a(n-1)
2an=-a(n-1)
an/a(n-1)=-1/2
所以{an}为等比数列！
练习4 累加法，答案：
练习5 累乘法，答案：
练习6 待定系数法，答案：
练习7 倒数法，答案：
练习8 公式法，答案：41 3 n
练习9 答案：555555555n n
S =++++个
5(999999999)9n =++++个 235505[10101010](101)9819n n n n =++++-=--．
练习10 ，列项相消法，答案31n
n +
练习11，,列项相消法
1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)] 所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n(n+1)]
=1+2*[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n -1/(n+1)] =1+2*[1/2-1/(n+1)]
=2-2/(n+1)
练习12 （错位相减法）
答案：解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，
解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++，①32523212232
22n n n n n S ----=+++++，② ②－①得221222
21222222n n n n S ---=+++++-，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭
111
1212221212n n n ---
-=+⨯--12362n n -+=-．。