【步步高 通用(理)】2014届高三《考前三个月》高考题型冲刺练穿插滚动练(四)

穿插滚动练(四)
内容：不等式、函数与导数、三角函数与平面向量、数列、立体几何与空间向量(文科为立体几何)
一、选择题
1．设集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x的个数是() A．1个B．2个C．3个D．4个
答案 C
解析由题意可知x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或x＝0或x＝1，又x≠1，∴x＝0，±2，答案为C.
2．若等比数列{a n}的前n项和S n＝a·3n－2，则a2等于() A．4 B．12 C．24 D．36
答案 B
解析当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a·3n－1，
又a1＝a·31－2＝3a－2，
由等比数列定义，a2＝qa1，
∴6a＝3·(3a－2)，∴a＝2.
因此a2＝2a·32－1＝12.
3．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是
()
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
答案 C
解析由f′(x)的图象得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)．故选C.
4．(2012·辽宁)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是() A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
答案 B
解析将向量的模相等变为向量的平方相等求解．
因为|a＋b|＝|a－b|，
所以(a＋b)2＝(a－b)2，
即a·b＝0，故a⊥b.
5．已知α，β表示两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，则：“α⊥β”是“m⊥β”的() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析若m⊥β，因m是一条直线且m⊂α，由面面垂直的判定定理，知α⊥β，反之，若m是一条直线且m⊂α，当α⊥β时，m与平面β的位置关系可以为：相交或平行或m⊂β，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件，选B.
6．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()
A．4 B．2 3
C．2 D． 3
答案 B
解析由题意可设棱柱的底面边长为a，则其体积为
3
4a
2·a＝23，得a＝2.由俯视图易
知，三棱柱的侧视图是以2为长，3为宽的矩形．∴其面积为2 3.故选B.
7．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是()
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.
在三棱锥A —BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，两平面的交线为BD ， 所以CD ⊥平面ABD ，因此有AB ⊥CD .
又因为AB ⊥AD ，AD ∩DC ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ，于是得到平面ADC ⊥平面ABC . 8． 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( )
A ．1
B ．
3
3 C ． 3
D ．233
答案 B
解析 由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图，其中正视图为△P AC ，是边长为2的正三角形，PD ⊥平面ABC ，且PD ＝3，底
面△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，所以体积为V ＝1
3
×3
×12×2×2＝3
3
，故选B. 9． 类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －
x ，C (x )＝
a x ＋a －
x ，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是
( )
①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )； ③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )． A ．①② B ．③④ C ．①④
D ．②③
答案 B
解析 经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，又S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )，综上所述，选B.
10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos B ＝14，sin C sin A
＝2，且S △ABC
＝154
， 则b 的值为 ( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
答案 C
解析 依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×1
4
＝4a 2，所以b
＝c ＝2a ，sin B ＝1－cos 2B ＝
154，又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b 2×b ×154＝154
， 所以b ＝2，选C.
11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≥22x ＋y ≤4
4x －y ≥－1
，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是 ( )
A ．[－3
2，6]
B ．[－3
2
，－1]
C ．[－1,6]
D ．[－6，3
2
]
答案 A
解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线
3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．
由⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －2＝02x ＋y －4＝0，解得A (2,0)； 由⎩
⎪⎨⎪⎧
4x －y ＋1＝02x ＋y －4＝0，解得B (12
，3)．
∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32.
∴z ＝3x －y 的取值范围是[－3
2
，6]．
12．已知定义域为R 的函数f (x )满足：f (4)＝－3，且对任意x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式
f (x )<3x －15的解集为
( )
A ．(－∞，4)
B ．(－∞，－4)
C ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
D ．(4，＋∞) 答案 D
解析 方法一 (数形结合法)：
由题意知，f (x )过定点(4，－3)，且斜率k ＝f ′(x )<3. 又y ＝3x －15过点(4，－3)，k ＝3，
∴y ＝f (x )和y ＝3x －15在同一坐标系中的草图如图， ∴f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)，故选D. 方法二 记g (x )＝f (x )－3x ＋15，
则g ′(x )＝f ′(x )－3<0，可知g (x )在R 上为减函数． 又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0， ∴f (x )<3x －15可化为f (x )－3x ＋15<0， 即g (x )<g (4)，结合其函数单调性，故得x >4. 二、填空题
13．函数y ＝x ＋2cos x －3在区间[0，π
2
]上的最大值是________．
答案 π6
解析 y ′＝1－2sin x >0⇒sin x <12，sin x >12时y ′<0，∴sin x ＝12时y max ＝π6＋2×32－3＝π
6
.
14．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π
24
)＝______.
答案
3
解析 由图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即周期为π
2，
∴ω＝2.
由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，|φ|<π2，知φ＝π4.
由f (0)＝1，知A ＝1.
因此f (x )＝tan(2x ＋π
4
)，
故f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π
3
＝ 3.
15．若一个正方体的表面积为S 1，其外接球的表面积为S 2，则S 1
S 2
＝________.
答案 2π
解析 设正方体棱长为a ，则正方体表面积为S 1＝6a 2，其外接球半径为正方体体对角线长的12，即为32a ，因此外接球的表面积为S 2＝4πr 2＝3πa 2
，则S 1S 2＝6a 23πa 2＝2π
.
16．如图所示，P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E ，F 分别是
点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________．
答案 ①②③
解析 ∵P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径， ∴CB ⊥AC ，CB ⊥P A ，CB ⊥平面P AC . 又AF ⊂平面P AC ，∴CB ⊥AF .
又∵E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影， ∴AF ⊥PC ，AE ⊥PB ，∴AF ⊥平面PCB .
故①③正确．∴PB ⊥平面AEF ，故②正确．
而AF ⊥平面PCB ，∴AE 不可能垂直于平面PBC .故④错误． 三、解答题
17．如图，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，
G ，H 分别是DF ，BE 的中点．
(1)求证：GH ∥平面CDE ；
(2)若CD ＝2，DB ＝42，求四棱锥F —ABCD 的体积． (1)证明 方法一 ∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥BC . 又EF ＝AD ＝BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴H 为FC 的中点．
又∵G 是FD 的中点，∴HG ∥CD . ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH ∥平面CDE .
方法二 连接EA ，∵ADEF 是正方形，
∴G 是AE 的中点． ∴在△EAB 中，GH ∥AB . 又∵AB ∥CD ，∴GH ∥CD .
∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH ∥平面CDE .
(2)解 ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ， 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD . ∵AD ＝BC ＝6，∴F A ＝AD ＝6.
又∵CD ＝2，DB ＝42，CD 2＋DB 2＝BC 2，∴BD ⊥CD .
∵S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝82，
∴V F —ABCD ＝13S ▱ABCD ·F A ＝1
3×82×6＝16 2.
18．函数f (x )＝6cos 2ωx
2
＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高
点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形． (1)求ω的值及函数f (x )的值域；
(2)若f (x 0)＝83
5，且x 0∈⎝⎛⎭⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值． 解 (1)由已知可得，
f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， 又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4， 所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π
4.
函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)因为f (x 0)＝83
5
，由(1)有
f (x 0)＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3＝83
5，
即sin ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3＝45.
由x 0∈⎝⎛⎭⎫－103，23，知πx 04＋π
3∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3＝ 1－⎝⎛⎭⎫452＝35
. 故f (x 0＋1)＝23sin ⎝⎛⎭⎫
πx 04＋π4＋π3
＝23sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3＋π4 ＝23⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫πx 04＋π3sin π4 ＝23×⎝⎛⎭⎫45×22＋35×22＝76
5
.
19．已知当x ＝5时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx 取得最小值，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )，
a 2＝－7.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n ＝a n
2
n ，求T n .
解 (1)由题意得：－b
2a ＝5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝an 2＋bn －a (n －1)2－b (n －1)＝
2an ＋b －a ＝2an －11a .
∵a 2＝－7，得a ＝1.∴a 1＝S 1＝－9，∴a n ＝2n －11. (2)∵b n ＝2n －11
2n
，
∴T n ＝－92＋－722＋…＋2n －112n
，
① 1
2T n ＝－922＋…＋2n －132n
＋2n －112n ＋1，
②
①－②得
12T n ＝－92＋222＋…＋22n －2n －112n ＋1 ＝－9
2＋12(1－1
2n －1)1－12
－2n －112n ＋
1
＝－72－1
2n －
1－2n －112n ＋1.
∴T n ＝－7－2n －7
2
n .
20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面
P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A ＝PD ＝2，BC ＝1
2
AD ＝1，
CD ＝ 3.
(1)若点M 是棱PC 的中点，求证：P A ∥平面BMQ ；
(2)若二面角M —BQ —C 为30°，设PM ＝tMC ，试确定t 的值． (1)证明 连接AC ，交BQ 于N ，连接MN .
∵BC ∥AD 且BC ＝1
2AD ，
即BC 綊AQ .
∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 是棱PC 的中点， ∴MN ∥P A .
∵MN ⊂平面BMQ ，P A ⊄平面BMQ ， ∴P A ∥平面BMQ .
(2)解 ∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ， 且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD .
如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC 的法向量为n ＝(0,0,1)；
Q (0,0,0)，P (0,0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)．
设M (x ，y ，z )，则PM →
＝(x ，y ，z －3)， MC →
＝(－1－x ，3－y ，－z )， ∵PM →＝tMC →，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝t (－1－x )，y ＝t (3－y )，z －3＝t (－z )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－t
1＋t
，
y ＝3t
1＋t ，z ＝31＋t
.
在平面MBQ 中，QB →
＝(0，3，0)， QM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－t 1＋t ，3t 1＋t ，31＋t ，
∴平面MBQ 的法向量为m ＝(3，0，t )． ∵二面角M —BQ —C 为30°， cos 30°＝
n ·m
|n ||m |
＝t
3＋0＋t 2
＝
3
2
，∴t ＝3. 21．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，
并且当x ∈(0,2)时，f (x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋122
.
(1)求f (1)的值； (2)证明：a >0，c >0；
(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R )是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. (1)解 ∵对x ∈R ，f (x )－x ≥0恒成立， 当x ＝1时，f (1)≥1， 又∵1∈(0,2)，由已知得f (1)≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋122
＝1， ∴1≤f (1)≤1.∴f (1)＝1.
(2)证明 ∵f (1)＝1，∴a ＋b ＋c ＝1.
又∵a －b ＋c ＝0，∴b ＝12.∴a ＋c ＝1
2.
∵f (x )－x ≥0对x ∈R 恒成立，
∴ax 2－1
2
x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立．
∴⎩⎨⎧
a >0，
Δ≤0. ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，ac ≥116.∴c >0，故a >0，c >0.
(3)证明 ∵a ＋c ＝12，ac ≥116
，
由a >0，c >0及a ＋c ≥2ac ，得ac ≤1
16
，
∴ac ＝116，当且仅当a ＝c ＝1
4时，取“＝”．
∴f (x )＝14x 2＋12x ＋1
4
.
∴g (x )＝f (x )－mx ＝14
x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m x ＋14 ＝1
4[x 2＋(2－4m )x ＋1]． ∵g (x )在[－1,1]上是单调函数，
∴2m －1≤－1或2m －1≥1.∴m ≤0或m ≥1.
22．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1在x ＝2处的切线斜率为－1
2
.
(1)求实数a 的值及函数f (x )的单调区间；
(2)设g (x )＝x 2＋2kx ＋k
x ，对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立，求正
实数k 的取值范围；
(3)证明：ln 222 ＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2
－n －1
4(n ＋1)
(n ∈N *，n ≥2)．
(1)解 由已知得f ′(x )＝1x －a ，∴f ′(2)＝12－a ＝－1
2，解得a ＝1.
于是f ′(x )＝1
x －1＝1－x x
，
当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，
即f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)解 由(1)知x 1∈(0，＋∞)，f (x 1)≤f (1)＝0，即f (x 1)的最大值为0， 由题意知：对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立， 只需f (x )max ≤g (x )max .
∵g (x )＝x 2＋2kx ＋k x ＝x ＋k
x ＋2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋k －x ＋2k ≤－2k ＋2k ，
∴只需－2k ＋2k ≥0，解得k ≥1.
(3)证明 要证明ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2
－n －1
4(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)．
只需证2ln 222＋2ln 332＋…＋2ln n n 2<2n 2
－n －12(n ＋1)，
只需证ln 2222＋ln 3232＋…＋ln n 2n 2<2n 2－n －12(n ＋1)
.
由(1)当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， f (x )＝ln x －x ＋1≤0，即ln x ≤x －1， ∴当n ≥2时，ln n 2<n 2－1，
ln n 2n 2<n 2
－1n 2＝1－1n 2<1－1n (n ＋1)＝1－1n ＋1
n ＋1
， ln 2222＋ln 3232＋…＋ln n 2n 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13＋1＋…＋⎝
⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n ＋1＝n －1－1
2＋
1
n ＋1＝2n 2－n －12(n ＋1)， ∴ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1)
.。