高中数学一轮复习 第5讲 古典概型及概率的综合应用

随堂演练巩固
1.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b ,c,则方程20x bx c ++=有实根的概率为( ) A.1936 B.12 C.59 D.1736
【答案】 A 【解析】 一枚骰子掷两次,其基本事件总数为36,方程有实根的充要条件为24b c ≥.
由此可见,使方程有实根的基本事件个数为1+2+4+6+6=19,
于是方程有实根的概率为P 1936
=. 2.下列对古典概型的说法其中正确的是 .
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ②每个事件出现的可能性相等 ③每个基本事件出现的可能性相等 ④基本事件总数为n ,随机事件A 若包含k 个基本事件,则()k P A n = 【答案】 ①③④
【解析】 区分事件和基本事件,②是错误的.
3.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m 和n ,则复数(m +n i)(n -m i)为实数的概率为
( )
A.13
B.14
C.16
D.112
【答案】 C
【解析】 复数(m +n i)(n -m i 2)mn m =-i 2n +i 22
2()mn mn n m +=+-i.该复数为实数的条件为m =n .投掷两颗骰子共有点数6636(⨯=种),满足m =n 的有6种,因此使(m +n i)(n -m i)为实数的概率为16P =. 4.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为 .
【答案】 15
【解析】 21105
P ==. 5.将一枚均匀硬币抛掷三次.
(1)试用列举法写出该试验所包含的基本事件;
(2)事件A”恰有两次出现正面”包含几个基本事件;
(3)事件B”三次都出现正面”包含几个基本事件.
【解】 (1)试验”将一枚均匀硬币抛掷三次”所出现的所有基本事件如下:
(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(正,正,正),(反,反,反),(反,反,正),(反,正,反)(反,正,正).
共8种等可能结果.
(2)事件A 包含的基本事件有三个:
(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
(3)事件B 包含的基本事件只有一个:(正,正,正)..
课后作业夯基
基础巩固
1.方程20((01))x x n n ++=∈,有实根的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.34
【答案】 C
【解析】 由140n ∆=-≥得14n ≤,又(01)n ∈,,故所求事件的概率为14
P =. 2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色,再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体,现从切好的小正方体中任取一块,所得正方体的六个面均没有涂色的概率是( ) A.14
B.16
C.19
D.127
【答案】 D
【解析】 由题意可知正方体被切割为27块,六个面均没有涂色的只有最中间的那一块,则其概率为127
. 3.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)上,有一位乘客等候第4路或第8路公共汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( ) A.12
B.23
C.35
D.25
【答案】 D 【解析】 1、3、4、5、8这5路汽车中的任何一路到站的可能性是相同的,故所求概率为25P =.
4.老师为研究男女同学数学学习的差异情况,对某班50名同学(其中男同学30名,女同学20名)采取分层抽样的方法,抽取一个样本容量为10的样本进行研究,某女同学甲被抽到的概率为
( ) A.150
B.110
C.15
D.14
【答案】 C
【解析】 50名同学占50个位置,某女同学甲排的位置不同得到50个基本事件,排在前10位被
抽取为样本中的个体,甲同学被抽到即甲排在前10位,共有10个基本事件.因此10
1505P ==.
5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标,则点P 在直线x +y=5下方的概率为( ) A.16
B.14
C.112
D.19
【答案】 A
【解析】 点P 在直线x +y=5下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六种可能,故其概率为
61666
=⨯. 6.(2012山东枣庄段考)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,记向量a =(m ,n )与向量b =(1,-1)的夹角为α,则(0α∈,]2
π的概率为( ) A.78
B.1316
C.316
D.712
【答案】 D 【解析】 由(0]2
πα∈,,得cos 0α≥,从而⋅a b 0m n =-≥.当m =1时,n =1;当m =2时,n =1,2;当m =3时,n =1,2,3;…;当m =6时,n =1,2,3,4,5,6.故所求概率为12345673612
+++++=. 7.在3名女生和2名男生中安排2人参加一项交流活动,其中至少有一名男生参加的概率为 .
【答案】 0.7
【解析】 把5名学生分别编号为女生1,女生2,女生3,男生1,男生2.则从5名学生中选2人的所有选法为(女生1,女生2),(女生1,女生3),(女生1,男生1),(女生1,男生2),(女生2,女生
3),(女生2,男生1),(女生2,男生2),(女生3,男生1),(女生3,男生2),(男生1,男生2)共有10种,其中至少有一名男生参加有7种,所以至少一名男生参加的概率为7010
=.7. 8.将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 .(结果用最简分数表示)
【答案】 112
【解析】 将一骰子连续抛掷三次,共有666216⨯⨯=种可能的结果,其中点数依次成等差数列的情况有(42)2+⨯+6=18种,故所求概率为18121612
=. 9.有20张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数k ,k +1,其中k =0,1,2,…,19.从这20张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有9,10的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10)不小于14”为A,则P (A)= .
【答案】 14
【解析】 当08k ≤≤时,S=2k +1,
当k =9时,S=9+1+0=10,
当1018k ≤≤时,令10(08)k t t S =+≤≤,=2+2t +1=2t +3,
当k =19时,S=1+9+2+0=12,
令21147k k +≥⇒≥,则k =7、8,
令23146t t +≥⇒≥,则t =6、7、8,即k =16、17、18,
故51()204P A ==. 10.一个口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两只球.问:
(1)共有多少个基本事件?
(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少?
【解】 (1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,有如下基本事件〔摸到1,2号球用(1,2)表示〕:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),因此,共有10个基本事件.
(2)上述10个基本事件发生的可能性相同,且只有3个基本事件是摸到两只白球(记为事件A),即(1,2),(1,3),(2,3),故3()10
P A =. 11.现有8名奥运会志愿者,其中志愿者123A A A ,,通晓日语123B B B ,,,通晓俄语12C C ,,通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.
(1)求1A 被选中的概率;
(2)求1B 和1C 不全被选中的概率.
【解】 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间为={111112121122131132()()()()()()A B C A B C A B C A B C A B C A B C ,,,,,,,,,,,,,,,,,, 211212221222()()()()A B C A B C A B C A B C ,,,,,,,,,,,,
231232311312321()()()()()A B C A B C A B C A B C A B C ,,,,,,,,,,,,,,,
322331332()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,},由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.
用M 表示“1A 恰被选中”这一事件,
则M ={111112121122131132()()()()()()A B C A B C A B C A B C A B C A B C ,,,,,,,,,,,,,,,,,}, 事件M 由6个基本事件组成,因而P (M )=61183
=. (2)用”N ”表示“1B 、1C 不全被选中”这一事件,则其对立事件N 表示“1B 、1C 全被选中”这一事件;由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ,,,,,,,,},事件N 由3个基本事件组成,
所以P (N 13)186==,由对立事件的概率公式得P (N )=1-P (N 51)166
=-=. 12.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n 个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是12
. (1)求n 的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b .
记事件A 表示“a +b =2”,求事件A 的概率.
【解】 (1)由题意可知:1112
n n =,++解得n =2. (2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为:
(0,1121211122221)(02)(02)(10)(12)(12)(20)(21)(22)(20)(21)(22),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共12个,
事件A 包含的基本事件为:1212(02)(02)(20)(20),,,,,,,共4个.
∴41()123
P A ==. 拓展延伸
13.已知函数2
()2(f x ax bx a a b =-+,∈R ).
若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,求方程f (x )=0恰有两个不相等实根的概率.
【解】 ∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b 取集合{0,1,2,3}中任一个元素,a ,b 取值的情况是:
(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值,即基本事件总数为16.
记“方程f (x )=0恰有两个不相等的实根”为事件A,
当00a b ≥,≥时,方程f (x )=0恰有两个不相等实根的充要条件为b >a 且a 不等于零, 当b >a 且0a ≠时,a ,b 取值的情况有(1,2),(1,3),(2,3),即A 包含的基本事件数为3, ∴方程f (x )=0恰有两个不相等实根的概率P (A)=316.。