中国人民大学附属中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合测试

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ） 题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图 相关数据 10,45,50CD m αβ==︒=︒
A ．()10tan50x x =-︒
B ．()10cos50x x =-︒
C ．10tan50x x -=︒
D ．()10sin50x x =+︒ 2．下列说法中，正确的有（ ）个
①a 为锐角，则1sina cosa +>；
②314172︒+︒=︒cos cos cos ﹔
③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形﹔
④坡度越大，则坡角越大，坡越陡；
⑤1302
=
=︒sinA ； ⑥当Rt ABC ∆的三边长扩大为2倍时，则sinA 的值也相应扩大2倍． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）．
A．3米B．3米C．2米D．1米
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝62，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是
（）
A．6 B．3 C．32D．62﹣6
5．在△ABC中，若cosA=
2
2
，tanB=3，则这个三角形一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为（）
A．2
3
B．
3
2
C．
25
5
D．
35
5
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（）
A．a•tanαB．a•cotαC．a•sinαD．a•cosα
8．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠ABC＝120°，E是BC的中点，P为BD上一点，且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（）
A ．3+1
B ．7+1
C ．23+1
D ．27+1 9．如图，在Rt ABC ∆中，BC=4，AC=3，90C ∠=︒，则sinB 的值为（ ）
A ．45
B ．34
C ．35
D ．43
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()
12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A ．21+
B ．2﹣1
C ．2
D ．12
11．西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB 表示，小李站在C 点测得∠BCA ＝45°，小李从C 点走4米到达了斜坡DE 的底端D 点，并测得∠CDE ＝150°，从D 点上斜坡走了8米到达E 点，测得∠AED ＝60°，B ，C ，D 在同一水平线上，A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，则大树AB 的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
A ．24.3
B ．24.4
C ．20.3
D ．20.4
12．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，点P 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），C 、D 分别是弦AP ，BP 的中点．若3CD =AOB 的面积为（ ）
A ．12π
B ．2π
C ．4π
D ．24π
13．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40︒，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米，CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）
A ．78.6米
B ．78.7米
C ．78.8米
D ．78.9米 14．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A 、1122D
E E B 、2222A B C D 、2343D E E B 、3333A B C D …按如图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2C 、3E 、4E 、3C …在x 轴上，已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ∠=︒，112233B C B C B C …则正方形2019201920192019A B C D 的边长是（ ）
A ．201812⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．201912⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．201933⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．201833⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
二、填空题
15．如图，点O 为正八边形ABCDEFGH 的中心，连接DA 、DB ，则=ADB ∠______度；若4OA =，则该正八边形的面积为______．
16．如图，四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 所成的锐角为60,10AC BD +=，则四边形ABCD 的面积最大值为_______________________．
17．某人沿坡度是1:2的斜坡走了100米，则他上升的高度是_____米.
18．如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若正方形ABCD 边长为3，则AH=__．
19．将一副三角板如图摆放，使得一块三角板的直角边AC 和另一块三角板的斜边ME 重叠，点A 与点M 重合，已知AB=AC=8，则重叠的面积是__________．
20．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan 1BA C ∠=，21tan 3BA C ∠=，31tan 7
BA C ∠=，计算4tan BA C ∠=__________，……按此规律，写出tan n BA C ∠=__________（用含n 的代数式表示）．
21．如图， 圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的
长为__________．
22．已知32＜cosA ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是_________ 23．如图，MN 是半径为1的O 的直径，点A 在O 上，30AMN ∠=︒，点B 是AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA PB +的最小值为______．
24．如图，ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在EF 上的点A′处折痕交AE 于点G ，则
∠ADG=____°EG=___cm ．
25．在△ABC 中，若()21cos 1tan 02
A B -+-=，则∠C=____________． 26．如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=12cm ，BC=5cm ，AB=13cm ，则点C 到AB 边的距离是______cm ．
三、解答题
27．如图，有一个半径为3cm 球形的零件不能直接放在地面上，于是我们找了两个三角形的垫块把这个零件架起来，两个三角形与球的接触点分别是点P 和Q ，已知70α=，40β=，一侧接触点离地面距离PM 是4cm
（
sin 700.94,cos700.34,tan 70 2.75;sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84≈≈≈≈≈≈）
（1）求圆心O 距离地面的高度；
（2）直接写出QOP ∠与α、β的关系；
（3）另一侧接触点离地面距离QN 又是什么？
28．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60︒，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45︒，已知山坡AB 的坡度1:3i =，6AB =米，广告牌CD 的高度为3米． ()1求点B 距水平面AE 的高度BH ；
()2求楼房DE 的高度.(测角器的高度忽略不计，结果保留根号)
29．计算：
（1）cos 245°cos 601-sin30︒-
︒+tan 245°−tan 260° （2）213tan 30845(1tan 60)cos60
︒︒︒︒-++-30．如图，在ABC ∆中，5AC =，3tan 4A =
，45B ∠=︒．点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒4个单位长度的速度向终点B 运动（不与点A 、B 重合）．过点P 作PH AB ⊥，交折线--A C B 于点H ，点Q 为线段AP 的中点，以PH 、PQ 为边作矩形PQGH ．设点P 的运动时间为t （秒）．
（1）直接写出矩形PQGH的边PH的长（用含t的代数式表示）；
（2）当点G落在边AC上时，求t的值；
∆重叠部分图形是四边形时，设重叠部分图形的面积为S（平（3）当矩形PQGH与ABC
方单位）．求S与t之间的函数关系式；
∆的重心落在矩形PQGH的内部时，直接写出此时t的取值范围．
（4）当ABC
【参考答案】
一、选择题
1．A
2．B
3．B
4．D
5．A
6．B
7．B
8．B
9．C
10．B
11．B
12．A
13．C
14．D
二、填空题
15．225【分析】连接OAOB由正八边形的性质求出得到过A作于K可证得是等腰直角三角形利用正弦的定义求出AK由三角形面积公式即可得出答案【详解】解：连接
OAOB∵ABCDEFGH是正八边形∴∴过A作于K
16．【分析】根据四边形面积公式S＝AC×BD×sin60°根据sin60°＝得出S＝x（10−x）×再利用二次函数最值求出即可【详解】解：∵AC与BD所成的锐角为60°∴根据四边形面积公式得四边形ABC
17．【分析】先画出图形再根据坡度的可得然后设米从而可得米最后利用勾股定理求出x 的值由此即可得出答案【详解】如图由题意得：米设米则米由勾股定理得：即解得（米）则米即他上升的高度是米故答案为：【点睛】本题考
18．1【分析】连接BH证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL）得出∠ABH=30°在Rt△ABH中解直角三角形即可【详解】解：连接BH如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形∴∠BAH=∠AB
19．【分析】过Q作QH⊥AC于H在△QHC中由于∠QCH=45°则CH=QH设CH=则QH=x在Rt△QHA中由于∠QAH=60°求得AH=然后利用CH+AH=AC求得的值再根据三角形面积公式计算得到结
20．【分析】作CH⊥BA4于H根据正方形的性质勾股定理以及三角形的面积公式求出CHA4H根据正切的概念求出tan∠BA4C总结规律解答【详解】试题
21．【分析】根据圆周角定理得由于的直径垂直于弦根据垂径定理得且可判断为等腰直角三角形所以然后利用进行计算【详解】解：∵∴∵的直径垂直于弦∴∴为等腰直角三角形∴∴故答案是：【点睛】本题考查了垂径定理：垂直
22．20°＜∠A＜30°【详解】∵＜cosA＜sin70°sin70°=cos20°∴cos30°＜cosA＜cos20°∴20°＜∠A＜30°
23．【详解】解：如解图作点关于直线的对称点连接则线段的长就是的最小值作直径连接
∵为的中点点关于直线对称∴∴故答案为：【点睛】本题考查了与圆有关的基础知识如直径的性质圆心角及圆周角的性质
24．15【分析】由ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片EF分别为ABCD的中点可得
AE=DF=2cmEF=AD=4cm由翻折可得AG=A′GAD=A′D在Rt△DF中利用勾股定理可求得答案求得在Rt△
25．75°【分析】根据非负数性质得根据三角函数定义求出∠A=60°∠B=45°根据三角形内角和定理可得【详解】因为所以所以所以∠A=60°∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75
26．【分析】根据△ABC的面积相等选择AC和BC为底高算出的△ABC的面积和选择AB 为底C到AB边的距离为高算出的面积一样列出等式求解【详解】解：在Rt△ABC中设点C 到AB边的距离为由△ABC的面积相
三、解答题
27．
28．
29．
30．
【参考解析】
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x−10，得到CE＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【详解】
过D作DH⊥EF于H，
则四边形DCEH 是矩形，
∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，
∴FH ＝x−10，
∵∠FDH ＝α＝45°，
∴DH ＝FH ＝x−10，
∴CE ＝x−10，
∵tanβ＝tan50°＝
EF CE ＝-10
x x ， ∴x ＝（x−10）tan 50°，
故选：A ．
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
①根据三角函数的定义判断；
②函数值不是简单度数相加；
③至少已知一条边能解直角三角形；
④根据坡度的性质即可判定④对；
⑤只能说∠A=30°；
⑥角度数不变，函数值就不变．
【详解】
①在Rt △ACB 中，设c 为斜边，∠α的对边、邻边分别为a ，b ，那么sinα+cosα=1a b c
+>，所以①对； ②不对，函数值是角与边的关系，不是简单度数相加；
③不对，只知道角不知道边也不能解直角三角形；
④垂直高度与水平距离之比即坡度所以④对；
⑤也不对，sinA=
1302
=︒，是明显错误； ⑥不对，角度数不变，函数值就不变．
综上，①④正确，共2个，
故选：B ．
【点睛】 本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数．学生学这一部分知识时要细心去理解文字所表达的意思．关键是熟练掌握有关定义和性质．
3．B
解析：B
设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】
解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，
在Rt APC △中，tan PC AC PAC =
=∠，
在Rt BPC △中，tan PC BC x PBC =
=∠，
2x -
=，
解得，x =
)，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键． 4．D
解析：D
【分析】
根据 B 关于 AE 的对称点为 B′，可得2
AB AD '=，1AB D ∴等腰直角三角形，可得D B E '、、三点共线，可求出BE 的长．
【详解】
解：6,AB AB AB AD AD ==='∴=', 又△DB′F 为等腰直角三角形，045FDB ∴∠=,
又在矩形 ABCD ，090ADF ∠=,045ADB ∴='∠,
又2
AB AD '= AB D ∴'等腰直角三角形, 090AB D ∴='∠,090AB E ∠=',
D B
E ∴'、、三点共线，
在等腰直角△RCE ，CE=CD=6,
∴
BE=BC-CE=6,
故选D..
【点睛】
本题考查三角形的性质及解直角三角形，找出D B E '、、三点共线是解题关键． 5．A
【解析】
试题
∵cos A =22，tan B =3， ∴∠A =45°，∠B =60°．
∴∠C =180°-45°-60°=75°．
∴△ABC 为锐角三角形．
故选A ．
6．B
解析：B
【分析】
在Rt ABC ∆中，由勾股定理可得13AC =．根据旋转性质可得13AE =，5AD =，12DE =，所以8CD =．在Rt CED ∆中根据tan DE ECD DC ∠=
，可求解． 【详解】
解：∵在Rt ABC ∆中，AB=5，BC=12，
∴由勾股定理可得222251213AC AB BC =+=+=，
根据旋转性质可得13AE =，5AD =，12DE =，
8CD ∴=，
在Rt CED ∆中，123tan 82
DE ECD DC ∠=
==， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，利用勾股定理求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题． 7．B
解析：B
【分析】
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.
【详解】
如图，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝a ，
∵cotαAC BC
=， ∴AC ＝BC•cotα＝a•cotα，
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.
8．B
解析：B
【分析】
由菱形ABCD中，∠ABC＝120°，易得△BCD是等边三角形，继而求得∠ADE的度数；连接AE，交BD于点P；首先由勾股定理求得AE的长，即可得△PCE周长的最小值＝AE+EC．【详解】
解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴BC＝CD＝AD＝2，∠C＝180°﹣∠ABC＝60°，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝∠BDC＝1
2
∴△BCD是等边三角形，
∵点E是BC的中点，
∠BDC＝30°，
∴∠BDE＝1
2
∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴PA＝PC，
++，
∵△PCE的周长=PC PE CE
若△PCE的周长最小，即PC+PE最小，也就是PA+PE最小，即A，P，E三点共线时，
∵DE＝CD•sin60°＝3，CE＝1
BC＝1，
2
∴在Rt△ADE中，227
=+=，
AE AD DE
∴△PCE周长为：PC+PE+CE＝PA+PE+CE＝AE+CE＝71+，
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、最短路线问题、等边三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9．C
【分析】
由勾股定理求出AB 的长度，即可求出sinB 的值．
【详解】
解：在Rt ABC ∆中，BC=4，AC=3，90C ∠=︒， ∴22345AB =+=，
∴35
AC sinB AB =
=， 故选：C ．
【点睛】 本题考查了求角的正弦值，以及勾股定理，解题的关键是正确求出AB 的值．
10．B
解析：B
【分析】
作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值.
【详解】
解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()
1+2x ， ()
22.5==211+2AC x C tan ta D x n D =∠=-︒
故选：B.
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
11．B
解析：B
【分析】
过E 作EG ⊥AB 于G ，EF ⊥BD 于F ，则BG=EF ，EG=BF ，求得∠EDF=30°，根据直角三角形的性质得到EF=12
DE=4，33即可得到结论．
过E 作EG ⊥AB 于G ，EF ⊥BD 于F ，
则BG ＝EF ，EG ＝BF ，
∵∠CDE ＝150°，
∴∠EDF ＝30°，
∵DE ＝8，
∴EF ＝12DE ＝4，DF ＝43， ∴CF ＝CD +DF ＝4+43，
∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝45°，
∴AB ＝BC ，
∴GE ＝BF ＝AB +4+43，AG ＝AB ﹣4，
∵∠AED ＝60°，∠GED ＝∠EDF ＝30°，
∴∠AEG ＝30°，
∴tan30°＝433
443AG AB GE AB -==++ ， 解得：AB ＝14+63≈24.4，
故选：B ．
【点睛】
此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意作出辅助线是解题的关键． 12．A
解析：A
【分析】
如图，作OH ⊥AB 于H ．利用三角形中位线定理求出AB 的长，解直角三角形求出OB 即可解决问题．
【详解】
解：如图作OH ⊥AB 于H ．
∵C 、D 分别是弦AP 、BP 的中点．
∴CD 是△APB 的中位线，
∴AB ＝2CD ＝63， ∵OH ⊥AB ，
∴BH ＝AH ＝33，
∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，
∴∠AOH ＝∠BOH ＝60°，
在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH AO
， ∴AO ＝336sin 3
2
AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2120612360
ππ=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．C
解析：C
【分析】
如下图，先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长，再利用Rt △ADG 求AG 的长，进而得到AB 的长度
【详解】
如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点F ，延长DE 交AB 延长线于点G
∵BC 的坡度为1:0.75
∴设CF 为xm ，则BF 为0.75xm
∵BC=140m
∴在Rt △BCF 中，()2
220.75140x x +=，解得：x=112 ∴CF=112m ，BF=84m
∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ADG 是直角三角形
∵DE=55m ，CE=FG=36m
∴DG=167m ，BG=120m
设AB=ym
∵∠DAB=40°
∴tan40°=1670.84120
DG AG y ==+ 解得：y=78.8
故选：C
【点睛】
本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值. 14．D
解析：D
【分析】
利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
【详解】
解：∵∠B 1C 1O=60°，B 1C 1//B 2C 2//B 3C 3，
∴∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，
∴D 1E 1=C 1D 1sin30°= 12
， 则B 2C 2= 2230B E cos
= 1
= 1， 同理可得：B 3C 3= 13
= 2， 故正方形A n B n C n D
n 的边长是：13n -． 则正方形2019201920192019A B C D 的边长是：2018)3
． 故选D ．
【点睛】 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题
关键.
二、填空题
15．225【分析】连接OAOB 由正八边形的性质求出得到过A 作于K 可证得是等腰直角三角形利用正弦的定义求出AK 由三角形面积公式即可得出答案【详解】解：连接OAOB ∵ABCDEFGH 是正八边形∴∴过A 作于K
解析：22.5 322
【分析】
连接OA 、OB ，由正八边形的性质求出45AOB ∠=︒，得到22.5ADB ∠=︒，过A 作AK OB ⊥于K ，可证得AKO ∆是等腰直角三角形，利用正弦的定义求出AK ，由三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
解：连接OA 、OB ，
∵ABCDEFGH 是正八边形，
∴360845AOB ∠=︒÷=︒，
∴122.52
ADB AOB ∠=
∠=︒， 过A 作AK OB ⊥于K ，
∴90AKO ∠=︒，
∵45AOB ∠=︒，， ∴AKO ∆是等腰直角三角形， ∵4OA =，
∴22422AK =
== ∴114224222
OAB S OB AK ∆=⋅=⨯⨯= ∴正八边形ABCDEFGH 8842322OAB S ∆==⨯=
故答案为：22.5，322．
【点睛】
本题考查的是正多边形的有关计算以及锐角三角函数，掌握正多边形的中心角的计算方法、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16．【分析】根据四边形面积公式S ＝AC×BD×sin60°根据sin60°＝得出S ＝x
（10−x ）×再利用二次函数最值求出即可【详解】解：∵AC 与BD 所成的锐角为60°∴根据四边形面积公式得四边形ABC
解析：4
【分析】
根据四边形面积公式，S ＝
12AC×BD×sin60°，根据sin60°＝2得出S ＝12x （10−x ）
【详解】
解：∵AC 与BD 所成的锐角为60°，
∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD 的面积S ＝
12AC×BD×sin60°， 设AC ＝x ，则BD ＝10−x ，
所以S ＝12x （10−x ）4-x−5）2
所以当x ＝5，S
【点睛】 此题主要考查了四边形面积公式以及二次函数最值，利用二次函数最值求出四边形的面积最大值是解决问题的关键．
17．【分析】先画出图形再根据坡度的可得然后设米从而可得米最后利用勾股定理求出x 的值由此即可得出答案【详解】如图由题意得：米设米则米由勾股定理得：即解得（米）则米即他上升的高度是米故答案为：【点睛】本题考
解析：【分析】 先画出图形，再根据坡度的可得
12
AC BC =，然后设AC x =米，从而可得2BC x =米，最后利用勾股定理求出x 的值，由此即可得出答案．
【详解】
如图，由题意得：90C ∠=︒，100AB =米，1tan 2
AC B BC ==， 设AC x =米，则2BC x =米，
由勾股定理得：AB =100=，
解得x =（米），
AC=米，
则205
即他上升的高度是205米，
故答案为：205．
【点睛】
本题考查了勾股定理、解直角三角形的应用：坡度问题，掌握理解坡度的概念是解题关键．
18．1【分析】连接BH证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL）得出∠ABH=30°在
Rt△ABH中解直角三角形即可【详解】解：连接BH如图所示：∵四边形ABCD 和四边形BEFG是正方形∴∠BAH=∠AB
解析：1
【分析】
连接BH，证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），得出∠ABH =30°，在Rt△ABH中解直角三角形即可．
【详解】
解：连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，
∵BH=BH，AB=EB，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∴∠ABH=∠EBH=1
∠ABE=30°，
2
∴AH=AB•tan∠3
3，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形．能正确作出辅助线得出Rt △ABH ≌△Rt △EBH ，从而求得∠ABH =30°是解题关键．
19．【分析】过Q 作QH ⊥AC 于H 在△QHC 中由于∠QCH=45°则CH=QH 设CH=则QH=x 在Rt △QHA 中由于∠QAH=60°求得AH=然后利用CH+AH=AC 求得的值再根据三角形面积公式计算得到结 解析：48163-
【分析】
过Q 作QH ⊥AC 于H ，在△QHC 中，由于∠QCH=45°，则CH=QH ，设CH=x ，则QH=x ，在Rt △QHA 中，由于∠QAH=60°，求得AH=
33
x ，然后利用CH+AH=AC 求得x 的值，再根据三角形面积公式计算得到结果．
【详解】 过Q 作QH ⊥AC 于H ，如图，
∠ACB=45°，∠DME=60°，AC=8，
在△QHC 中，∠QCH=45°，
∴CH=QH ，
设CH=x ，则QH=x ，
在Rt △QHA 中，∠QAH=60°， ∴AH=QH tan 60︒3x ， ∵CH+AH=AC ， ∴383x x +
=， 解得：(433x =，
∴QAC 12S =QH•AC (14338481632=⨯⨯=- 故答案为：483-
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形，利用条件求得AC 边上的高是解题的关键．
20．【分析】作CH ⊥BA4于H 根据正方形的性质勾股定理以及三角形的面积公式求出CHA4H 根据正切的概念求出tan ∠BA4C 总结规律解答【详解】试题 解析：113， 211
n n -+. 【分析】 作CH ⊥BA 4于H ，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH 、A 4H ，根据正切的概念求出tan ∠BA 4C ，总结规律解答．
【详解】
试题 作CH ⊥BA 4于H ，
由勾股定理得，BA 42241=17+A 410， △BA 4C 的面积=4-2-
32=12， ∴121712
， 解得，17， 则A 4223A C CH -1317 ∴tan ∠BA 4C=4CH A H =113
， 1
tan 1,BAC ∠= 1=12-1+1， 21tan 3
BA C ∠=，3=22-2+1， 31tan 7BA C ∠=
，7=32-3+1， ∴tan ∠BA n C=
211n n -+. 故答案为:
113， 211
n n -+. 【点睛】
本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键． 21．【分析】根据圆周角定理得由于的直径垂直于弦根据垂径定理得且可判断
为等腰直角三角形所以然后利用进行计算【详解】解：∵∴∵的直径垂直于弦∴∴为等腰直角三角形∴∴故答案是：【点睛】本题考查了垂径定理：垂直
解析：
【分析】
根据圆周角定理得245BOC A ∠=∠=︒，由于O 的直径AB 垂直于弦CD ，根据垂径
定理得CE DE =，且可判断OCE △为等腰直角三角形，所以2CE =
=后利用2CD CE =进行计算．
【详解】
解：∵22.5A ∠=︒
∴245BOC A ∠=∠=︒
∵O 的直径AB 垂直于弦CD
∴CE DE =
∴OCE △为等腰直角三角形
∴
2
CE ==∴
2CD CE ==．
故答案是：【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
22．20°＜∠A ＜30°【详解】∵＜cosA ＜sin70°sin70°=cos20°∴cos30°＜cosA ＜cos20°∴20°＜∠A ＜30°
解析：20°＜∠A ＜30°．
【详解】
∵cosA ＜sin70°，sin70°=cos20°， ∴cos30°＜cosA ＜cos20°，
∴20°＜∠A ＜30°．
23．【详解】解：如解图作点关于直线的对称点连接则线段的长就是的最小值作直径连接∵为的中点点关于直线对称∴∴故答案为：【点睛】本题考查了与圆有关的基础知识如直径的性质圆心角及圆周角的性质
【详解】
解：如解图，作点B 关于直线MN 的对称点B '，连接AB '，则线段AB '的长就是PA PB +的最小值，
作O 直径AC ，连接CB '，
∵30AMN ∠=︒，B 为AN 的中点，点B 、B '关于直线MN 对称，
∴45C ∠=︒， ∴sin 452AB AC '=⋅︒=
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了与圆有关的基础知识，如直径的性质、圆心角及圆周角的性质．
24．15【分析】由ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片EF 分别为ABCD 的中点可得AE=DF=2cmEF=AD=4cm 由翻折可得AG=A′GAD=A′D 在Rt △DF 中利用勾股定理可求得答案求得在Rt △
解析：15︒ 436
【分析】
由ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，可得
AE=DF=2cm ，EF=AD=4cm ，由翻折可得AG=A′G ，AD=A′D ，在Rt △DF 'A 中，利用勾股定理可求得答案．求得'A F ，在Rt △DF 'A 中利用正切值即可求得'FDA ∠度数，进而求得∠ADG 度数；在Rt △'A EG 中，设EG=x ，则'A G=AG=2−x ，利用勾股定理即可求得x 值．
【详解】
∵ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E 、F 分别为AB ，CD 的中点，
∴AE=DF=2cm ，EF=AD=4cm ，
DG 为折痕，
∴AG='A G ，AD='A D ，
Rt △DF 'A 中，2222''4223AF A D DF =-=-='23tan '32
A F FDA DF ∠===∴'60FDA ∠=︒
∴∠ADG ＝∠'A DG ＝
11(90')301522FDA ⨯︒-∠=⨯︒=︒ ∴'423A E =-Rt △'A EG 中，设EG=x ，则'A G=AG=2−x ，
∴2222'(2)(423)AG A E x -=---
解得x=436
故答案为：15°，436
【点睛】
本题考查了图形的翻折问题，翻折后找到相等的边和相等的角，作为解题依据，考查了正方形的性质，在直角三角形中可利用锐角三角函数值求得角度和边长，勾股定理也是解直角三角形常用方法．
25．75°【分析】根据非负数性质得根据三角函数定义求出∠A=60°∠B=45°根据三角形内角和定理可得【详解】因为所以所以所以∠A=60°∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75
解析：75°
【分析】 根据非负数性质得1cos 0,1tan 02
A B -
=-=，根据三角函数定义求出∠A=60°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得.
【详解】 因为()21cos 1tan 02A B -
+-= 所以1cos 0,1tan 02A B -
=-= 所以1cos ,tan 12
A B == 所以∠A=60°，∠B=45°
所以∠C=180°-∠A-∠B=75°
故答案为：75°
【点睛】
考核知识点：特殊锐角三角函数．熟记特殊锐角三角函数值是关键．
26．【分析】根据△ABC 的面积相等选择AC 和BC 为底高算出的△ABC 的面积和选择AB 为底C 到AB 边的距离为高算出的面积一样列出等式求解【详解】解：在Rt △ABC 中设点C 到AB 边的距离为由△ABC 的面积相 解析：6013
【分析】
根据△ABC 的面积相等，选择AC 和BC 为底、高算出的△ABC 的面积和选择AB 为底，C 到AB 边的距离为高算出的面积一样列出等式求解.
【详解】
解：在Rt △ABC 中，设点C 到AB 边的距离为d ，
由△ABC 的面积相等可列出如下等式：
11=22
⨯⨯AC BC AB d ，代入数据：
即：11
125=13 22
⨯⨯⨯⨯d
解得：
60
13 =
d
故点C到AB边的距离是60
13
cm.
故答案为：60 13
.
【点睛】
本题结合直角三角形考查了三角形的面积公式，点到直线的距离垂线段最短等知识点，掌握好直角三角形的等面积法是解题的关键.
三、解答题
27．
（1）5.02；（2）QOPαβ
∠=+；(3)2.71
【分析】
（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，根据互余角的性质求得∠OPA=70°，再解直角三角形得AP，进而求AM；
（2）根据切线的性质求出∠OPC和∠OQB的度数，再通过邻补角的性质求得∠PCB和
∠QBC，最后根据五边形的内角和求得∠POQ；
（3）过O作OD⊥NQ，与NQ的延长线交于点D，仿（1）题方法求得DQ，再由圆心O距离地面的高度减去DQ便可得QN．
【详解】
（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，连接OP，如图1，
则OP=3cm，∠OAP=90°，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OPC=90°，
∴∠PCM+∠MPC=90°，∠APO+∠MPC=90°，
∴∠APO=∠PCM=70°，
∴PA =OP •cos70°≈3×0.34=1.02（cm ），
∴圆心O 距离地面的高度：AM =AP +PM =1.02+4=5.02（cm ）；
（2）∵BQ 与CP 都是⊙O 的切线，
∴∠OPC =∠OQB =90°，
∵∠PCM=α，∠QBN=β，
∴∠PCB=180α︒-，∠QBC=180β︒-，
∴∠POQ =540°﹣90°﹣90°﹣(180α︒-)﹣(180β︒-)=αβ+，
∴∠POQ =7040110αβ+=︒+︒=︒；
（3）过O 作OD ⊥NQ ，与NQ 的延长线交于点D ，如图3，
按（1）的方法得，∠OQD =∠NBQ =40°，
∴DQ =OQ •cos40°≈3×0.77=2.31（cm ），
由（1）知，圆心O 距离地面的高度5.02cm ，DN=5.02cm
∴QN =DN -DQ =5.02﹣2.31=2.71（cm ）．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线性质，多边形内角和定理，正确构造直角三角形是解题的关键所在．
28．
（1）3米；（2993+）米．
【分析】
（1）在Rt △ABH 中，通过解直角三角形求出BH ；
（2）过B 作BG ⊥DE 于G ，设AE=x 米，用x 表示出BG 、CG 、CE ，然后表示出DE 的长，在△ADE 根据三角函数列出方程，解方程后即可求出楼房DE 的高度．
【详解】
解：（1）Rt △ABH 中，i=tan ∠BAH= 1333=， ∴∠BAH=30°，
∴BH= 12
AB=3米； （2）如图，过B 作BG ⊥DE 于G ，设AE=x 米，
∵BH ⊥HE ，GE ⊥HE ，BG ⊥DE ，
∴四边形BHEG 是矩形．
∵由（1）得：BH=3，AH= 3
3 ∴BG=AH+AE=（3
3）米，EG= BH=3， Rt △BGC 中，∠CBG=45°， ∴CG=BG=33，
∴CE=CG+EG=3+33，
∴DE=CE-CD=3+3333， Rt △ADE 中，∠DAE=60°，
∴tan 603DE AE
==， ∴333x x =，
∴933x += ∴DE =33933+= 9932
+. 答：楼房DE 的高度为（
9932
+）米． 【点睛】
此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
29．
（1）52
-
；（2
）1 【分析】 （1）直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可解答；
（2）直接利用特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别化简计算即可解答．
【详解】
解：（1）原式
= 221
2(11212
-+-- = 11132
-+- = 52
-； （2）原式
= 321)-+
221++
=1．
【点睛】
本题考查了实数的运算、二次根式的性质、特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，正确计算各数是解答的关键．
30．
1）3,01774,14t t PH t t <≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩；（2）1411；（3）229,012147814,114t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+≤<⎪⎩
；（4）113122
t <<． 【分析】
（1）分两种情况讨论：当点Q 在线段AC 上时；当点Q 在线段BC 上时；
（2）当点G 落在AC 上，显然H 在BC 上，利用正切定义
tan GQ A AQ =，列方程即可求解；
（3）分情况讨论：当01t ≤＜时， 14111t <<时，147114t ≤<时，分别求得S 与t 的关系
式即可；
（4）根据题意不难写出t 的取值范围即可．
【详解】
解析（1）①当点H 在AC 边上时，
点P 速度为4/s ，时间为ts ，
4AP t ∴=
90APH ∠=︒
tan 3PH AP A t ∴=⋅∠=．
②4AP t =，作CD AB ⊥于D ， 3tan 4CD A AD
∠== 且5AC =，
4AD ∴=，3CD =，
45B ∠=︒，90CDB ∠=︒，
45BCD B ∴∠=︒=∠，
3BD CD ∴==，7AB =，
74BP AB AP t ∴=-=-，
90HPB ∠=︒，45B ∠=︒，
74HP BP t ∴==-
（2）当点G 落在AC 上，如图，
此时4AP t =，122
AQ AP t ==，74GQ PH t ==- tan GQ A AQ =，即74324
t t -=，
解得：1411t = （3）当01t <≤时，如图，
此时3PH t =，4AP t =，122
AQ PQ AP t === 3tan 2
EQ AQ A t =⋅∠= 213932222PQEH S S t t t t ⎛⎫==
+⋅= ⎪⎝⎭四 当14111
t <<时，如图，
此时重叠部分为五边形，不考虑．
当147114
t ≤<时，如图，
此时74PH t =-，4AP t =，122
AQ PQ AP t === 22(74)814PQGH S S PQ PH t t t t ==⋅=-=-+四．
（4）如图，建立坐标系点A 为原为，点()7,0B ，点()4,3C ，
由重心坐标公式可知，
1133A B C G x x x x ++=
= 13
A B C G y y y y ++== ∴重心011,13G ⎛⎫ ⎪⎝⎭
①0G 第一次进入矩形时0G 在PH 上， 此时11114312
AP t t ==⇒=， ②0G 第一次出去矩形时，0G 在GH 上， 此时031742G PH y t t ===-⇒=
③0G 在GQ 上时，113AQ =，22243AP AQ t ===， 此时11764
t =>不满足题意不考虑； ∴当0G 在矩形内部时，（不含边长），
113122t <<． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。