定兴第三中学年高一下期中数学(文)试题及答案

2014—2015学年第二学期期中考试
高一文科数学试卷
（考试时间：120分钟；分值：150分；命题人：马长虹）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

） 1、下列结论：
①用斜二测画法得到的三角形的直观图是三角形； ②角的水平放置的直观图一定是角； ③相等的角在直观图中仍然相等； ④相等的线段在直观图中仍然相等；
⑤两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行． 其中正确的有( )
A ．①② B．①②⑤ C．③④ D．①③④
2、若△ABC 的三个内角满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形. B ．一定是直角三角形. C ．一定是钝角三角形. D ．锐角三角形或钝角三角形
3、不等式0432
≤++-x x 的解集是 ( )
A ．}34
1{>-<x x x 或 B ．}43
1{>-<x x x 或
C ．}3
41{<<-x x D ．}43
1
{<<-x x 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1313113a S a ===，则( )
A ．30°
B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120°
6、若c b a ,,满足c b a >>，且0<⋅c a ，则下列选项中不一定成立的是( )
A ．ac ab >
B ．ac bc >
C ．0)(<-c a ac
D ．2
2ab c b <
7、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2580a a -=，则
=2
4
S S （ ） A. 8- B. 5 C. 8 D. 15
8、一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧
视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
9、已知8,,,121a a -成等差数列，4,,,121--b b 成等比数列，那么
2
2
1b a a 的值为( ) A ．－5 B ．5 C ．－52 D. 5
2
10、在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(2
2
π=
+-=C b a c
则ABC ∆的面积( )
A.3
B.
239 C.2
3
3 D.33 11、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则
该市这两年生产总值的年平均增长率为x ，则有( ) A.2q p x +=
B.2q p x +<
C.2q p x +≤
D.2
q
p x +≥ 12、当]2
1
,0(∈x 时，若不等式012
≥++ax x 恒成立，则a 的最小值为（ ）
A. 2
5
-
B. 2-
C.1-
D. 3- 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

）
13、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = 14、设y x y
x R y x +=+∈+
则且
,29
1,,的最小值为______ 15、在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边为c b a ,,，若b B c C b 2cos cos =+，则=b
a
16、数列}a {n 中，)(2
31,2
12
11*
+∈+++
==N n n n a a a n n ，则数列}a {n 的通项为 三．解答题（共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17、（本小题满分10分）
若不等式0252
>-+x ax 的解集是⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧<<221x x
．
(1) 求a 的值；(2) 求不等式0152
2
>-+-a x ax 的解集.
18、（本小题满分12分）
设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足A b a sin =． (1) 求B 的大小；(2) 求C A cos cos +的取值范围．
19、（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，其前四项和为10，且237,,a a a 成等比数列 （1）求通项公式n a
（2）设2n a
n b =，求数列n b 的前n 项和n s
20、（本小题满分12分）
如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h 追上，此时到达C 处．
(1) 求渔船甲的速度；(2) 求sin α的值． 21、（本小题满分12分）
等比数列}{n a 的各项都为正数，322=a ，2
1
8=a . (1)求数列}{n a 的通项公式
（2）若n n a a a T 22212log log log +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=，求n T 的最大值及相应的n 值
22、（本小题满分12分）
已知数列{}n a 为等差数列，53=a ，137=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且
12-=n n b S
(1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；
(2）若n n n b a c =，{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .
2014—2015学年第二学期期中考试
高一文科数学答案
一．选择题 BCCAD DBCAC DA
二．填空题 13、15 14、8 15、2 16、1
+=n n
a n 三．解答题 17、解：（1）的两根是方程0252,2
1
221=-+==
x ax x x 25
25221-=∴-==+∴a a
由韦达定理可得……………5分
（2）ax 2－5x +a 2－1>0可化为：－2x 2
－5x +3>0
即2x 2
+5x －3 < 0 (2x －1)( x +3 )< 0 ………………8分
2
13<
<-∴x ……………10分 18、解：（1）由A b a sin =，根据正弦定理得A B A sin sin sin =……………2分
1sin =∴B 2
π
=
∴B …………4分
(2) 由（1）得2
π
=
+C A
)4
sin(2sin cos )2
cos(cos cos cos π
π
+=+=-+=+∴A A A A A C A ………6分
4
34
4
2
0π
π
π
π
<
+
<∴
<
<A A ………………8分 ]1,2
2
(
)4sin(∈+
∴π
A ……………10分
]2,1(cos cos ∈+∴C A ………………12分
19、解：⑴由题意知12
1114610
(2)()(6)a d a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩ 1152230
a a d d ⎧
=-=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩或 （舍去） ……………4分
所以53-=n a n ……………6分 ⑵当35n a n =-时，5322-==n a n
n b
∴当2≥n 时，
822
23835
31===---n n n n b b …………8分 而4
1222
11===-a b
∴数列{}n b 是首项为1
4
、公比为8的等比数列 …………10分
∴1
(18)
8141828
n n n S --==
- …………12分 20、解：(1) 依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α. ……2分
在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－2AB·AC·cos ∠BAC ＝122
＋202
－2×12×20×cos120°＝784，解得BC ＝28．……………4分 所以渔船甲的速度为BC
2
＝14海里/小时．……………6分
(2) 在△ABC 中，因为AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC
sin120°
.……………8分
即sin α＝AB·sin120°
BC ＝12×
3228＝3314
.…………12分
21、解：（1）由已知⎪⎩
⎪
⎨⎧==2132
7
11q a q a 解得,21,641==q a …………………3分 )(2)21
(64711
1*---∈=⋅==∴N n q
a a n n n n ……………………6分
（2）令n a b n
n n -===-72
log log 722…………………8分 则)13(2
1
2)76(221n n n n b b b T n n +-=-+=
++= …………………10分 217676===∴T T ，T n n 最大为时或当……………………12分
22、解（1）∵{}n a 是等差数列，且53=a ，137=a ，设公差为d 。

∴⎩⎨⎧=+=+136521
1d a d a ， 解得⎩⎨⎧==21
1d a
∴12)1(21-=-+=n n a n (*∈N n ）……………2分 在{}n b 中，∵12-=n n b S
当1=n 时，1211-=b b ，∴11=b ……………3分 当2≥n 时，由12-=n n b S 及1211-=--n n b S 可得 122--=n n n b b b ，∴12-=n n b b
∴{}n b 是首项为1公比为2的等比数列 ∴1
2
-=n n b (*∈N n ）……………6分
(2）1
2
)12(-⋅-==n n n n n b a c
1
2
2
)12(25231-⋅-++⋅+⋅+=n n n T ①
n n n n n T 2)12(2)32(25232121
3
2
⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=- ②……………7分
①-②得 n n n n T 2)12(2
2222211
2
⋅--⋅++⋅+⋅+=--
n n n 2)12(2
1)
21(2211⋅----⋅+=-
n n n 2)12()12(411⋅---+=-
n n 2)32(3⋅---= ……………10分
∴32)32(+⋅-=n
n n T (*∈N n ）……………12分。