高中函数复习之绝对值函数与分段函数

高中函数复习之绝对值函数与分
段函数(总4页)
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绝对值函数与分段函数一．与绝对值函数有关的基本知识
1．V型函数
|
|x
y=
2．与绝对值有关的函数变换
|)
(|
)
(x
f
y
x
f
y=
−
−
−
−→
−
=除左右对称到左
|)
(
|
)
(x
f
y
x
f
y=
−
−
−
−
→
−
=上不变下翻上
二．分段函数（绝对值函数除绝对值）
⎩
⎨
⎧
<
-
≥
=
=
,
,
|
|
x
x
x
x
x
y
分段函数分段处理
三．典例分析
例1．“2
a
=”是“函数()
f x x a
=-在区间[2,)
+∞上为增函数”的条件（填充分，必要，充要）.分析：
|
|
|
|a
x
y
x
y-
=
−
−
−→
−
=左右平移
2
2[
|
|≤
∞
+
-
=a
）
，
a
x
y上为增则
在
故填充分非必要
例2已知函数()22
x
f x=-）
分析：
|2
2|
2
2
2-
=
−
−
−→
−
-
=
−
−→
−
=x
x
x y
y
y绝对值变换
平移
故选B
例3．已知函数12
||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,（,a b 为整数），值域是[]1,0，则满足条件的整数数对),(b a 共有_________个. .
分析：
12
||4124244-+=−−−→−-+=−−→−+=−−→−=x y x y x y x y 绝对值变换平移平移
满足要求
由题意和图像知经绝对值变换后知道求得令求得令)
2,0(),2,1221
2)0,2(02),0,20)10012
4-----==-+=），（，），（，，（：），C （B （y ，，A （x x y
例4．已知2)(--=a x x x f
（1）若a>0,求)(x f 的单调区间;
（2）若当[]1,0∈x 时，恒有0)(<x f ，求实数a 的取值范围.
分析：绝对值函数转分段函数
⎪⎨⎧≥--=a x ax x x f ,2)(22
),(),,(),,(202,22)2()2()12222a a ：，，，a x ，x a 。

，，y ax x ax x a a 减区间为增由图知单调区间为故可画出函数图像两支函数值都为时当轴正半轴对称轴在时当且两抛物线对称轴相同对称故两段上图像关于+∞-∞-=>-=-=-+-+--
102102,0)1(,0)0(]1,0[0)(,2:,2)2422->∴⎩⎨⎧<--<-<<∈<---+-=a a ：
f f ，x x f ，，
ax x y a
既得只需要第一支函数中上恒成立在因此要使
况下都小于零故第二支函数在任意情恒小于零顶点最大值为
练习：
1已知cos 0()(1)10x x f x f x x π->⎧⎪=⎨++≤⎪⎩
，则)34()34(-+f f 的值等于 A ．2- B ．1 C ．2
2若函数1(),10()44,
01x x x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则4(log 3)f =（ ）
A ．13
B ．43
C ．3
D ．4 3函数21,(0)()(1),(0)
x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程a x x f +=)(恰有两个不等的实根，则a 的取值范围为
A ．(]0,∞-
B ．[)1,0
C ．)1,(-∞
D ．[)+∞,0
4设函数2,0()2,0x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩
，若(4)(0),(2)2f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为
A. 4 C1
5.已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)
0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有 成立，则a 的取值范围是
6知函数()21,x f x a b c =-<<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是
A ．0,0,0a b c <<<
B ．0,0,0a b c <≥>
C ．22a c -<
D ．222
a c +<7设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数
取函数()2x f x -=。

当K =12
时，函数()K f x 的单调递增区间为【 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞
8若函数|1|1()2x y m -=+的图象存在有零点，则m 的取值范围是__________
9． 函数(1)||
x
xa y a x =>的图象的大致形状是（ ）
10.
数sin sin y x x =+的值域是
_________
18位同学在研究函数 f (x) = x 1 + | x | (x∈R) 时，分别给出下面三个结论： ① 函数 f (x) 的值域为 (－1,1)
② 若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)
③ 若规定 f 1(x) = f (x)，f n+1(x) = f [ f n (x)]，则 f n (x) = x 1 + n | x |
对任意 n ∈N * 恒成立.你认为上述三个结论中正确的个数有
11数①()|2|f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假： 命题甲：(2)f x +是偶函数；
命题乙：()f x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数；
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是 （ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②
D ．③
12定义在R 上的偶函数()f x 的部分图像如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是
A ．21y x =+
B. ||1y x =+
C. 321,01,0
x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩ D ．,,0
x x e x o y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩。