精算4重要基础

0
x
t
px = exp{− ∫ µ s ds}
x
x +t
引入死亡力函数后，可 以推出T（x)的概率密度函数， g 它是G（x)的导数，表示为 (t )，即 d d s( x + t ) g (t ) = G′(t ) = t qx = 1 − dt dt s ( x) s( x + t ) s′( x + t ) = × − =t p x × µ x +t s ( x) s ( x + t ) 其中，t ≥ 0 显然，有∫
nm
q x 表示x岁的人在x + n ~ x + n + m岁之间死亡的概率，定义为：
m
d x+n lx+n − lx+n+m q＝ = = n p x − n + m p x = n p x ×m q x + n nm x lx lx
n m qx = n 1 qx = n qx 其中，n 0 q x = 0 n ∞ qx = n px
n Lx ≈ n l x + n＋
Tx
5 Tx x岁的人群未来累积生存 人年数。 Tx = Lx + Lx +1 + .... + Lϖ −1 =
∞
ϖ − x −1
t =0
∑L
x +t
(3.8)
在均匀分布的假设下， 有 1 Tx = ∑ (l x +i + l x +i +1 ) i =0 2 (3.9)
0
∞
o 2
整值剩余寿命的期望与方差
( • 期望整值剩余寿命： x )整值剩余寿命的期望值(均 值),简记 e
x
ex = E ( K ( x)) = ∑ k ⋅ k px ⋅ qx + k = ∑ k +1 px
k =0 k =0
∞
∞
• 整值剩余寿命的方差
Var ( K ( x)) = E ( K ) − E ( K ) = ∑ (2k + 1) ⋅ k +1 px − ex
看书上例题3.5 3.6
生命表x岁死亡的人数 x 正是生存人数函数 x+t 与死亡力µ x+t 在0 ~ 1上的积分，故 d l d x = ∫ l x+t × µ x+t dt
0 1
生命表x岁生存人年数 x 正是生存人数函数x +t 在0 ~ 1上的积分，故 L l Lx = ∫ l x +t dt
2 2 k =0
∞
2
死亡效力
死亡效力
s′( x) f ( x) µx = − = = − ln[ s ( x)]′ s( x) s( x)
对上式两边从 x到x + n积分，有
x+n
∫ µ y dy = −
x
x+n
∫
x
s ′( y ) dy = − ln s ( y ) s( y)
x+n x
= −[ln( x + n) − ln s ( x)]
o
ex
6
o
e x x岁人群的平均余寿，表 明未来平均存活的时间 。
∞ ∞ l Tx = ∫ t p x dt = ∫ x + t dt 0 0 l lx x o
o
ex ＝
(3.10)
当 x为0时， 表示出生时的平均余寿 ，表示同一批人从出生 到死亡 e 平均每人存活的年数。 假设死亡在每个年龄上 均匀分布，即 L x = e0 ＝ =
T（x）=K(x)+S(x)
剩余寿命的期望与方差
• 期望剩余寿命： ) 剩余寿命的期望值(均值),简记 e x (x
o
o ∞ ∞
ex = E (T ( x)) = ∫ td (1 − t px ) = ∫ t px dt
0 0
• 剩余寿命的方差
Var (T ( x)) = E (T ( x) 2 ) − E (T ( x)) 2 = 2 ∫ t ⋅ t px dt − ex
dx
1.58 0.68 0.49 0.44
1000 q x
生命表基本函数
1. l x。存活到确切整数年龄x岁的人口数，x = 0,1,...,ϖ − 1。 确切年龄：从出生到测算时点已存活的时间。 完全年龄：从出生到测算时点已存活的整数年数。 l0：同时出生的一批人数
ϖ：人口生命极限年龄，是生命表的年龄上限，人 口存活的最高年龄为ϖ－1
=
∑
∞
第一节 生命表基本函数
生命表基本函数
生命表基本函数是反映在封闭人口的条件下，一批人从出生 后陆续死亡的全部过程的一种统计表，封闭人口是指所观察的 一批人口只有死亡变动，没有因出生的新增人口和迁入或 迁出人口。
某生命表节选
年龄x 年龄 0 1 2 3
lx
1000000 998420 997740 997255 1580 680 485 435
剩余寿命
• 剩余寿命的生存函数t px：
t
px = Pr(T ( x) > t ) = Pr( X > x + t X > t ) s( x + t ) = s( x)
• 特别：
x
p0 = s( x)
剩余寿命
• • • ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px
px = 1 px
：x岁的人将在1年内去世的概率
表示同一到达年龄但不同一连线上的数据我们可以做一条连线从选择表的左下至右上生命表的构造设置极限年龄第三节有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设生命表提供了整数年龄上的寿命分布但有时我们需要分数年龄上的生存状况于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据选择某种分数年龄的生存分布假定估计分数年龄的生存状况balducci假定调和插值三种假定yqtq为整数其中函数是线性的
o
1 (l x + l x +1） 2
T0 1 = (L0 + L1 + ... + Lϖ −1 ) l0 l0
1 1 × [(l0 + l1 ) + (l1 + l 2 ) + ....( lϖ −1 + lϖ ) ] l0 2
ϖ −1 ϖ −1 1 1 ϖ −1 = × ∑ d t + ∑ d t + ∑ d t + ... + dϖ −1 l0 2 t = 0 t =1 t =2 1 1 1 1 1 = × [ d 0 + (1 + ) d1 + ( 2 + ) d 2 + .... + (ϖ − 1 + ) dϖ −1 ] l0 2 2 2 2
n
d
x
2.
n
d x。在x ~ x + n岁死亡的人数。当n＝1时，简记为d x。
l0 − d 0 = l1 , l1 − d1 = l2 一般有，l x − n d x = l x + n 由于在生命表最高年龄ϖ上存活的人数为0，即lϖ = 0， 因此0岁存活人数等于各个年龄上死亡人数之和。 l0 = ∑ d x
n ∞ t 0
px × µ x +t dt = 1
根据死亡力的定义公式 ，容易得出
n
qx = ∫ t px × µ x +t dt
0
nm
qx = ∫
n+ m t
n
px × µ x +t dt
死亡效力
• 死亡效力与密度函数的关系
f ( x) Leabharlann µ x ⋅ s ( x) = µ x ⋅ exp{− ∫ µ s ds}
第二章
生命表函数与生命表构造
本章重点
• 生命表函数
– 生存函数 – 剩余寿命 – 死亡效力
• 生命表的构造
– – – – 有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
• 有关分数年龄的三种假定
本章中英文单词对照
• • • • • • • 死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表 • • • • • • • Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables
2 ∞
x 岁的人未来平均存活的 它是整值余寿随机变量
整数年数，不包括 K ( x )的期望值，以 e x 表示：
∑ k×
k =0
∞
k
p x × q x+k =
∑ k×
k =0
∞
k
qx
∑
t =1 ∞
t
qx
t
px =
∑
t=2
qx
......... 故
∑ k×
k =0
∞
k
q x＝ 1 q x + 2 q x + 3 q x + ........ + 2 q x + 3 q x + ........ + 3 q x + ........
0 x
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g (t )
s ( x) − s( x + t ) G (t ) = 1 − t px = s( x) d d s ( x) − s ( x + t ) s ( x + t ) µ x +t = t px ⋅ µ x + t g (t ) = G (t ) = = dt dt s( x) s ( x)
= ∑ t qx
t =0
n
4.
Lx
n
Lx . x岁的人在 x ~ x + n岁生存的人年数。人年 数是
表示人群存活时间的复 合单位， 1个人存活了1年是1人年， 在死亡均匀分布的假设 下， x ~ x + n岁的死亡人数 n d x 平均 来说存活了 n / 2年，而活到 l x + n岁的人存活了 n年，故 n n d x = (l x + l x＋n ) n 2 2 1 当 n = 1时，有 Lx = (l x + l x +1 ) 2
0
+∞
利用分部积分法，容易证明：
∫
+∞
0
t×t p x × µ x +t dt = ∫
∞
0
d (− t p x ) × tdt =− t p x × t dt
∞ 0
+∫
+∞ t
0
p x dt = ∫
+∞ t
0
p x dt
整值平均余寿与中值余寿
x 岁的整值平均余寿是指 不满一年的零数余寿， e x = E ( K ( x )) = 由于 px =
0 1
生命表x岁累积生存人年数 x 正是生存人数函数x +t 在0 ~ ∞上的积分，故 T l Tx = ∫ l x +t dt
0 o ∞
∞ l x + t dt = ∞ p dt e 所以，x = ∫0 ∫0 t x lx
o
ex = (t. p
t
x
)
+∞ 0
= E[T ( x)]
+ ∫ t×t p x × µ x +t dt
= − ln
s ( x + n) = − ln n p x s ( x)
x+n x
故 n p x = exp( − ∫
µ y dy ) = exp( − ∫ µ x + s ds
0 t 0
n
同样，对于 t p x = exp( − ∫ µ x + s ds )
• 死亡效力与生存函数的关系
s ( x) = exp{− ∫ µ s ds}
x =0
ϖ −1
n
3.
n
qx
q x . x 岁的人在 x ~ x + n 岁死亡的概率，当 n ＝1时，简记为 q x。
n
n q x＝ n −1
d x d x + d x +1 + ... + d x + n −1 = = q x + 1 q x + 2 q x + ... + n −1 q x lx lx
qx
qx = 1 qx
：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世 的概率 t u qx
tu
qx =
t +u
qx − t qx = t px − t +u px
整值剩余寿命
(x • 定义： ) 未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) = k, k ≤ T ( x) < k + 1, k = 0,1,L
X岁余寿的生存函数
• 定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能 继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 • 分布函数G(t)=Pr(T(x)<t) ： t qx
t
q x = P r( T ( X ) ≤ t ) = p r ( x < X ≤ x + t X > x ) s(x) − s(x + t) = s(x)
m =1 m=0 m=∞
第二节 生存分布
• 定义 • • • •
s ( x) = Pr( X ≥ x)
意义：新生儿能活到x 岁的概率。 与分布函数的关系：s ( x) = 1 − F ( x) 与密度函数的关系： f ( x) = − S ′( x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr(x < X ≤ z) = s(x) − s(z)
1 ϖ −1 1 = ∑ (t + ) d t l0 t = 0 2
(3.11)
运用生命表基本函数，可以定义和表述寿险精算中常用 的死亡概率。以n q x 表示x岁的人存活n年并在第n + 1年死亡 的概率，或第x岁的人在x + n ~ x + n + 1岁死亡的概率。 d l d q x＝ x + n = x + n × x + n = n p x ×n q x (3.12) n lx lx lx+n
• 概率函数
Pr( K ( X ) = k ) = Pr(k ≤ T ( x) < k + 1) = k +1 qx − k qx = k px − k +1 px = k px ⋅ qx + k = k qx
设S ( x)为( x)在死亡年所活过的不足 一年的部分，它是（ ， 01 ）上的连续分布