高一数学 2.1.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系新课标数学必修2

2.1.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
一、教学任务分析
通过生活实例以及长方体模型的观察和思考,引出直线和平面的三种位置关系,体现
分类的思想. 通过生活实例以及长方体模型的观察和思考, 引出两平面之间的位置
关系.进一步培养学生的空间想象能力.
二、教学重点和难点
直线与平面的位置关系;平面与平面之间的位置关系.
三、教学基本流程
观察实物模型和动手操作引出空间直线与平面的位置关系→理解空间直线与平面
位置关系的实质→空间直线与平面位置的图形画法与表示→例题练习教学→观察
实物模型和动手操作引出空间平面与平面之间的位置关系→学习小结与作业
四、教学情境设计
'
1、导入课题：前面我们已经研究了空间两条直线的位置关系，
直线的位置关系,直线和平面又会有那些位置关系呢?
【设计意图】：学习完空间两条直线的位置关系后,引出本节课的内
容.
2、思考(1) 一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面,可能有几种位置关系?
图(2.1.3-1)
(2)如图2.1.3-1,线段'A B所在直线与长方体''''
的六个面所在有几种
ABCD A B C D
位置关系?
【设计意图】：以生活中的实例以及长方体为载体提出直线与平面位置关系的种数
问题,通过操作使学生直观感知直线和平面的三种位置关系.教学时,引导学生以长
方体为载体分析相应的直线与平面的位置关系,得到直线与平面的位置关系有且只
有三种:
(1)直线在平面内―有无数个公共点;
(2)直线与平面相交―有且有一个公共点;
(3)直线与平面平行―没有公共点.
3、活动:观察教室内地面、天花板、墙面的相交线与墙面、地面所在直线的关系.你能分别举出几个直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行的例子吗? 【设计意图】：以这些实例给学生关于直线于平面位置关系的直观感知.在学生形成直观感知的基础上,在对这些实物做正确的抽象,比如“地面”、“天花板”、“墙面”等,均应想像成“平面”.
4、探究：如何用图形表示直线与平面的位置关系呢?试用符号表示它们的关系.
a
图2.1.3-2 图2.1.3-3 图2.1.3-4
【设计意图】：培养学生的空间想象能力和作图能力.
(1)直线a在平面α内(图2.1.3-2),记作aα
⊂;
(2)直线a与在平面α相交于点A(图2.1.3-3),记作a A
α=;
(3)直线a与平面α平行(图2.1.3-4),记作aα.
5、例4的教学
【设计意图】：通过例题的教学,理解掌握判断直线与平面位置关系的本质问题.
6、P50练习
【设计意图】：引导学生利用直线与平面位置关系的本质解决实际
问题.
7、思考(1)拿出两本书,看作两个平面,上下、左右移动和翻转,
它们之间的位置关系有几种?
'
C
(2) 如图2.1.3-5,围成长方体''''ABCD A B C D -的六个面,两两之间的位置关系有几种? 图2.1.3-5
【设计意图】：以生活中的实例以及长方体为载体提出直线与平面位置关系种数问题,通过操作使学生直观感知直线和平面的三种位置关系.教学时,引导学生以长方体为载体分析相应的直线与平面的位置关系,得到直线与平面的位置关系有且只有两种:
(1) 两个平面平行―没有公共点 (2) 两个平面相交―有一条公共直线
8、探究：如何用图形表示平面与平面之间的位置关系呢?试用符号表示它们的关系.
图2.1.3-6
【设计意图】：通过讨论,使学生明确定义既表明了各种位置关系的本质特征,同时还可以用定义判断是否存在相应的位置关系.
9、探究：已知平面,αβ,直线,a b ,且,,,a b αβαβ⊂⊂则直线a 与直线b 有怎样的位置关系?
【设计意图】：引导学生理解和分析:有面面平行的定义可以看出,直线,a b 分别在平面,αβ内,因此,a b 是不可能有公共点的.因为若有公共点,那么这个点也必是两个平面的公共点,两个平面也就不可能平行了.因此,这两条直线不相交(是平行直线或异面直线).培养学生的空间想象能力和知识的应用能力. 10、P51练习
【设计意图】：培养学生的空间想象、空间作图和知识的灵活应用能力.
11、学习小结
(1)空间中直线与平面有哪几种位置关系?空间中直线与平面相交、平行、在平面内的本质特征是什么?
(2)平面与平面的位置关系怎样?它们的本质特征是什么? 12、作业
(1) P54习题2.1B 组第2题；
(2) 如图,在长方体''''ABCD A B C D 中,指出'',B C D B 所在
直线与各个面所在平面的位置关系。

图2.1.3-7
五、教学反思
2.2.1直线与平面平行的判断
1、 教学任务分析
通过教学活动，使学生感受直线和平面的平行关系，探究直线和平面平行的判定方法。

提高学生的观察、发现和空间想象能力。

2、 教学重点和难点
直线和平面平行的判定定理的探求和应用。

3、 教学的基本流程
4、 教学情景设计
'
5、教学反思
2.2.2平面和平面平行的判定
1、教学任务分析
通过教学活动，使学生感受平面和平面的平行关系，探究平面和平面平行的判定方法。

通过实验、探索、发现、证明、应用，激发学生学生学习数学的信心和积极性，提高学生的空间想象能力、严谨的推理能力和概括能力。

2、教学重点和难点
平面和平面平行的判定定理的探求和应用。

3、教学的基本流程
4、教学情景设计
5、教学反思
2.2.3—2.2.4直线和平面，平面和平面平行的性质
1、教学任务分析
通过教学活动，使学生感受通过直线和平面的平行、平面和平面的平行可推出直线和直线平行，从而推出直线和平面的平行、平面和平面的平行。

体会其中的转化思想。

提高学生的观察、发现和逻辑思维能力。

2、教学重点和难点
重点：直线和平面平行的性质定理、平面和平面的平行性质定理的探求。

难点：性质定理的证明和应用。

3、教学的基本流程
4、教学情景设计
5、教学反思
2.3.1直线与平面垂直的判定
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．直线和平面垂直的定义及相关概念．
2．直线和平面垂直的判定定理．
（二）能力训练点
1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加．
2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线，向学生
渗透转化思想的应用．
（三）德育渗透点
引导学生认识到：立体几何问题转化为平面几何问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决的过程实质是应用转化思想的过程．转化思想是重要
的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点
（1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直．
（2）掌握直线和平面垂直的判定定理：
2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的归纳、概括；教科书安排了一个“探究”实验：通过折叠三角形纸片，探究在什么条件下，就能使折痕与桌面垂直，让学生在直观感知、操作确认的基础上归纳、概括出直线与平面垂直的判定定理．
3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可．
三、教与学的过程设计
（一）温故知新，引入课题
师：空间两条直线有哪几种位置关系？
生：三种：相交直线、平行直线、异面直线
师：经过一点和一条直线垂直的直线有几条？
生：从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直
师：空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？
生：直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．
师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手．
（二）猜想推测，激发兴趣
1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．
2．指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足．
3．说明直线和平面垂直的画法及表示．
4．直线和平面垂直的判定定理．
师：要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的．让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺检查两次（只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上），如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直．从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗？（引导学生进行猜想推测）
生：要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的．
这样我们有了直线和平面垂直的判定定理．
（板书）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
为了强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下面两个反例，加深学生的理解．
（1）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直．
（2）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于EF，但它不一定和讲台桌面垂直．
（三）初步运用，提高能力
例1一旗杆高8 m,在它的顶点处系两条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一直线上）。

如果这两点与旗杆脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直。

为什么？
解：（略）见课本P.69
例2如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α．
解：（略）见课本P.69
练习：P.70练习1、2
（四）归纳小结，强化思想
师：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l垂直于平面α，那么l就垂直于α内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路．
（五）布置作业
如图1-71，MN是异面直线a、b的公垂线，平面α平行于a和b，
求证：MN⊥平面α．
（六）教学反思
2.3.2两个平面垂直的判定
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．两个平面垂直的定义、画法．
2．两个平面垂直的判定定理．
(二)能力训练点
1．应用演绎的数学方法理解并掌握两个平面垂直的定义．
2．掌握两个平面垂直的判定定理的证明过程，培养学生严格的逻辑推理，增强学生分析、解决问题的能力．
3．利用转化的方法掌握和应用两个平面垂直的判定定理．
(三)德育渗透点
1．理解并掌握两个平面垂直定义的过程是培养学生从一般到特殊的思维方法的过程．
2．让学生认识到掌握两个平面垂直的判定定理是人类生产实践的需要，并且应用于实践，进一步培养学生理论与实践相结合的观点．
二、教学重点、难点
1．教学重点：掌握两个平面垂直的判定．
2．教学难点：掌握两个平面垂直的判定及应用．
三、教与学的过程设计
(一)介绍二面角的有关知识
1．二面角的定义及相关概念
师：我们知道，两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交．两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫生时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度（图看课本P．39中图1—43），等等．这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角”叫二面角，那么如何定义二面角呢？阅读课本P．39—40，回答下列问题．
师：我们先来回忆：什么是角？如何表示？
生：从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1—117），表示为∠AOB．
师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角．先给出半平面的定义．
生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面（如图1—119）．
师：那么如何表示二面角呢？
生：棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β．
师：二面角的画法通常有哪几种？
生：第一种是卧式法，也称为平卧式（如图1－120）．
第二种是立式法，也称为直立式．
2．二面角的平面角的定义
师：为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题．如门和墙所在的平面是相交的，但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上，也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的．为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义．
定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．现在我们来思考：
问题1：这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理？为什么？
生：是合理的．
如图1—121，在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在半平面α和β内，从点O分别作垂直于棱a的射线OA、OB，射线OA和OB组成∠AOB，在棱上另取任意一点O＇，按同样的方法作∠A＇O＇B＇，因为OA和OA＇、OB和OB＇都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A＇O＇B＇的两边分别平行且方向相同，根据等角定理，得：∠AOB＝∠A＇O＇B＇，即∠AOB的大小是一定的．由于这个唯一性，从而说明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点O在棱上的位置无关．
问题2：二面角的平面角必须满足哪几个条件？
生：两个条件．一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．
师：平面角是直角的二面角叫直二面角．
在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个角所成二面角的平面角（图见P．40中图1—45）．我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°，就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68.5°
3．两个平面垂直的定义、画法
师：两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况，日常我们见到的墙面和地面、以及一个长方体中，相邻的两个面都是互相垂直的．那么，什么是两个平面互相垂直呢？
生：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
师：回答得很好．这个定义与平面几何里的两条直线互相垂直的定义相类似，也是用它们所成的角是直角来定义．知道了两个平面互相垂直的概念．如何画它们呢？
生：如图1-128，把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直．记作α⊥β．
练习：(P.45中练习1)
画互相垂直的两个平面、两两垂直的三个平面．
如图1-129．
（二）两个平面垂直的判定
师：判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理．
两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
师：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上就是依据这个原理．另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．
（三）初步运用，提高能力
例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC⊥PBC平面
证明：（略）见课本P.72
练习：P.73练习1、2
（四）归纳小结，强化思想
本节课我们讲解了两个平面垂直的定义、画法及判定方法．判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键．
（五）布置作业
P.77习题2.3A组第4题．B组第1题
（六）教学反思
2.3.3-2.3.4直线与平面垂直和两个平面垂直的性质
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．直线和平面垂直的性质定理．
2．两个平面垂直的性质定理．
（二）能力训练点
1．掌握直线与平面垂直和两个平面垂直的性质定理，并能应用它们灵活解题．2．掌握用反证法证明命题．
（三）德育渗透点
通过例题向学生渗透转化的思想和化归的解题意识．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：
（1）掌握直线和平面垂直的性质定理．
（2）掌握两个平面垂直的性质定理．
2．教学难点：性质定理证明中反证法的学习和掌握，应让学生明确，对于一些条件简单而结论复杂的命题，可考虑使用反证法．
三、教与学的过程设计
（一）温故知新，引入课题
师：上节课，我们学习了直线和平面垂直的定义和判定定理，请两个同学来叙述一下定义和判定定理的内容．
生（甲）：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这两条直线和这个平面互相垂直．
生（乙）：直线和平面垂直的判定定理是：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
（板书如右）
师：利用判定定理我们还证明了线线平行的性质定理（即例题1），也请一个同学叙述一下．
生（丙）：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．
（板书）若a∥b，a⊥α则b⊥α．
师：这个用黑体字写成的例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理，现在请同学们改变这个定理的题设和结论，写出它的逆命题．
生：若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
师：下面就让我们看看这个命题是否正确？
（二）猜想推测，激发兴趣
教师写出已知条件并画出图形，作探讨性证明
已知：a⊥α， b⊥α（如图1-73）
求证：a∥b．
分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行．
我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．
师：您知道用反证法证明命题的一般步骤吗？
生：否定结论→推出矛盾→肯定结论
师：第一步，我们做一个反面的假设，假定b与a不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1（线线平行定理），在这个定理的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线．
证明：假定b与a不平行
设b∩α＝O，b′是经过点O与直线a平行的直线，
∵ a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．
经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α是不可能的．
因此，a∥b．
由此，我们得到：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
师：这就是直线和平面垂直的性质定理；
（三）两个平面垂直的性质
师：什么是两个平面互相垂直？
生：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
师：如何判定两个平面互相垂直？
生：第一种方法根据定义，判定两个平面所成的二面角是直二面角；第二种方法是根据判定定理，判定其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面．
师：今天我们接着研究两个平面垂直的性质．
两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
已知：平面α⊥β，α∩β=CD，AB α且AB⊥CD于B．
求证：AB⊥β．
证明：在平面β内引直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．
∵α⊥β，∴AB⊥BE．
又∵AB⊥CD，∴AB⊥β．
师：从性质定理可以得出，由面面垂直可以得到线面垂直．这种直线与平面的位置关系同平面与平面的位置关系的相互转换，是解决空间图形问题重要的思想方法。

（四）初步运用，提高能力
例1设直线a、b分别在正方体ABCD-A′B′C′D′中两个不同的平面内，欲使a∥b,a,b 应满足什么条件？
解：（略）见课本P.74
例2如图，已知平面α，β，直线a满足α⊥β，a⊥β，aα，试判断直线a与平面α的位置关系。

解：（略）见课本P.76
练习：P.75练习1、2和P.77练习1、2
（五）归纳小结，强化思想
本节课，我们学习了直线与平面垂直和平面与平面垂直的性质定理，定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法．
（六）布置作业
P.77习题2.3B组第3题．
（七）教学反思。