中考数学专项讲解 函数与方程思想

2011年中考数学专项讲解函数与方程思想
知识梳理
方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容．
典型例题
【例1】如图：在△ABC中，BA=BC=20 cm，AC=30 cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4 cm的速度向点B运动；同时Q点从C点出发，沿CA以每秒3 cm的速度向点A运动．设运动的时间为x秒．
(1)当x为何值时，PQ∥BC?
(2)△APQ能否与△CQB相似?
(3)若能．求出AP的长；若不能．请说明理由．
【解】(1)根据题意AP=4xcm，AQ=AC－QC=(30－30x)cm，若PQ∥BC，则AP AQ AB AC
=．
则4303
2030
x x
-
=，解得
10
3
x=．所以当
10
3
x=s时，PQ∥BC．
(2)因为∠A=∠C，所以当AP AQ
CQ CB
=或
AP AQ
CB CQ
=时，△APQ能与△CQB棚以．
①当AP AQ
CQ CB
=时，
4303
320
x x
x
-
=，解得
10
9
x=．
②当AP AQ
CB CQ
=时，
4303
203
x x
x
-
=，解得x1=5，x2=－10(舍去)．所以AP=4x=20．
所以当
40
9
AP=cm或20 cm时，△APQ与△CQB相似．
【解题反思】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．
【例2】某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=a x2+bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的维修、保养费为4万元．
(1)求y的解析式； (2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资?
【解】 (1)由题意，把x=1时，y=2和x=2时，y=2+4=6，代入y=a x2+bx，得
2426a b a b +=⎧⎨
+=⎩，解得11
a b =⎧⎨=⎩，所以y=x 2
+x (2)设y ′=33x －100－x 2
－x ，则y ′=－x 2
+32x －100=－(x －16) 2
+156．
由于当1≤x ≤16时，y ′随x 的增大而增大，且当x=1、2、3时，y ′的值均小于0，
当x=4时，y ′=－12 2
+156>0，已知投产后该企业在第4年就能收回成本．
【解题反思】 用函数思想解决实际问题，要关注自变量与函数之间的关系，注意：本题中的y 是从第1年到第x 年的维修、保养费用总和．
【例3】某村响应党中央“减轻农民负担，提高农民生活水平”的号召，该村实行合作医疗制度，村委会规定：
(一)每位村民年初交纳合作医疗基金a 元；
设一位村民当年治疗花费的医疗费用为x 元，他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金)为y 元．
(1)当0≤x ≤b 时，y=________；当b<x ≤5000时，y=_______(用含a 、b 、c 、x 的代数式表示)
(2)下表是该村3位村民2008年治疗花费的医疗费和个人实际承担的费用，根据表格中的数据，求a 、b 、c 的值；写出y 与x 之间的函数关系式；并计算村民个人一年最多承
(3)
请你帮助小强计算参加合作医疗保险后村集体为他们家所承担的费用．
【解】(1)a a +(x －b)c ％ (2)假设b ≤40，则()()()00000
04030(1)9050(2)15080(3)
a b c a b c a b c +-=⎧⎪
+-=⎨⎪+-=⎩
②－①得，c=40，③－②得，c=50，结果矛盾，∴b>40，这样①不成立，应为a =30，
代入②和③中，解得c=50，b=50．∴当0≤x ≤50时，y=30；当50<x ≤5000时，y=30+(x －50)50％=0．5x+5；当x>5000时，y=2505，∴村民个人一年最多承担医疗费为2505元； (3)全家医药费合计200+100+10+30+20=360，个人应该承担的药费之和(0．5×200+5)
+(0．5×100+5)+30+30+30=250，集体为他们家承担的药费360－250=110(元)．【解题反思】本题的关键是确定a的范围，这里采用了反证法来说明b>40．
综合训练
1．如果关于x的方程
3
2
11
ax
x x
=-
+-
无解，则a的值为__________．
2．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．
3．如图，△ABC中，AC=4，AB=5，D是线段AC上一点(点D不与点A重合，可与点C 重合)，E是线段AB上一点，且∠ADE=∠B．设AD=x，BE=y．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)写出y的取值范围．
4．如图，某农场要用总长24 m的木栏建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长12m)，且中间隔有一道木栏，设鸡场的宽AB为xm，面积为S m2；
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)若鸡场的面积为45 m2，试求出鸡场的宽AB的长；
(3)鸡场的面积能否达到50 m2?
若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由．
5．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题：
(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?
(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间t(分钟)的函数关系式；
(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．
6．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力的促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，需费用120万元；若甲队单独做20天后，剩下的工程由乙队做，还需40天才能完
成，这样需要费用110万元．问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天?
(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元?
7．已知，关于x的一元二次方程mx2－(3m+2)x+2m+2=0(m>0)．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1<x2)，若y是关于m的函数，且y=x2－2x1，求这个函数的解析式；
(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当m满足什么条件时，y≤－m+3?
8．已知：△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若关于x的方程x2－
2(b+c)x+2bc+a2=0有两个相等的实数根，且△ABC的面积为8，a
(1)试判断△ABC的形状并求b、c的长；
(2)若点P为线段AB边上的一个动点，PQ∥AC交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点B与线段MN不在线段PQ的同侧，设正方形PQMN与△ABC的公共部分的面积为S，BP的长为x．
①试写出S与x之间的函数关系式；②当P点运动到何处时，S的值为3．
9．(02镇江)已知抛物线y=a x2+bx+c经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．
(1)求此抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线．
(2)若点(x0，y0)在抛物线上，且0≤x0≤4，试写出y0的取值范围．
(3)设平行于y轴的直线x=t交线段BM于点P(点P能与点M重合，不能与点B重合)，
交x轴于点Q，四边形AQPC的面积为S．
①求S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围．
②求S取得最大值时，点P的坐标．
③设四边形OBMC的面积为S′，判断是否存在点P，使得S=S′．
若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
10．已知动点P(2m －1，－2m+3)和反比例函数k
y x
=(k<0)． (1)若对一切实数m ，动点P 始终在一条直线l 上，试求l 的解析式．
(2)设O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，与y 轴相交于点N ，与反比例函数的
图象相交于A ，B 两点(点A 在第四象限)．
①证明：△OAM ≌△OBN ；
②如果△AOB 的面积为6，求反比例函数解析式．
参考答案 1．2和3 2．6cm 3．(1)455y x =-+ (2)955
y ≤< 4．(1)S=x(24－3x)=－3x 2
+24x(x
≥4)； （2）－3x 2
+24x=45，解得：x 1=3(舍去)，x 2=5，∴鸡场的宽AB 的长为5米．
(3)－3x 2+24x=50，3x 2－24x+50=0，△=242
－4×3×50<0∴此方程无实数解，∴鸡
场的面积不能达到50米2
．
5．(1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨的油，全部加给运输飞机需10分钟． (2)设Q 1=kt+b ，则406910b k b =⎧⎨
=+⎩， 2.9
40
k b =⎧∴⎨=⎩，∴Q=2．9t+40(0≤t ≤10)．
(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0．1吨，
∴10小时的耗油量为10×60×0．1=60(吨)<69(吨)，∴油料够用． 6．(1)30 120 (2)135 60
7．(1)△=(3m+2) 2－4×m ×(2m+2)=m 2+4m+4=(m+2) 2
m>0，∴ (m+2) 2
>0，即A>0，∴方程有两个不相等的实数根．
(2)
x 1=1，222x m =+
，∴ 2122y x x m
=-=． (3)在直角坐标系中的第一象限内分别画出2
y m
=和y=－m+3的图象，观察图象得：
当1≤m ≤2时，y ≤－m+3．
8．(1)△ABC 是等腰直角三角形，b=c=4；
(2)①当0<x ≤2时，S=x 2；当2<x ≤4时，S=－x 2
+4x 3．
9．(1)y=－x 2
+2x+3，M(1，4)，图略． (2)－5≤y 0≤4 (3)①2
9322t S t =-+
+(1≤t<3) ②9342⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
③不存在．
15
'2
S =
，若S=S ′， 则29315222t t -++=，整理得2
9602t t -+=．
81
2404
∆=-<，∴此方程没有实数根，∴不存在点P ，使得S=S ′．
10．(1)设l ：y=k ′x+b ，当m=0时，P 1 (－1，3)，当m=1时，P 2(1，1)，带入l ：y=k ′
x+b 得，3'1'k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得'12k b =-⎧⎨=⎩
，∴l ：y=－x+2，经检验满足条件．
(2)①解方程组2
k y x
y x ⎧
=⎪⎨⎪=-+⎩，得x 2
－2x+k=0，解得1A x
=，1B x =代
入求得，
1A y
=，1B y
=，
OA
=，
OB =∴OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ；M(2，0)，N(0，2)，∴OM=ON ，∴∠OMN=
∠ONM=45°，∴∠ONB=∠OMA=135°，∴△OAM ≌△OBN ． ②
26AOB
MON
APM
S
S
S
=+=，又1
2222
MON
S
=⨯⨯=，2AOM
S ∴
=，代入
得：(1
1222
⨯-
⨯=3=，∴k=－8，
∴反比例函数的解析式为8y x
=-．。