沪科版九年级数学下册课件24.7.1 弧长与扇形面积

讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图
上哪一部分？ 阴影部分.
O
A
B
C (1)
新知探究
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应
O
该怎样画出来？
A . D B 线段DC.过点O作OD垂直符号于AB
因为这些弯道的“展直长度”是一样的. 乙 甲
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
新知探究
一 与弧长相关的计算
问题1 半径为R的圆,周长是多少？
C=2πR
问题2 下图中各圆心角所对的弧长 分别是圆周长的几分之几?
R
180
°O
R
90°
O
R 45°
O
ROnຫໍສະໝຸດ RO新知探究知识要点
弧长公式
C1

n 360
B
弧 圆心角 O
A
B
扇形 O
A
新知探究
判一判 下列图形是扇形吗？
×
×
√
×
√
新知探究
想一想
问题1 半径为R的圆,面积是多少？
R
S=πR²
O
问题2 下图中各扇形面积分别是圆
面积的几分之几?
R
R 90°
R 45°
n°
180° O
O
O
O
新知探究
(1) 圆心角是180°，占整个周角的180 ，因此圆心角是180°的 扇形面积是圆面积的_____13_86_00___. 360
A
B
O
O
n R
C1 180
S扇形
=
n R2
360
S扇形

n R
180

R 2

1 2

n R
180
R

1 2
C1R
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
新知探究
试一试 1.扇形的弧长和面积都由 扇形的半径与扇形的圆心角 决定.
2.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 π cm，则这个扇形
2R

nR 180
注意 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表 示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧 长为__43__.
新知探究
典例精析 例1 一滑轮起重机装置如图，滑轮的半 径R=10cm，当重物上升15.7cm时，滑 轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向 旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有 滑动，π取3.14）？
360
360
3
扇形的周长为
l =2R +
nR 180
=20+ 60 10 180
=20+ 10 3

30.47(cm).
新知探究
例4 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在
⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． （1）证明：连接OC． ∵AC=CD，∠ACD=120°， ∴∠A=∠D=30°． ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠A=30°． ∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠ACO=90°， 即OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线．
(2) 圆心角是90°，占整个周角的 90 ，因此圆心角是90°的
90
360
扇形面积是圆面积的___3_60______.
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 45 ，因此圆心角是45°的
45
360
扇形面积是圆面积的__3_6_0______.
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 n ，因此圆心角是n°的扇形
α A
S O
新知探究
解：∵太阳光线可看作平行的，∴圆心角∠AOS=α=7.2°.
设地球的周长为C1，则
C1 360 50, AS 7.2 ∴C1=50AS 39625km.
答：地球的周长约为39625km.
α A
S O
新知探究
练一练 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料， 试计算如图所示管道的“展直长度”l(单位：mm，π取3.14).
九年级数学沪科版·下册
第二十四章 圆
24.7.1 弧长与扇形面积
教学目标
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点) 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.(重点)
情景导入
情境引入
新知探究
问题引入
问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道 和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
n
360
面积是圆面积的____3_6_0____.
新知探究
知识要点
扇形的面积公式
A 若设☉O半径为R，求圆心角
B
为n°的扇形的面积
O
nR2 S扇形 = 360
注意 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不 带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
新知探究
类比学习 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
的面积S扇=
4 cm2 3
．
3.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的
面积S扇=
4 3

.
新知探究
典例精析 例3 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面
积和周长（精确到0.01cm2和0.01cm）.
解：∵n=60，R=10cm，
∴扇形的面积为
nR2 S=
= 60 102 = 50 52.36(cm2 ).
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(2) ∵∠A=30°，
∴∠COB=2∠A=60°．
S扇形BOC

60 360

2 . 3
在Rt△OCD中，
CD OC tan 60 2 3.
S△OCD =
1 OC 2
CD=2
3.
2
S阴影 =S△OCD -S扇形OCB =2
3- . 3
新知探究
例5 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其 中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积（精确到0.01cm）.
解：设半径OA绕轴心O按逆时针 方向旋转的度数为n°.
n R 15.7,
180
解得 n≈90. 因此，滑轮旋转的角度约为90°.
A O·
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例2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算 地球周长（或子午圈长）的简单方法.如 图，点S和点A分别表示埃及的赛伊尼和 亚历山大两地，亚历山大在赛伊尼的北 方，两地的经度大致相同，两地的实际 距离为5000希腊里(1 希腊里≈158.5 m).当 太阳光线在赛伊尼直射时，同一时刻在 亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的 角为α.实际测得α是7.2°，由此估算出了 地球的周长，你能进行计算吗？
A
B
解：由弧长公式，
可得弧AB的长
100 °
C
C1
100900 500 1570 180
(mm),
O
D
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970(mm).
答：管道的“展直长度”为2970mm．
新知探究
二 与扇形面积相关的计算
新知学习 两条半径与所夹弧围成的图形，叫作扇形.