2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：阶段质量评估2

阶段质量评估(二) 变化率与导数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若lim Δx →
f (x 0)－f (x 0＋Δx )
Δx
＝1，则f ′(x 0)等于( )
A ．3
2
B ．23
C ．1
D ．－1
解析：原等式即－lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝－f ′(x 0)，也就是f ′(x 0)＝－1.
答案：D
2．若对于任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝3，则此函数的解析式为( ) A ．f (x )＝x 4－1 B ． f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1
D ．f (x )＝x 4＋2
解析：∵f ′(x )＝4x 3，∴f (x )＝x 4＋k . 又f (1)＝3，∴k ＝2.∴f (x )＝x 4＋2. 答案：D
3．f (x )＝3－
x ，则f ′(0)＝( )
A ．1
B ．log 3e
C ．ln 3
D ．－ln 3
解析：∵f ′(x )＝(3－
x )′＝3－
x ln 3·(－x )′＝－3－
x ln 3， ∴f ′(0)＝－30ln 3＝－ln 3. 答案：D
4．函数f (x )＝e x cos x 的图像在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B ．π4
C ．1
D ．π2
解析：∵f ′(x )＝(e x cos x )′ ＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′ ＝e x cos x －e x sin x ，
∴k ＝f ′(0)＝e 0cos 0－e 0sin 0＝1. ∴倾斜角为π4.
答案：B
5．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上点(1,2)处的切线与其平行线bx ＋y ＋c ＝0间的距离为( ) A ．
2
4
B ．
22
C ．322
D ． 2
解析：由抛物线过点(1,2)，得b ＋c ＝1，
又f ′(1)＝2＋b ，即2＋b ＝－b ，∴b ＝－1. ∴c ＝2.∴所求切线方程为x －y ＋1＝0.
∴两平行直线x －y －2＝0和x －y ＋1＝0之间的距离为d ＝|－2－1|12＋1
2＝
32
＝322.
答案：C
6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(3)＝( ) A ．23
B ．2ln 3
C ．23ln 3
D ．
25ln 3
解析：f ′(x )＝[log 3(2x －1)]′＝(2x －1)′(2x －1)ln 3＝2(2x －1)ln 3，∴f ′(3)＝2
5ln 3.
答案：D
7．抛物线y ＝1
4x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )
A ．x －y －1＝0
B ．x ＋y －3＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x ＋y －1＝0
解析：∵y ′＝12x ，∴在点Q 处的切线斜率k ＝1
2×2＝1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x
－y －1＝0.
答案：A
8．函数f (x )＝x 3－2x ＋3的图像在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝8的位置关系是( ) A ．相切
B ．相交且过圆心
C ．相交但不过圆心
D ．相离
解析：切线方程为x －y ＋1＝0，圆心到直线的距离为12＝2
2
＜22，所以直线与圆相交但不过圆心．
答案：C
9．曲线y ＝e －
x －e x 的切线的斜率的最大值为( )
A ．2
B ．0
C ．－2
D ．－4
解析：y ′＝k ＝－e －x －e x ＝－(e －
x ＋e x )＝－⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ≤－21e x
·e x ＝－2， 当且仅当1
e x ＝e x ，即x ＝0时，等号成立．
答案：C
10．下列图像中，有一个是函数f (x )＝1
3x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )
的图像，则f (－1)等于( )
A ．－13
B ．1
3
C ．73
D ．－13或73
解析：∵f (x )＝1
3x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1，
∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1. ∴函数f ′(x )的图像开口向上． ∵a ≠0，∴其图像为第③个图． 由图像特征可知f ′(0)＝0，且－a ＞0， ∴a ＝－1.∴f (x )＝1
3x 3－x 2＋1.
∴f (－1)＝－13－1＋1＝－1
3.
答案：A
11．(2015·重庆七校联考卷)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率是( )
A ．2
B ．1
C ．3
D ．－2 解析：由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8两边求导得，f ′(x )＝2f ′(2－x )×(－1)－2x ＋8. 令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)×(－1)－2＋8⇒f ′(1)＝2，∴k ＝2. 答案：A
12．已知函数f (x )＝x 2的图像在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )
A ．⎝⎛⎭
⎫－3
2，3 B ．(0，－4)
C ．(2,3)
D ．⎝
⎛⎭⎫1，－14 解析：由题意知，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 2
2)， f ′(x )＝2x ，则过A ，B 两点的切线斜率k 1＝
2x 1，k 2＝2x 2.
又切线互相垂直，∴k 1k 2＝－1，即x 1x 2＝－14.
两条切线方程分别为
l 1：y ＝2x 1x －x 21，l 2：y ＝2x 2x －x 2
2，
联立得(x 1－x 2)[ 2x －(x 1＋x 2)]＝0， ∵x 1≠x 2，∴x ＝x 1＋x 22.
代入l 1，解得y ＝x 1x 2＝－1
4.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知曲线y 1＝2－1
x 与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0的值
为__________．
解析：由题知y 1′＝1x 2，y 2′＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1
x 20
，
3x 2
0－2x 0＋2，所以3x 2
0－2x 0＋2x 20
＝3，所以
x 0＝1.
答案：1
14．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则函数y ＝f (x )的解析式为________．
解析：设f (x )＝a (x －m )2(a ≠0)， 则f ′(x )＝2a (x －m )＝2ax －2am ＝2x ＋2. ∴a ＝1，m ＝－1.∴f (x )＝(x ＋1)2＝x 2＋2x ＋1. 答案：f (x )＝x 2＋2x ＋1 15．函数f (x )＝mx 2m
＋n
的导数为f ′(x )＝4x 3，则m ＋n ＝________.
解析：∵f ′(x )＝m (2m ＋n )x 2m ＋n －1
＝4x 3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m (2m ＋n )＝4，2m ＋n －1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1，
n ＝2.
∴m ＋n ＝3. 答案：3
16．(2015·陕西高考卷)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x
(x ＞0)上点P 处的切
线垂直，则P 的坐标为________．
解析：曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k ＝y ′＝e x |x ＝0＝1；由y ＝1x ，可得y ′＝－1
x 2.
因为曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线与曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，故－1
x 2P
＝－1，
解得x P ＝1.由y ＝1
x
，得y P ＝1，故所求点P 的坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋2
3上的任意一点，且点P 处切线的倾斜角为α，求
α的取值范围．
解：∵k ＝tan α＝y ′＝3x 2－3≥－3， ∴tan α≥－ 3.
又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭
⎫2π
3，π 18．(12分)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x .
解：f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′ ＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋ (cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x － (cx ＋d )sin x
＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x ＝x cos x ，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
a －d －cx ＝0，ax ＋
b ＋
c ＝x .∴a ＝
d ＝1，b ＝c ＝0. 19．(12分)已知函数f (x )＝1
2x 2－a ln x (a ∈R )．若函数f (x )的图像在x ＝2处的切线方程为
y ＝x ＋b ，求a ，b 的值．
解：∵f ′(x )＝x －a
x
(x ＞0)，
f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，斜率为1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
2－a ln 2＝2＋b ，2－a 2＝1.
解得a ＝2，b ＝－2ln 2.
20．(12分)设函数f (x )＝ax －b
x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12
＝0.
(1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
(1)解：由7x －4y －12＝0得y ＝7
4x －3.
当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝1
2.①
f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝7
4
.②
由①②得⎩⎨⎧
2a －b 2＝1
2，
a ＋
b 4＝7
4.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝3，
∴f (x )＝x －3
x .
(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3
x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方
程为
y －y 0＝⎝⎛⎭
⎫1＋3
x 20
(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6
x 0
，故切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝
⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，故切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为 12⎪⎪⎪⎪
－6x 0|2x 0
|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
21．(12分)已知函数f (x )＝1
3x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C ．
(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，
则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1.
即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪
⎧
k ≥－1，－1k ≥－1，
解得－1≤k ＜0或k ≥1，
故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．
22．(12分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )，若x ∈[0,1]，f (x )图像上任意一点处切线的斜率为k ，当|k |≤1时，求a 的取值范围．
解：∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， ∴k ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax .
由|k |≤1知|－3x 2＋2ax |≤1(0≤x ≤1)，
即⎪⎪⎪
⎪－3⎝⎛⎭⎫x －a 32＋a
2
3≤1在x ∈[0,1]上恒成立．又f ′(0)＝0， ∴①当a
3＜0，即a ＜0时，－3＋2a ≥－1，
即a ≥1.故无解；
②当0≤a
3≤1，即0≤a ≤3时，
⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
3≤1，－3＋2a ≥－1，
解得1≤a ≤3； ③当a
3＞1，即a ＞3时，－3＋2a ≤1得a ≤2，此时无解．
综上知1≤a ≤ 3.
∴a 的取值范围为[1， 3 ]．。