高中数学 第二章《平面向量》复习教案 北师大版必修4

第二章平面向量复习课（2课时）
[第一部分：知识归纳]
1.知识结构
中的应用
中的应用
何中的应用
何中的应用
平面向量
2.重要公式、定理
①.平面向量基本定理：如果1
e，
2
e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11
e+λ2
2
e.
②. 向量共线的两种判定方法：a
∥b
(0
≠
b)0
1
2
2
1
=
-
=
⇔
y
x
y
x
b
aλ
③. a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =
2
2y
x+
④.若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则
−→
−
AB=2
2
1
2
2
1
)
(
)
(y
y
x
x-
+
-
⑤.cos =
|
|
|
|b
a
b
a
∙
∙
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
y
y
x
x
+
+
+
=
⑥.a b a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）
3.学习本章应注意的问题及高考展望
①.在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。

②.向量是数形结合的载体，在本章的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段。

③.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。

④.以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键. [第二部分：基础测试]（供选用） 教材P125—126第1、2、3题
[第三部分：应用举例]（供选用）
例1.如图△ABC 中，−→
−AB = c ，−→−BC = a ，−→−CA = b ，则下列推导
不正确的是……………（ ）
A ．若a •b < 0，则△ABC 为钝角三角形。

B ．若a •b = 0，则△AB
C 为直角三角形。

C ．若a •b = b c ，则△ABC 为等腰三角形。

D ．若c • (a + b + c) = 0，则△ABC 为正三角形。

解：A ．a •b = |a||b|co s < 0，则cos < 0， 为钝角 B ．显然成立
C ．由题设：|a |cosC = |c|cosA ，即a 、c 在b 上的投影相等
D ．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC 为正三角形 例2.设非零向量a 、b 、c 、d ，满足d = (a •c) b (a •b)c ，求证：a d 证：内积a •c 与a •b 均为实数，
∴a •d = a • [(a •c) b (a •b)c] = a • [(a •c) b] a • [(a •b)c] = (a •b)(a •c) (a •c)(a •b) = 0 ∴a d
例3.已知|a| = 3，b = (1,2)，且a ∥b ，求a 的坐标。

解：设a = (x,y) ∵|a| = 3 ∴
3
22=+y x …①
又：∵a ∥b ∴1•y 2•x = 0 …②
解之：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==556553y x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=556553y x 即：a = (556,553) 或a = (
556,553--) 例4.已知a 、b 都是非零向量， a + 3b 与7a 5b 垂直，且a 4b 与7a 2b 垂直，
A C a
c b
求a 与b 的夹角。

解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16a •b 15b2 = 0 ① (a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30a •b + 8b2 = 0 ② 两式相减：2a b = b2 代入①或②得：a2 = b2
设a 、b 的夹角为 ，则cos =
21
||2||||2
2==∙b b b a b a ∴ = 60 例5.已知：|a| =2，|b| = 3，a 与b 夹角为45 ，求使a+λb 与λa+b 夹角为锐角的λ的取值范围。

解：由题设：a •b = |a||b|cos = 3×2×22
= 3
(a+λb) (λa+b) =λ|a|2 +λ|b|2 + (λ2 + 1)a •b = 3λ2 + 11λ + 3 ∵夹角为锐角 ∴必得3λ2 + 11λ + 3 > 0
∴
68511--<
λ或685
11+->
λ
例6.a 、b 为非零向量，当a + tb(t R)的模取最小值时，①求t 的值；②求证：b 与a +
tb 垂直
解：① |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t|a||b|
∴当t =
||||222
b b
a b b a ⋅-=∙-
时, |a + tb|最小 ② ∵b • (a + tb) = a •b
||||2
b b
a b ∙= 0 ∴b 与a + tb 垂直
例7.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

证：设−→
−AC = b ，−→
−CB = a ，则−→
−AD =−→−AC +−→
−CD = b+21a, −→
−−→−−→−+=CB EC EB =a +21b
∵A, G, D 共线，B, G, E 共线 ∴可设−→
−AG =λ−→
−AD ，−→−EG = μ−→
−EB ,
则−→
−AG =λ−→
−AD =λ(b+21a)=λb+21
λa,
−→
−EG = μ−→
−EB = μ(21b+a)=21
μb+μ
a,
C
∵−→
−−→
−−→
−=+AG EG AE 即：21b + (21μb+μa) =λb+21
λa
∴(μ 21λ)a + (21μ λ+21
)b = 0 ∵a, b 不平行，
∴⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧
=+-=-31320212
1021μλλμλμ −→−AG =32−→
−AD 例8.设−→
−AB =22(a+5b)，−→−BC = 2a + 8b ，−→
−CD =3(a b)，求证：A,B,D 三点共线。

证：−→
−AD =−→
−AB +−→−BC +−→
−CD =22
(a+5b) + ( 2a + 8b) + 3(a b)
= (1+22)a + (5 + 522)b = (1+22
)(a + 5b) 而−→
−AB =22
(a+5b) ∴−→
−AD = (2+ 1)
又∵−→−AD , −→
−AB 有公共点 ∴A,B,D 三点共线
例9.已知：A(1, 2)，B(2,1)，C(3,2)，D( 2,3)，①求证：A ，B ，C 三点不共线 ②以−→
−AB 、−→−AC 为一组基底来表示−→−AD +−→−BD +−→
−CD
解：①∵−→
−AB =(1,3), −→−AC =(2,4) ∵1×4 3×2 0 ∴−→−AB −→
−AC ∴A ，B ，C 三点不共线
②−→
−AD +−→−BD +−→
−CD =( 3,5)+( 4,2)+( 5,1) = ( 12,8) 设：−→
−AD +−→
−BD +−→
−CD = m + n 即：( 12,8) = (m + 2n, 3m + 4n)
∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨
⎧+=+=-2232
438212n m n m n m ∴−→−AD +−→−BD +−→−CD = 32−→−AB 22−→−AC
例10.求证：|a + b |≤|a| + |b|
证：|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a •b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos ≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| = ( |a| + |b| )2 即：|a + b |≤|a| + |b|
例11.设作用于同一点O 的三个力F1、F2、F3处于平衡状态，如果| F1|=1，|F2|=2，F1
与F2的夹角为32π
.求①.F3的大小；②.∠F3OF2的大小.
解：①F1、F2、F3三个力处于平衡状态，故F1+F2+F3=0，即F3= -（F1+F2） ∴| F3|=| F1+F2|=
2
12
2212212)(F F F F F F ∙++=+
332cos
21241=⨯⨯++=π
②如图：以F2所在直线为x 轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系.将向量F1、F3正交分解，设∠F3OM=θ 由受力平衡知
⎪⎩⎪⎨⎧
-==-+)
232cos(||sin ||||)3
2cos(||cos ||13213
ππθππθF F F F F
解之得
6π
θ=
于是
∠F3OF2
656
ππ
π=
-
=
作业设计：
1、写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有何计划.
2、完成教材P126---127中A 组习题第4---14题.
3、（选做）复习题2的B 、C 组试题. [课后反思]。