均值不等式

例3.求函数 y
y x2 5 x 4
2
x2 5 x 4
2
2
的最小值.
x 4
2

2
x2 4 1 x 4
2

1 x 4
2
2
当且仅当
x 4
1 x 4
时取等号
错解！
1 令y f (t ) t , (t 2) 任取2 t1 t2， t 1 1 则f (t1 ) f (t 2 ) (t1 ) (t 2 ) t1 t2 1 1 t2 t1 (t1 t 2 ) ( ) (t1 t2 ) t1t2 t1 t 2
5 x 1 5 x1
积为定，和最小
练习3
1 1 此时x=______. 0 1）. 函数 y x (x ≥ 0)的最小值为______, x 1 1 1 1 y x ( 1 2 x ), ( 0 x ) 的最大值为______, 4 8 此时x=______. 2）. 函数
例3.求函数 y
依据:
x2 5 x 4
2
的最小值.
1 利用函数 y t (t≥2)的单调性. t
t [2,)时，单调递增
三不等, 常用单调性
正解:
y
x2 5 x 4
2

x2 4 1 x 4
2

x 4
2
1 x2 4
1 则y t (t 2) 令t x 4 t 5 当t 2,即 : x 0时, ymin 2
12 12 2 3 x的最小值为_______; 练习2若x>0,f(x)= 此时x=_______. x 12 -12 此时x=_______. -2 3 x的最大值为_______; 若x<0,f(x)= x
一不正, 常用a b 2 ab (a 0, b 0)
一正 解:因为x>0,
2 2
2
解:
1 x 1 1 ≥2-1=1 x1 1 x 1 即x 0 时取“=”号 当且仅当 x1 1 1 2 x (1 2 x) 2 1 y x(1 2 x) 2 x (1 2 x ) [ ] 2 2 2 8
y x
1 x1
1 当且仅当 2 x 1 2 x，即 x 时取“ ” 4
2
2 思考 求函数y= sin x sin x
( 0 x

2
)的最小值
四、课堂总结
1.两个公式
(当且仅当a=b时取“=”号)
ab ②如果a,b是正数, 那么 ab 2
①如果a,b∈R,那么a2 +b2≥2ab
2.应用均值不等式求最值的问题 (1)利用均值不等式求函数最值的步骤:
一正,二定,三相等
当且仅当
12 二定 12 f (x) 3x 2 3x 12 x x
12 3x即x 2 时取等号, x
三相等
即当x=2时函数的最小值为12.
x 2 3x 1 ( x 1) 例2.求函数 f ( x)，配凑，找定值
x 2 3x 1 (x 1)2 5(x 1) 5 f (x) x1 x1
（当且仅当a=b时取“=”号） 几何 2、均值不等式： 平均
算术平 均数
（当且仅当a=b时取“=”号）
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
ab ab 2

a, b R

3、用均值不等式求最值要把好三关：
一正： a，b为正数。
二定： 研究a，b的和时，需要积为定值； （积为定和最小）a b 2
1 利用函数 y t (t≥2)的单调性. t
2 t1 t2
1 ( t t )( t t 1 ) 1 2 1 2 (t1 t2 )(1 ) <0 t1t 2 t1t 2
t1 t2 0
t1 t2 1 0
1 f (t1 ) f (t2 ) 即y f (t ) t 在[ 2, )单调增 t
ab
2
研究a，b的积时，需要和为定值。
看等号能否成立。 三相等：
ab a b ab （和为定积最大） 2 2
2
2
三条件缺一不可
练习1、
判断正误：
b a b a 2 2 a b a b b a b a 2 2 a b a b
1、若a，b为正实数，则
1 例1、求函数 y x x 的值域 . 1 1 y x 2 x 2 y 2, x x
错！
正解:
1 1 (1)当x 0时, x 2 x 2 x x
1 x 2 y (,2] [2,). x
1 1 1 ( 2)当x 0时, x, R , x 2 ( x) ( ) 2 x x x
焦作市外国语中学 韩志锋
2019年2月16日星期六
一．复习目标：
1．掌握均值定理，并会简单运用；
2．利用不等式求最值时要注意到“一正”， “二 定”，“三相等”；
3. 加强运算变换能力,培养思维的灵活性和 严密性.
二．知识再现：
1、基本不等式：
2 2
a b 2ab

数
a, b R


2、若a，b为实数，则
3、若x，y为正实数，则 lg x lg y 2 lg x lg y 填空 4、都已知x,y是正数,如果积xy是定值P,那么当 2 P）；如果和x+y x=y时,和x+y有最小值 （ 是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值（1 S 2 ）。
4
三、知识应用与解题研究
(2)如果不能同时满足上述三个条件，则需要转 变形式创造条件 来求函数的最值。
一不正, 常用a b 2 ab (a 0, b 0)
二不定, 需变形
三不等, 常用单调性
作业：
1、对于正数a、b，证明下列结论
成立： a b ab 2 ab 1 1 2 2 a b 2、名师领航113页习题