【精品高考数学试卷】2019西安市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)+答案

2019年陕西省西安市陕西高考数学模拟试卷（文科）（4月份）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若集合2{|}M y y x -==，{|1}P y y x ==-，那么(M P =I ) A ．(1,)+∞
B ．[1，)+∞
C ．(0,)+∞
D ．[0，)+∞
2．（5分）欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（5分）下列关于命题的说法错误的是( )
A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”
B ．已知函数()f x 在区间[a ，]b 上的图象是连续不断的，则命题“若f （a ）f （b ）0<，则()f x 在区间(,)a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题
C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++…”
D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则0()0f x '=”的逆命题为真命题 4．（5分）函数2||||
x ln x y x =的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（5分）已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，2AB =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．
32
π
B ．3π
C ．
23
π D ．2π
6．（5分）设函数()(0,1)x y f x a a a ==>≠，1()y f x -=表示()f x 的反函数，定义如框图表示的运算，若输入2x =-，输出1
4
y =
；当输出3y =-时，则输入(x = )
A ．8
B ．18
C ．6
D ．
16
7．（5分）已知(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，若1AC BC =-u u u r u u u r g ，则sin()4
π
α+的值为(
) A ．
23
B ．
23
C ．
22
D ．
12
8．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．
7
3
B ．
83π
- C ．83
D ．
73
π
- 9．（5分）若实数x 、y 满足221x y +=，则x y +的取值范围是( )
A ．(-∞，2]-
B ．[0，2]
C ．[2-，)+∞
D ．[2-，0]
10．（5分）过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若12
AF FB =u u u r u u u r
，则||(AB =
)
A ．9
B ．72
C ．
92 D ．36 11．（5分）已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且1
2
OA OB =-u u u r u u u r g ．3C π∠=，从圆O 内随机取
一个点M ，若点M 取自ABC ∆
，则ABC ∆的形状为的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
12．（5分）定义在R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x +'>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．(0,)+∞
B ．(-∞，0)(3⋃，)+∞
C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞
D ．(3,)+∞
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中相应的横线上) 13．（5分）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．
14．（5分）设变量x ，y 满足约束条件03434x x y x y ⎧⎪
+⎨⎪+⎩
…
…„，则目标函数2z x y =+的最小值为 ．
15．（5分）记n S 为数列{}n a 的前项和，若21n n S a =+，则10S = ． 16．（5分）设函数266,0
()34,
x x x f x x x ⎧-+=⎨
+<⎩…，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是 ．
三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答)(一)必考题：共60分．
17．（12分）在ABC ∆中，2A B =，1
sin 3
B =，23AB =．
（1）求sin A ，sin C ； （2）求CA CB u u u r u u u r
g 的值．
18．（12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．
（1）求该组织的人数；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．
19．（12分）如图，三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为边长为2的正三角形，且90BAC ∠=︒，O 、D 分别为BC 、AB 的中点．
（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求四棱锥S ACOD -的体积．
20．（12分）已知1F 、2F 分别是椭圆22:14
x C y +=的左、右焦点．
（1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，125
4
PF PF =-u u u r u u u u r g ，求点P 的坐标；
（2）若直线l 与圆221
:4
O x y +=相切，交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在这样的直线l ，使得OA OB ⊥？
21．（12分）已知函数2()2()x f x e x a b x R =-++∈的图象在0x =处的切线为y bx =．(e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）当x R ∈时，求证：2()f x x x -+…；
（Ⅲ）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．[坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线14cos :(3sin x t C t y t =-+⎧⎨=+⎩为参数），2:(sin x C y θθθ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩
为参数） （Ⅰ）将1C ，2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数为2
t π
=
，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线
33:(2x t
C t y t =+⎧⎨=-+⎩
为参数）距离的最小值．
[不等式选讲]
23．已知a ，b 均为实数，且|34|10a b +=． （Ⅰ）求22a b +的最小值；
（Ⅱ）若22|3||2|x x a b +--+„对任意的a 、b R ∈恒成立，求实数x 的取值范围．
2019年陕西省西安市陕西高考数学模拟试卷（文科）（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【解答】解：Q 2
1
{|}{|0}M y y y y x
==
=>，{|{|0}P y y y y ===…， {|0}(0,)M P y y ∴=>=+∞I ，
故选：C ．
【解答】解：2cos2sin 2i e i =+， 2(,)2
π
π∈Q ，
cos2(1,0)∴∈-，sin 2(0,1)∈，
2i e ∴表示的复数在复平面中位于第二象限．
故选：B ．
【解答】解：命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”，故A 正确；
已知函数()f x 在区间[a ，]b 上的图象是连续不断的，
命题“若f （a ）f （b ）0<，则()f x 在区间(,)a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题， 比如2()f x x =在(1,1)-内有一个零点0，但(1)f f -（1）0>，故B 正确；
命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++…”，故C 正确； “若0x 为()y f x =的极值点，则0()0f x '=”的逆命题为假命题，比如3()f x x =， 有(0)0f '=，但0x =不为()f x 的极值点，故D 错误． 故选：D ．
【解答】解：当0x >时，y xlnx =，1y lnx '=+，
即10x e <<时，函数y 单调递减，当1
x e
>，函数y 单调递增，
因为函数y 为偶函数， 故选：D ．
【解答】解：由题意，AC 为截面圆的直径，AC 设球心到平面ABC 的距离为d ，球的半径为R ，
1PA PB ==Q ，2AB =，PA PB ∴⊥，
Q 平面PAB ⊥平面ABC ，P ∴到平面ABC 的距离为
2． 由勾股定理可得22222312()()()2R d d =+=+-， 0d ∴=，234
R =
， ∴球的表面积为243R ππ=．
故选：B ．
【解答】解：由图可知，该程序的作用是计算分段函1(),0
(),0f x x y f x x -⎧=⎨>⎩…的函数值．
Q 输入2x =-，输出1
4
y =
， 21
4
a -∴=
，2a = 当输出3y =-时，
只有：131
()3(3)28
f x f x x --=-⇔-=⇒==．
故选：B ．
【解答】解：Q (cos 3,sin )AC αα=-u u u r ，(cos ,sin 3)BC αα=-u u u r
∴(cos 3)cos sin (sin 3)1AC BC αααα=-+-=-u u u r u u u r
g g
得22cos sin 3(cos sin )1αααα+-+=-
∴2sin cos 3
αα+=
， 故2222
sin()cos )43πααα+=+==
故选：B ．
【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P ABCD -中挖去一个半圆锥， 四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2， 圆锥的底面半径是1、高是2，
∴所求的体积21118222123233
V π
π-=⨯⨯⨯-
⨯⨯⨯=
， 故选：B ．
【解答】解：由实数x 、y 满足221x y +=，根据基本不等式得， 12222x y x y +=+…2x y +-„．
故选：A ．
【解答】解：如图，点B 在第一象限．过B 、A 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D 、
E ，
过B 作EA 的垂线，垂足为C ，则四边形BDEC 为矩形．由抛物线定义可知||||BD BF =，||||AE AF =，
又Q 12
AF FB =u u u r u u u r
，||||2||BD CE AE ∴==，即A 为CE 中点，
||3||BA AC ∴=，在Rt BAC ∆中，||22|BC AC =，2AB k =(1,0)F ，
AB 的方程为：2(1)y x =-，代入抛物线方程可得：22520x x -+=，125
2
x x +=
， 则1259
||2222
AB x x =++=+=． 故选：C ．
【解答】解：Q 1
2OA OB =-u u u r u u u r g ，圆的半径为1，
1cos 2
AOB ∴∠=-
又0AOB π<∠<， 故23
AOB π∠=
， 又AOB ∆为等腰三角形， 故3AB
从圆O 内随机取一个点，取自ABC ∆33
， 即
33
ABC S S ∆=
圆， ∴33
ABC S ∆=
， 设BC a =，AC b =．3
C π
=
Q ，
∴
133
sin 2ab C =
得3ab =，⋯①
由2222cos 3AB a b ab C =+-=，得223a b ab +-=，226a b +=⋯② 联立①②解得3a b == ABC ∴∆为等边三角形．
故选：B ．
【解答】解：设()()x x g x e f x e =-，()x R ∈， 则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-， ()()1f x f x +'>Q ， ()()10f x f x ∴+'->， ()0g x ∴'>，
()y g x ∴=在定义域上单调递增，
()3x x e f x e >+Q ， ()3g x ∴>，
又00(0)(0)413g e f e ==-=-=Q ， ()(0)g x g ∴>， 0x ∴>
故选：A ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中相应的横线上) 【解答】解：由题意，二年级女学生数为20000.19380⨯=人，
所以三年级的学生数为；2000373377380370500----=人，所占比例为5001
20004
= 所以应在三年级抽取的学生人数为1
64164
⨯= 故答案为：16
【解答】解：画出不等式组03434x x y x y ⎧⎪
+⎨⎪+⎩
……
„，表示的可行域，由图可知， 当直线1122y x z =-+过4
(0,)3A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为83．
故答案为：8
3
．
【解答】解：由于21n n S a =+，① 当1n =时， 解得：11a =-．
当2n …时，1121n n S a --=+，② ①-②得：122n n n a a a -=-， 所以：
1
2n
n a a -=（常数）
， 故：数列{}n a 是以1-为首项，2为公比的等比数列． 所以：12n n a -=-．
所以：10101(21)
102321
S --==--．
故答案为：1023-
【解答】解：函数266,
()34,
x x x f x x x ⎧-+=⎨
+<⎩…的图象如下图所示：
若存在互不相的实数1x ，2x ，3x 满足123()()()f x f x f x k ===， 则(3,4)k ∈-， 不妨令123x x x <<，
则17
(3x ∈-，0)，236x x +=，
故12311
(3x x x ++∈，6)，
故答案为：11
(3
，6)
三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答)(一)必考题：共60分． 【解答】解：（1）1
sin 3
B =Q ，B 为锐角， 222
cos 1B sin B ∴-=
， 2A B =Q ，
12242
sin sin 22sin cos 23A B B B ∴===⨯，
22817
cos cos2cos sin 999
A B B B ==-=-=，
则42227123
sin sin()sin cos cos sin 9327
C A B A B A B =+=+=
+⨯=
； （2）由正弦定理sin sin sin AB AC BC C B A ==
，23AB =，23sin 27C =，1
sin 3
B =，7sin 9A =， sin 9sin AB B A
C C ∴=
=，sin 122sin AB A
BC C
==，
又71cos cos()cos cos sin sin 93C A B A B A B =-+=-+=-=
∴cos 9(80CA CB CA CB C =⨯⨯=⨯=-u u u r u u u r g ．
【解答】解：（1）由题意：第2组的人数：3550.07n =⨯g ，得到：100n =， 故该组织有100人．⋯（3分） （2）第3组的人数为0.310030⨯=， 第4组的人数为0.210020⨯=， 第5组的人数为0.110010⨯=． Q 第3，4，5组共有60名志愿者，
∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：
第3组：
306360⨯=； 第4组：206260⨯=； 第5组：10
6160
⨯=． ∴应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．⋯（6分）
（3）记第3组的3名志愿者为1A ，2A ，3A ，第4组的2名志愿者为12B B ，第5组的1名志愿者为1C ．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有： 1(A ，2)A ，1(A ，3)A ，1(A ，1)B ，1(A ，2)B ，1(A ，1)C ， 2(A ，3)A ，2(A ，1)B ，2(A ，2)B ，2(A ，1)C ，3(A ，1)B ，
3(A ，2)B ，3(A ，1)C ，1(B ，2)B ，1(B ，1)C ，2(B ，1)C ，共有15种．
其中第3组的3名志愿者1A ，2A ，3A ，至少有一名志愿者被抽中的有： 1(A ，2)A ，1(A ，3)A ，1(A ，1)B ，1(A ，2)B ，1(A ，1)C ，2(A ，3)A ，
2(A ，1)B ，2(A ，2)B ，2(A ，1)C ，3(A ，1)B ，3(A ，2)B ，3(A ，1)C ，共有12种，
则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为124
155
p ==． ⋯（12分） 【解答】（本题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：由题设AB AC SB SC SA ====， 连结OA ，ABC ∆为等腰直角三角形，
所以OA OB OC ===
=AO BC ⊥， 又SBC ∆为等腰三角形，
故SO BC ⊥，且SO 从而222OA SO SA +=．
所以SOA ∆为直角三角形，SO AO ⊥．
又AO BO O
=
I．所以SO⊥平面ABC．⋯（6分）（Ⅱ）BO CO
=
Q，BD AD
=，
//
AC DO
∴，DO AD
∴⊥，
1
1
2
DO AC
==．
113
()(12)1
222
ACOD
S OD AC AD
=⨯+⨯=⨯+⨯=，
由（Ⅰ）知SO⊥平面ABC，
∴
1132
2
332
S ACOD ACOD
V S SO
-
==⨯⨯=
g．⋯（12分）
【解答】解：（1）由椭圆方程为
2
21
4
x
y
+=，可知：2
a=，1
b=，3
c=，1
(3
F
∴-0)，
2
(3
F0)，设(,)
P x y，(,0)
x y>，
则22
12
5
(3,)(3,)3
4
PF PF x y x y x y
=---=+-=-
u u u r u u u u r
g，
又
2
21
4
x
y
+=，联立解得：
1
3
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
，
3
P
∴．
（2）设
1
(A x，
1
)
y，
2
(B x，
2
)
y．
①若l的斜率不存在时，
1
:
2
l x=±，代入椭圆方程得：2
15
16
y=，
容易得出
1212
11511
41616
OA OB x x y y
=+=-=-≠
u u u r u u u r
g，此时OA OB
⊥不成立．
②若l的斜率存在时，设:l y kx m
=+，
2
1
2
1
k
=
+
，即22
14
k m
+=．
由
22
44
y kx m
x y
=+
⎧
⎨
+=
⎩
，可得：222
(41)84(1)0
k x kmx m
+++-=，
则
122
8
41
km
x x
k
+=-
+
，
2
122
4(1)
41
m
x x
k
-
=
+
g．
要OA OB
⊥，则0
OA OB=
u u u r u u u r
g，
即2212121212()()()(1)0x x kx m kx m km x x k x x m +++=++++=g g ， 即225440m k --=，又2214k m +=．
210k ∴+=，此方程无实解，此时OA OB ⊥不成立．
综上，不存在这样的直线l ，使得OA OB ⊥．
【解答】（Ⅰ）解：2()2x f x e x a b =-++，()2x f x e x '=-， 由题意得(0)120(0)1f a b f b =++=⎧⎨'==⎩
，即1a =-，1b =；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，2()1x f x e x =--． 令2()()1x x f x x x e x ϕ=+-=--，()1x x e ϕ'=-， 由()0x ϕ'=，得0x =．
当(,0)x ∈-∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增． ()x ϕ∴的最小值为(0)0ϕ=，从而2()f x x x -+…；
（Ⅲ）解：()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，等价于()
f x k x
>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立． 令()
()f x g x x
=
，0x >． ∴2222
()()(2)(1)(1)(1)
()x x x xf x f x x e x e x x e x g x x x x '--------'===
． 由（Ⅱ）可知，当(0,)x ∈+∞时，10x e x -->恒成立， 令()0g x '>，得1x >，()0g x '<，得01x <<，
()g x ∴的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，()min g x g =（1）2e =-． 2k e ∴<-．
即实数k 的取值范围为(,2)e -∞-．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．[坐标系与参数方程]
【解答】解：（Ⅰ）2
2
1:(4)(3)1C x y ++-=，2
22:13
x C y +=
1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆
2C 为中心是坐标原点，焦点在x
1的椭圆
（Ⅱ）当2
t π
=
时，(4,4)P -
，Q θ，sin )θ
，故(2M θ-，1
2sin )2
θ+ 3C 为直线50x y --=，M 到3C 的距离
1
sin 9|
sin()9|3d θθπθ--=
-+， 从而当sin()13π
θ-=-时，d
取得最小值
[不等式选讲]
【解答】解：()|34|10I a b +=Q ，
2222222100(34)(34)()25()a b a b a b ∴=+++=+„ 224a b ∴+…，
当且仅当34a b =即6585a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
或65
85a b ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时取等号
即22a b +的最小值4
()II 由()I 知22|3||2|x x a b +--+„对任意的a 、b R ∈恒成立， |3||2|4x x ∴+--„，
∴354x <-⎧⎨
-⎩„或32214x x -<⎧⎨+⎩„„或254x ⎧⎨⎩
…
„ 解可得，3x <-或3
32
x
-剟 ∴实数x 的取值范围(-∞，3]2。