高中物理 第一章 电磁感应 1.5 电磁感应中的能量转化与守恒学案 教科版选修3-2

5 电磁感应中的能量转化与守恒
[学习目标] 1.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法.2.理解电磁感应过程中能量的转化情况，能用能量的观点分析和解决电磁感应问题.
1.在导线切割磁感线运动产生感应电流时，电路中的电能来源于机械能.机械能借助于电磁感应实现了向电能的转化.
2.在电磁感应中，产生的电能是通过外力克服安培力做功转化而来的，外力克服安培力做了多少功，就有多少电能产生；而这些电能又通过感应电流做功，转化为其他形式的能量.
一、电磁感应中的能量转化
[导学探究] (1)如图1所示，处在匀强磁场中的水平导轨上有一根与光滑导轨接触良好的可自由滑动的导体棒ab，现导体棒ab具有向右的初速度v，则：
图1
①导体棒中的感应电流方向如何？
②ab受到的安培力的方向如何？
③ab的速度如何变化？
④电路中的电能是什么能转化过来的？
(2)如(1)题图所示，设ab长为L，匀强磁场的磁感应强度为B，闭合电路的总电阻为R，导体棒在外力的作用下以速度v做匀速直线运动，求在t时间内，外力所做的功W外和感应电流的电功W电.
答案(1)①由右手定则可确定，在ab内产生由a向b的感应电流.
②由左手定则可知，磁场对导体棒ab的安培力是向左的.
③安培力与速度方向相反，则安培力阻碍导体棒的运动，导体棒的速度逐渐减小到零. ④导体棒的机械能.
(2)导体棒产生的感应电动势E ＝BLv ，
电路中感应电流I ＝E R ＝BLv R
磁场对这个电流的作用力：F 安＝BIL ＝B 2L 2v R
保持匀速运动所需外力F 外＝F 安＝B 2L 2v R
在t 时间内，外力所做的功W 外＝F 外vt ＝B 2L 2v 2
R
t 此时间内，感应电流的电功为W 电＝I 2
Rt ＝B 2L 2v 2
R t [知识深化]
1.电磁感应中能量的转化
电磁感应过程的实质是不同形式的能量相互转化的过程，其能量转化方式为：
2.求解电磁感应现象中能量问题的一般思路
(1)确定回路，分清电源和外电路.
(2)分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化.如：
①有滑动摩擦力做功，必有内能产生；
②有重力做功，重力势能必然发生变化；
③克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能；如果安培力做正功，就是电能转化为其他形式的能.
(3)列有关能量的关系式.
例1 如图2所示，MN 和PQ 是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L ，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接.右端接一个阻值为R 的定值电阻.平直部分导轨左边区域有宽度为d 、方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场.质量为m 、接入电路的电阻也为R 的金属棒从高度为h 处静止释放，到达磁场右边界处恰好停止.已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好.则金属棒穿过磁场区域的过程中( )
图2
A.流过金属棒的最大电流为Bd 2gh 2R
B.通过金属棒的电荷量为BdL R
C.克服安培力所做的功为mgh
D.金属棒产生的焦耳热为12
mg (h －μd ) 答案 D
解析 金属棒沿弯曲部分下滑过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgh ＝12
mv 2，金属棒到达平直部分时的速度v ＝2gh ，金属棒到达平直部分后做减速运动，刚到达平直部分时的速度最大，最大感应电动势E ＝BLv ，最大感应电流I ＝E
R ＋R ＝BL 2gh 2R ，故A 错误；通过金属棒的电荷量q ＝I Δt ＝ΔΦ2R ＝BdL 2R
，故B 错误；金属棒在整个运动过程中，由动能定理得：mgh －W 安－μmgd ＝0－0，克服安培力做功：W 安＝mgh －μmgd ，故C 错误；克服安培力做的功转化为焦耳热，定值电阻与金属棒的电阻相等，通过它们的电流相等，则金属棒产生的焦
耳热：Q ′＝12Q ＝12W 安＝12
mg (h －μd )，故D 正确.
电磁感应中焦耳热的计算技巧：
(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q ＝I 2Rt .
(2)感应电流变化，可用以下方法分析：
①利用动能定理，求出克服安培力做的功W
安，产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q
＝W 安.
②利用能量守恒，即感应电流产生的焦耳热等于其他形式能量的减少量.
例2 如图3所示，足够长的平行光滑U 形导轨倾斜放置，所在平面的倾角θ＝37°，导轨间的距离L ＝1.0 m ，下端连接R ＝1.6 Ω的电阻，导轨电阻不计，所在空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B ＝1.0 T.质量m ＝0.5 kg 、电阻r ＝0.4 Ω的金属棒ab 垂直置于导轨上，现用沿导轨平面且垂直于金属棒、大小为F ＝5.0 N 的恒力使金属棒ab 从静止开始沿导轨向上滑行，当金属棒滑行s ＝2.8 m 后速度保持不变.求：(sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g ＝10 m/s 2)
图3
(1)金属棒匀速运动时的速度大小v ；
(2)金属棒从静止到刚开始匀速运动的过程中，电阻R 上产生的热量Q R .
答案 (1)4 m/s (2)1.28 J
解析 (1)金属棒匀速运动时产生的感应电流为I ＝BLv R ＋r 由平衡条件有F ＝mg sin θ＋BIL
代入数据解得v ＝4 m/s.
(2)设整个电路中产生的热量为Q ，由能量守恒定律有 Q ＝Fs －mgs ·sin θ－12mv 2
而Q R ＝R
R ＋r Q ，代入数据解得Q R ＝1.28 J.
二、电磁感应中的动力学问题
1.电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是：
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向.
(2)用闭合电路欧姆定律求回路中感应电流的大小和方向.
(3)分析研究导体受力情况(包括安培力).
(4)列动力学方程或平衡方程求解.
2.两种状态处理
(1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态.
处理方法：根据平衡条件——合力等于零列式分析.
(2)导体处于非平衡状态——加速度不为零.
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析.
例3 如图4所示，空间存在B ＝0.5 T 、方向竖直向下的匀强磁场，MN 、PQ 是水平放置的平行长直导轨，其间距L ＝0.2 m ，电阻R ＝0.3 Ω接在导轨一端，ab 是跨接在导轨上质量m ＝0.1 kg 、接入电路的电阻r ＝0.1 Ω的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始，对ab 棒施加一个大小为F ＝0.45 N 、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，整个过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，求：(g ＝10 m/s 2
)
图4
(1)导体棒所能达到的最大速度的大小；
(2)试定性画出导体棒运动的速度－时间图像.
答案 (1)10 m/s (2)见解析图
解析 (1)导体棒切割磁感线运动，产生的感应电动势：
E ＝BLv ①
回路中的感应电流I ＝E R ＋r ②
导体棒受到的安培力F 安＝BIL ③
导体棒运动过程中受到拉力F 、安培力F 安和摩擦力f 的作用，根据牛顿第二定律：
F －μmg －F 安＝ma ④
由①②③④得：F －μmg －B 2L 2v R ＋r
＝ma ⑤ 由⑤可知，随着速度的增大，安培力增大，加速度a 减小，当加速度a 减小到0时，速度达到最大.
此时有F －μmg －B 2L 2v m R ＋r
＝0⑥ 可得：v m ＝(F －μmg )(R ＋r )B 2L
2＝10 m/s⑦ (2)由(1)中分析可知，导体棒运动的速度－时间图像如图所示.
电磁感应动力学问题中，要把握好受力情况、运动情况的动态分析.
基本思路是：导体受外力运动―――→E ＝BLv 产生感应电动势――――→E
I R r =
+产生感应电流―――→F ＝BIL 导体受安
培力―→合外力变化―――→F 合＝ma 加速度变化―→速度变化―→感应电动势变化……→a ＝0，v 达到
最大值.
例4 如图5甲所示，两根足够长的直金属导轨MN 、PQ 平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L ，M 、P 两点间接有阻值为R 的电阻，一根质量为m 的均匀直金属杆ab 放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦.(重力加速度为g )
图5
(1)由b 向a 方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab 杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
(2)在加速下滑过程中，当ab 杆的速度大小为v 时，求此时ab 杆中的电流及其加速度的大小；
(3)求在下滑过程中，ab 杆可以达到的速度最大值.
答案 (1)见解析图 (2)BLv R g sin θ－B 2L 2v mR (3)mgR sin θB 2L 2
解析 (1)如图所示，ab 杆受重力mg ，方向竖直向下；支持力N ，方向垂直于斜面向上；安培力F 安，方向沿导轨向上.
(2)当ab 杆的速度大小为v 时，感应电动势E ＝BLv ，
此时电路中的电流I ＝E R ＝BLv R
ab 杆受到安培力F 安＝BIL ＝B 2L 2v R
根据牛顿第二定律，有
mg sin θ－F 安＝mg sin θ－B 2L 2v R
＝ma 则a ＝g sin θ－B 2L 2v mR
. (3)当a ＝0时，ab 杆有最大速度v m ，即mg sin θ＝B 2L 2v m R ，解得v m ＝mgR sin θB 2L 2
.
电磁感应中动力学问题的解题技巧：
(1)受力分析时，要把立体图转换为平面图，同时标明电流方向及磁场B 的方向，以便准确地画出安培力的方向.
(2)要特别注意安培力的大小和方向都有可能变化.
(3)根据牛顿第二定律分析a 的变化情况，以求出稳定状态的速度.
(4)列出稳定状态下的受力平衡方程往往是解题的突破口.
1.(电磁感应中的动力学问题)如图6所示，在一匀强磁场中有一U 形导线框abcd ，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R 为一电阻，ef 为垂直于ab 的一根导体杆，它可在ab 、cd 上无摩擦地滑动.杆ef 及线框中导线的电阻都可忽略不计.开始时，给ef 一个向右的初速度，则( )
图6
A.ef 将减速向右运动，但不是匀减速
B.ef 将匀减速向右运动，最后停止
C.ef 将匀速向右运动
D.ef 将往返运动
答案 A
解析 ef 向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减
速运动，直到停止，由F ＝BIl ＝B 2l 2v R
＝ma 知，ef 做的是加速度减小的减速运动，故A 正确. 2.(电磁感应中的动力学问题)如图7所示，MN 和PQ 是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计，ab 是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆，开始时，将开关S 断开，让杆ab 由静止开始自由下落，过段时间后，再将S 闭合，若从
S 闭合开始计时，则金属杆ab 的速度v 随时间t 变化的图像不可能是下图中的( )
图7
答案 B
解析 S 闭合时，若金属杆受到的安培力B 2l 2v R ＞mg ，ab 杆先减速再匀速，D 项有可能；若B 2l 2v R
＝mg ，ab 杆匀速运动，A 项有可能；若B 2l 2v R
＜mg ，ab 杆先加速再匀速，C 项有可能；由于v 变化，mg －B 2l 2v R
＝ma 中a 不恒定，故B 项不可能. 3.(电磁感应中的能量问题)(多选)如图8所示，纸面内有a 、b 两个用同样的导线制成的闭合正方形线圈用同样的导线制成，匝数均为10匝，边长l a ＝3l b ，图示区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间均匀增大，不考虑线圈之间的相互影响，则( )
图8
A.两线圈内产生顺时针方向的感应电流
B.a 、b 线圈中感应电动势之比为9∶1
C.a 、b 线圈中感应电流之比为3∶1
D.a 、b 线圈中电功率之比为3∶1
答案 BC
解析 根据楞次定律可知，两线圈内均产生逆时针方向的感应电流，选项A 错误；因磁感应
强度随时间均匀增大，设ΔB Δt ＝k ，根据法拉第电磁感应定律可得E ＝n ΔΦΔt ＝n ΔB Δt
l 2， 则E a E b ＝(31)2＝91，选项B 正确；根据I ＝E R ＝E ρ4nl S
＝n ΔB Δt l 2S 4ρnl ＝klS 4ρ可知，I ∝l ，故a 、b 线圈中
感应电流之比为3∶1，选项C正确；电功率P＝IE＝klS
4ρ
·n
ΔB
Δt
l2＝
nk2l3S
4ρ
，则P∝l3，故a、
b线圈中电功率之比为27∶1，选项D错误.
4.(电磁感应中的能量问题)(多选)如图9所示，两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计.斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上.质量为m、电阻可以忽略不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑，且上升的高度为h，在这一过程中 ( )
图9
A.作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零
B.作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上产生的焦耳热之和
C.恒力F与安培力的合力所做的功等于零
D.恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
答案AD
解析金属棒匀速上滑的过程中，对金属棒受力分析可知，有三个力对金属棒做功，恒力F 做正功，重力做负功，安培力阻碍相对运动，沿斜面向下，做负功.匀速运动时，金属棒所受合力为零，故合力做功为零，A正确；克服安培力做多少功就有多少其他形式的能转化为电路中的电能，电能又等于R上产生的焦耳热，故恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热，D正确.。