【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题二 保温训练卷(一

保温训练卷(一)
一、选择题
1．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i
D ．－3－5i
解析：选A 由z (2－i)＝11＋7i ，得z ＝11＋7i
2－i ＝
＋
＋
5
＝
15＋25i
5
＝3＋5i.
2．函数f (x )＝x 12
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的零点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：选B 画出函数y 1＝x 12
，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像(图略)，可知函数f (x )＝x 1
2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
有且
仅有一个零点．
3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则k 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞
C ．(－∞，－2)
D ．(－2,2)
解析：选B 向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则⎩⎪⎨
⎪⎧
a ·
b >0，a ≠λb
⇒
⎩⎪⎨⎪
⎧
2＋k >0，k ≠12
⇒k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞.
4．执行如图所示的程序框图，输入正整数n ＝8，m ＝4，那么输出的p 为( )
A ．1 680
B ．210
C ．8 400
D ．630
解析：选A 由题意得，k ＝1，p ＝5；k ＝2，p ＝30；k ＝3，p ＝210；k ＝4，p ＝1 680，
k ＝4＝m ，循环结束，故输出的p 为1 680.
5．已知某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示的图形，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )
A ．(1)(3)
B ．(1)(3)(4)
C ．(1)(2)(3)
D ．(1)(2)(3)(4)
解析：选A 上半部分是球，下半部分是正方体时，俯视图是(1)；上半部分是球，下半部分是圆柱时，俯视图是(3)；(2)中的正视图和侧视图不是轴对称图形；(4)作为俯视图的情况不存在．
6．函数f (x )＝ax 2
＋bx 与g (x )＝ax ＋b (a ≠0，b ≠0)的图像画在同一坐标系中，只可能是( )
解析：选B 若a >0，选项A 错误；若a <0，选项D 错误；函数f (x )＝ax 2
＋bx 图像必过原点，选项C 错误．
7．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间
是( )
A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z)
B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z) C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z) 解析：选D 因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.由－π2＋
2k π≤2x －
π6≤π2＋2k π，得－π6＋k π≤x ≤π
3
＋k π，即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z)．
8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，
x －1≤0，则目标函数z ＝2y －3x 的最大值为
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选C 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，
x －1≤0
所表示的平面区域如图，目标函数z ＝2y －
3x 的最大值即y ＝32x ＋z
2的纵截距的最大值，由图可知，当目标函数过点(0,2)时z 取得最大
值，z max ＝4.
二、填空题 9．曲线y ＝
x
x －2
在点(1，－1)处的切线方程为________________．
解析：由已知得y ′＝－2x －
2
，y ′|x ＝1＝－2，故所求切线的方程为y ＋1＝－2(x －1)，
即y ＝－2x ＋1.
答案：y ＝－2x ＋1
10．从⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
13，12，2，3中随机抽取一个数记为a ，从{－1,1，－2，2}中随机抽取一个数记
为b ，则函数y ＝a x
＋b 的图像经过第三象限的概率是________．
解析：由题意得，从集合
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
13，12，2，3中随机抽取一个数记为a ，则a 有4种情况；从
集合{－1,1，－2,2}中随机抽取一个数记为b ，则b 有4种情况，则函数f (x )＝a x
＋b 的所有情况有16种，函数f (x )＝a x
＋b 的图像经过第三象限的情况有：a ＝2，b ＝－1；a ＝2，b ＝－2；a ＝3，b ＝－1；a ＝3，b ＝－2；a ＝12，b ＝－2；a ＝1
3
，b ＝－2，共6种，所以函数
f (x )的图像经过第三象限的概率P ＝616＝38
.
答案：3
8
11．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2
＝1引切线，则切线长的最小值为________． 解析：显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心(3,0)到直线的距离d ＝42
＝
22，所以切线长的最小值为
2
2
－1＝7.
答案：7 三、解答题
12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .
(1)求角A 的大小；
(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．
解：(1)由A ＋C ＝π－B ，且A ，B ∈(0，π)，可得sin(A ＋C )＝sin B >0， ∴2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∴cos A ＝12，即A ＝π3
.
(2)由余弦定理，可得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， ∵A ＝π
3
，b ＝2，c ＝1，
∴a ＝3，于是b 2＝a 2＋c 2
，即B ＝π2.
在Rt △ABD 中，
AD ＝AB 2＋BD 2＝
12
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫322
＝72. 13．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前5项和为S 5＝35，a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 的前n 项和，问是否存在常数m ，使T n ＝m ⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤n n ＋1＋
n
n ＋
，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．
解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由S 5＝35，可得a 3＝7，即a 1＋2d ＝7. 又a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列， 所以82
＝(8－2d )(8＋4d )， 解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝2n ＋1. (2)S n ＝n (n ＋2)，1
S n
＝
1n n ＋
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋2. 所以T n ＝12⎝ ⎛
1－13＋12－14＋13－1
5
＋…＋
1n －1－
⎭⎪⎫1n ＋1＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n n ＋1
＋n
n ＋
，故存在常数m ＝12使等式成立．
14．已知函数f (x )＝x －a ln x ，g (x )＝－1＋a
x
(a ∈R)．
(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值；
(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，求函数h (x )的单调区间． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ， f ′(x )＝1－1x ＝x －1x
.
f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以f (x )在(2)h (x )＝x ＋1＋a
x
－a ln x ，x >0，
h ′(x )＝1－1＋a x 2－a x ＝x 2
－ax －1＋a x
2
＝ x ＋1[x －1＋a ]
x 2
.
当a ＋1>0时，即a >－1时，在(0,1＋a )上，h ′(x )<0，在(1＋a ，＋∞)上，h ′(x )>0， 所以h (x )的单调递减区间为(0,1＋a )，单调递增区间为(1＋a ，＋∞)； 当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上，h ′(x )>0. 所以函数h (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．。