2022数学第八章平面解析几何第二节直线的位置关系与距离公式教师文档教案文

第二节直线的位置关系与距离公式
授课提示：对应学生用书第153页
[基础梳理］
三种距离
三种距离条件公式
两点间的
距离A(x1，y1），B
（x2,y2）
｜AB|＝错误!
点到直线的距离P(x0，y0)到直
线Ax＋By＋C
＝0的距离为
d
d＝错误!
两平行线间的距离直线Ax＋By
＋C1＝0到直
线Ax＋By＋
C2＝0的距离
为d
d＝错误!
1．点到直线的距离公式
(1)直线方程为一般式．
（2)公式中分母与点无关．
(3)分子与点及直线方程都有关．
2．两平行直线间的距离
（1）是一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)也可以看成是两条直线上各取一点的最短距离．
[四基自测]
1．（基础点：点到直线的距离）点（1，－1）到直线x－y＋1＝0的距离是（）
A.错误!B．错误!
C.错误!D。

错误!
2．（基础点：直线的交点）直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax －2交于一点，则a的值为________．
答案：错误!
3．(基础点：两平行线间的距离)已知两平行线l1：2x＋3y＝6,l2：2x＋3y－1＝0，则l1与l2间距离为________．
答案：错误!
4．（易错点：点到直线距离的应用）已知点A（3，2）和B（－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．答案：－4或错误!
授课提示：对应学生用书第154页
考点一直线的交点及应用
挖掘直线交点的应用/ 自主练透
［例](1)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P,且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．[解析]法一：由方程组错误!得x＝0，y＝2，即P(0，2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－错误!，所以直线l的方程为y－2＝－错误!x，即4x＋3y－6＝0.
法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2）y＋4－2λ＝0.因为l⊥l3，所以3（1＋λ)＋（－4)(λ－2）＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.
[答案]4x＋3y－6＝0
（2)过点M（0，1）作直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2:2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，则此直线方程为________．
[解析]过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1,l2的交点分别是错误!,（0，8),显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1,其图像与直线l1,l2分别交于A，B两点,则有①错误!
由①解得x A＝错误!，由②解得x B＝错误!。

因为点M平分线段AB，所以x A＋x B＝2x M，
即错误!＋错误!＝0，解得k＝－错误!。

所以所求直线为y＝－错误!x＋1,即x＋4y－4＝0.
［答案]x＋4y－4＝0
(3）已知直线l经过点P(3，1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．［解析］法一：若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x＝3，此时与l1,l2的交点分别为A′（3，－4)，B′(3，－9)，截得的线段A′B′的长｜A′B′｜＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y＝k（x－3)＋1。

解方程组错误!
得A错误!，
解方程组错误!得B错误!。

由｜AB｜＝5，
得错误!错误!＋错误!错误!＝52.
解之，得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.
综上可知，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.
法二：如图所示，作直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0。

l1与x、y轴的交点A(－1,0）、B（0，－1），
l2与x、y轴交点C（－6，0）、D（0，－6）．
所以｜BD｜＝5，|AC｜＝5。

过点(3，1)与l1、l2截得的线段长为5.
即平行x轴或y轴．
所以所求直线方程为x＝3或y＝1.
[破题技法]1。

两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．
2．求过两直线交点的直线方程的方法
（1）直接法：①先求出两直线的交点坐标；②结合题设中的其他条件，写出直线方程；③将直线方程化为一般式．(2）直线系法：①设过两直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2）＝0.
②利用题设条件,求λ的值,得出直线方程．
③验证A2x＋B2y＋C2＝0是否符合题意．
（3)数形结合法，求直线截得的线段长．
考点二距离问题
挖掘距离问题的应用/ 自主练透
［例］(1）(2020·昆明模拟）点P到点A′(1,0)和直线x＝－1的距离相等,且P到直线y＝x的距离等于错误!，这样的点P共有(）
A．1个B．2个
C．3个D。

4个
［解析]设点P（x,y），由题意知（x－12＋y2)＝｜x＋1|，且错误!＝错误!,
所以错误!即错误!①
或错误!②
解①得错误!或错误!
解②得错误!因此，这样的点P共有3个．
［答案]C
（2)已知两条平行直线l1:mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为5，则直线l1的方程为________．
[解析]因为l1∥l2，所以错误!＝错误!≠错误!，
所以错误!或错误!
①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，
把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，
所以错误!＝错误!，解得n＝－22或18.
故所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，
把l2的方程写成4x－8y－2＝0，
所以错误!＝错误!，解得n＝－18或22。

故所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
[答案］2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0
［破题技法]应用点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式时应注意：
（1)用点到直线的距离公式，直线方程必须为一般式；
(2）两平行线间的距离公式，两直线方程中x，y的系数分别相同;
（3)两个公式中的“绝对值”号不可盲目去掉，要等价变化．
考点三对称问题
挖掘1求对称点、直线/ 自主练透
［例1]已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）．求：(1）点A关于直线l的对称点A′的坐标;
（2)直线m:3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程; (3）直线l关于点A的对称直线l′的方程．
[解析］（1)设对称点A′的坐标为（m,n)，
由已知可得错误!
解得错误!即A′错误!.
(2)在直线m上取一点，如B（2，0)，则B关于l的对称点必在m′上，设对称点为B′（a，b）,
则由错误!得B′错误!.
设m与l的交点为N，由错误!得N(4，3）．
设直线m′上任意一点的坐标为（x,y）,由两点式得直线m′的方
程为错误!＝错误!，即9x－46y＋102＝0.
(3)法一：在l:2x－3y＋1＝0上任取两点，如M（1,1），N（4，3）．则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．
易知M′(－3，－5),N′（－6，－7），由两点式可得l′的方程为2x －3y－9＝0。

法二:设直线l关于点A的对称直线l′上的任意一点P(x，y),则点P(x，y)关于点A（－1，－2）的对称点为P′（－2－x，－4－y）．
∵点P′在直线l上,∴2(－2－x）－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y －9＝0。

挖掘2利用对称性求解直线方程/ 互动探究
[例2］(1）（2020·淮安模拟）已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－y＋3＝0反射,反射光线经过点N(2，6），则反射光线所在直线的方程为________．
［解析］设点M（－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a,b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以错误!解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N（2，6)．
所以所求直线的方程为错误!＝错误!，即6x－y－6＝0。

[答案]6x－y－6＝0
(2)已知三角形的一个顶点A(4，－1），它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1:x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为__________________________________________________．［解析]A不在这两条角平分线上,因此l1，l2是另两个角的角平分线．点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上．
设A1（x1，y1),
则有错误!
解得错误!所以A1（0，3)．
同理设A2（x2,y2)，易求得A2(－2,－1)．
所以BC边所在直线方程为2x－y＋3＝0.
［答案]2x－y＋3＝0
(3）已知直线l:x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B（－2,－4)．在直线l上求一点P，使｜PA|＋｜PB｜最小．
［解析］设A关于直线l的对称点为A′（m，n)，则错误!
解得错误!
故A′(－2，8）．
P为直线l上的一点,则|PA｜＋｜PB｜＝|PA′｜＋|PB｜≥｜A′B|,当且仅当B，P,A′三点共线时，|PA|＋｜PB｜取得最小值,为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
解方程组错误!得错误!
故所求的点P的坐标为(－2,3）．
［破题技法］有关对称问题的规律方法
方法解读
中心对称
点关于点
点M（x1,y1）与N（x，y)关于P（a,b)
对称，利用中点错误!
直线关于点
l1关于A对称的直线：取B∈l1，求
B关于A的对称点B′，利用斜率相
等，求点斜式
轴对称点关于直线
对称
点A关于l1的对称点A′，利用A′A
的中点在l1上，且AA′⊥l,求A′点线l1关于线利用A∈l2,且取B∈l1，求B关于l
考点四点、线及位置关系、距离的应用
挖掘构造距离求最值(创新问题）/ 互动探究
［例］（1)设x＞0，y＞0，满足2x＋y＝1，则x＋x2＋y2的最小值为（)
A.错误!B．错误!
C．1D。

错误!
［解析]因为x，y∈R＋，满足2x＋y＝1，设z＝x＋x2＋y2,其可表示为直线2x＋y＝1在第一象限的点P(x，y）到y轴的距离d与到原点的距离|PO｜的和．
设原点关于直线2x＋y＝1的对称点O1(m,n），
则由错误!
解得错误!所以O1错误!。

由对称性可得|PO1|＝｜PO|，所以z＝｜PO1|＋d，故PO1⊥y轴时z最小．
故当且仅当x＝错误!，y＝错误!时z＝x＋错误!取最小值错误!，故选A。

[答案］A
（2)已知实数x满足｜2x＋1｜＋｜2x－5｜＝6,则x的取值范围是________．
[解析］由|2x＋1｜＋｜2x－5|＝6可得|x－(－1
2)|＋｜x－
错误!｜＝3，它表示数轴上的动点x到定点－错误!与错误!的距离之和为3。

又定点－错误!与错误!之间的距离恰好为3,故有x∈［－错误!, 5
2]．
［答案］[－错误!，错误!］
[破题技法]本解法利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的点
之间的距离问题，使解题过程直观快捷．
(3）设a＞0，若f（x)＝错误!＋错误!(x∈R)的最小值为10，则a＝________．
[解析]f（x）
＝错误!＋错误!，
它表示动点P（x，0）到点A（3a，－a）与B(－a，2a）的距离之和,即f(x)＝|PA｜＋|PB|。

由已知条件可知：f（x)＝|PA|＋｜PB｜的最小值为10.
因为a＞0，所以点A，B在x轴的两侧,故对x轴上的动点P（x,0），一定有|PA|＋|PB｜≥|AB｜,故｜PA|＋｜PB|的最小值为｜AB|.
于是有｜AB|＝10,
即错误!＝10，
又a＞0,解得a＝2.
[答案]2
［破题技法]构造距离后，把已知条件转化为x轴上的动点到两定点的距离之和的最小值为10，便于顺利得到关于a的方程进行求解．
(4）求函数y＝错误!＋错误!的最小值．
［解析]此类问题直接用代数方法求解，困难较大，我们注意到错误!和错误!分别可变形为错误!和错误!，便可分别看成是点(x，0）到另两点（1，1)和（3，2)的距离，即问题化为x轴上一动点（x,0)到另两定点（1，1)和(3,2）的距离之和的最小值．结合图形(图略)，易得y min＝错误!.
［破题技法］此类问题直接用代数方法求解,困难较大，我们往往对解析式通过变形赋予一定的几何意义，利用数到形的转变解决这类问题．。