上海市川沙中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

上海市川沙中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷
一、填空题
1．已知集合()()4,,1,31A B =-=，则A B = 2．不等式|1|2x -<的解集是
.
3．已知11i z =+，223i z =+（其中i 为虚数单位），则__
12z z +=.4．已知二项式()5
x a +展开式中，2x 项的系数为80，则a =
.
5．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是.
6．若数列{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，则6S =
．
7．某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30 方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距
海里．（精确到0.1海里）
8．已知函数2()|1|f x ax x a =+++为偶函数，则不等式()0f x >的解集为
.
9．在ABC V 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC V 的面积ABC S = 6a b +=，
cos cos 2cos a B b A
C c
+=，则c =
.
10．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为()
1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲
线左支上的动点，且1APF △周长的最小值为8，则双曲线的离心率为
．
11．已知,,a b c 是平面向量，a 与c
是单位向量，且,2
a c π= ，若28150
b b
c -+= ，则a b
-r r 的最小值为
．
12．已知定义在R 上的函数()f x 存在导数，对任意的实数x ，都有()()2f x f x x --=，且当(0,)x ∈+∞时，()1f x '>恒成立，若不等式()(1)21f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值
范围是.
二、单选题
13．若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是（
）
A ．
a b +>B ．a b +<C ．
22
a
b +>D ．
22
a
b +<14．设a ∈R ，则“1a =”是“直线20ax y +=与直线(1)20x a y +++=平行”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不
充分也不必要条件
15．设{}是等差数列.下列结论中正确的是
A ．若120a a +>，则230a a +>
B ．若130a a +<，则120a a +<
C ．若120a a <<，则2a >
D ．若10a <，则()()21230
a a a a -->16．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q 分别是线段111,AB A C 上的点（不为端点），给出如下两个命题：
①对任意点P ，均存在点Q ，使得1PQ CD ⊥；②存在点P ，对任意的Q ，均有1PQ DB ⊥，则（
）
A ．①②均正确
B ．①②均不正确
C ．①正确，②不正确
D ．①不正确，②正确
三、解答题
17．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面,,BCD AB AD O =为BD 的中点.
(1)求证：AO CD ⊥；
(2)若,,BD DC BD DC AO BO ⊥==，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小.18．设x R ∈，函数()cos sin f x x x =+，()cos sin g x x x =-．
（1）求函数()()()()2
F x f x g x f x =⋅+的最小正周期和单调递增区间；
（2）若()()2f x g x =，求221sin cos sin cos x
x x x
+-的值．
19．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.
20．设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l ：x=t ，曲线Γ：
()280,0y x x t y =≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB
上的动点．
（1）用t 表示点B 到点F 距离；
（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP △的面积；
（3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数()1ln ,R f x x a x a =--∈.(1)当1a =时，求()f x 的严格增区间;(2)若()0f x ≥恒成立，求a 的值；
(3)对于任意正整数n ，是否存在整数m ，使得不等式2111
(1)(1)(1)222
n m +++< 成立?若存
在，请求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.。