第十二章-平稳随机过程
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
(X(t1+h), X(t2 +h),, X(tn+h))
(1.1)
有相同的分布函数，则称{X(t)，t T }为平稳
随机过程，或简称平稳过程.
2
在实际问题中, 确定过程的分布函数, 并 用它来判定其平稳性,一般是很难办到的. 但是, 对于一个被研究的随机过程, 如果 前后的环境和主要条件不随时间的推移 而变化, 则一般就可以认为是平稳的.
12
例3 X(t) =Ycos(t)+Zsin(t), t > 0, Y, Z相 互独立, E(Y) = E(Z) = 0, D(Y) =D(Z) =2. 讨论随机过程{X(t), t > 0}的平稳性.
解 E[ X (t)] E[Y cos(t) Z sin(t)] cos(t)E(Y ) sin(t)E(Z ) 0.
定义3 设{X(t), t T }和{Y(t), t T }是两 个平稳过程，如果它们的互相关函数
E[X(t)Y(t +)] 和E[Y(t)X(t +)]仅与 有关,
而与 t 无关，则称X(t)和Y(t)是平稳相关 的, 或称这两个过程是联合(宽)平稳的.
RXY(t, t +) = E[X(t)Y(t +)] = RXY(), RYX(t, t +) = E[Y(t)X(t +)] = RYX().
n
若 有 满 足
lim E{[Y
maxti 0
i 1
X ( i )ti ]2 } 0
的随机变量Y存在, 则称Y为X(t)在[a, b]上
的均方积分, 并记为
b
a X (t )dt.
25
可以证明:
二阶矩过程X(t)在[a, b]上均方积分存在的 充分条件是相关函数的二重积分
bb
a a RX (s, t )dsdt
sin(2t) f ( )d 1
0 sin(2t)d 0
16
RX (t, t ) E[X (t)X (t )]
1
0 sin(2t)sin[2 (t )]d
1 2
1
0 {cos(2 )
cos[2
(2t
)
]}d
1 2
,
0
0 , 0
所以X(t)是平稳过程.
17
联合平稳随机过程
T
acos(t )dt
T 2T T
a sin(T ) sin(T )
lim
0.
T 2T
X (t)X (t )
lim 1
T
acos(t )acos(t )dt
时间相关函数:
X (t)X (t ) lim 1
T
X (t)X (t )dt
T 2T T
可以沿用高等数学中的方法求积分和求 极限, 其结果一般来说是随机的.
27
例1 计算随机相位正弦波X(t) = acos(ωt+Θ)的
时间平均<X(t)>和<X(t)X(t+τ)>.
解 X (t) lim 1
特别地, 令 =0,由上式,有
2 X
CX (0)
RX
(0)
2 X
6
定义2 给定二阶矩过程{X(t), t T }, 如果
对任意 t, t + T
E[X(t)] = μX (常数),
E[X(t) X(t +)] = RX( ),
则称{X(t), t T }为宽平稳过程, 也称广义平稳 过程. 简称平稳过程. • 相对地, 前述按分布函数定义的平稳过程称为 严平稳过程或狭义平稳过程. • 一个严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳过程. 但反过来, 一般是不成立的. • 特例: 一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳. • 泊松过程和维纳过程是非平稳过程.
RX
(n,
n
)
E[ Xn
X n
]
0
2
,
,
0 0
所以, {Xn, n = 0, 1, 2,}是平稳随机序 列.
15
例5 设状态连续、时间离散的随机过程
X(t) = sin(2 Θt), 其中Θ是(0, 1)上的均匀
分布随机变量, t 只取整数值1, 2, ，讨 论随机过程 X(t) 的平稳性. 解 E[ X (t)] E[sin(2t)]
2
AB sin(t )sin(t )
1
d
0
2
AB 2 1 [cos( )
2 0 2 cos(2t 2 )]d
1 2
AB cos(
)
RYX
(
).
所以X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程.
22
§12.2 各态历经性
本节主要讨论,根据实验记录确定平稳过程 的均值和自相关函数的理论依据和方法.
2
AB sin(t )sin(t )
1
d
0
2
AB 2 1 [cos( )
2 0 2 cos(2t 2 )]d
1 2
AB cos(
)
RXY
( ).
21
RYX (t, t ) E[Y (t)X (t )] E[B sin(t )Asin(t )]
T s(t )s(t ) 1d0来自T1t T
s( )s( )d .
Tt
11
同样, 利用s(φ) s(φ + τ)的周期性, 可知自 相关函数 仅与τ有关, 即
RX
(t,
t
)
1 T
t T
记成
t s( )s( )d RX ( ).
所以, 随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位正弦波是平稳的.(第十章§2例 2).
RX(t1, t2 ) = E[X(t1)X(t2)] = E[X(0)X(t2 - t1)].
记为
RX(t1, t2 ) = RX(t2 - t1)
或 RX(t, t + ) = E[X(t)X(t +)] = RX( ) .
这表明:平稳过程的自相关函数是时间差
t2 - t1 = 的单变量函数.
RX (t, s) E[X (t)X (s)]
E[(Y cos(t) Z sin(t))(Y cos(s) Z sin(s))] E[cos(t)cos(s)Y 2 sin( (t s))YZ
sin(t)sin(s)Z 2 ]
13
cos(t)cos(s)E(Y 2 ) sin( (t s))E(YZ) sin(t)sin(s)E(Z 2 )
存在. 而且此时还成立有
b
b
E[a X (t)dt] a E[ X (t)]dt.
就是说,过程X(t)的积分的均值等于过程
的均值函数的积分.
26
时间均值和时间相关函数
定义1 设{X(t), t T}是均方连续的平稳过 程，则时间均值:
X (t) lim 1
T
X (t)dt
T 2T T
cos(t)cos(s)D(Y ) sin (t s)E(Y )E(Z ) sin(t)sin(s)D(Z )
cos(t)cos(s) 2 sin(t)sin(s) 2 2 cos((s t) ) 2 cos()
所以{X(t), t T }为宽平稳过程.
14
例4 设 {Xn, n = 0, 1, 2,} 是实的互 不相关随机变量序列，且E(Xn)=0， D(Xn) = 2 . 讨论随机序列的平稳性. 解 因为E(Xn) = 0，
2 , k l,
RX
(k,
l)
E[ Xk
Xl
]
0,
k l.
即相关函数只与k-l有关, 所以它是宽平稳的随
机序列. 如果X1 , X2 ,…, Xk ,…又是独立同分布的, 则易证序列也是严平稳的.
9
例2 设s(t)是一周期为T的函数, Θ是在(0,T)上 服从均匀分布的随机变量, 称X(t) = s(t + Θ)为 随机相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
b
Y a X (t)dt,
显然, Y是一随机变量.
在某些情况下, 对于随机过程的所有样本 函数来说, 在[a, b]上的积分未必全都存在. 此时, 引入所谓均方意义下的积分.
24
均方意义下的积分
考虑[a, b]内的一组分点:
a t0 t1 t2 tn b,
且 记 ti ti ti1 , ti1 i ti , i 1,2,, n,
§12.1 平稳随机过程的概念
在实际中, 有相当多的随机过程, 不仅它现在的状态, 而且它过去的状态, 都对未来状态的发生有着很强的影响. 有这样一类随机过程, 即所谓平稳过程, 它的特点是: 过程的统计特征不随时间 的推移而变化.严格地说,有下面的定义.
1
平稳随机过程的定义
定义1 设{X(t), t T }是随机过程，如果对任 意常数 h 和正整数 n，
按照数学期望的定义来计算平稳过程X(t) 的数字特征, 不易办到.
若用统计实验的方法作近似计算:
X
1 N
N
xk (t1 ),
k 1
1 N
RX (t2 t1 ) N k1 xk (t1 ) xk (t2 ).
需要对一个平稳过程重复进行大量观测. 23
随机过程积分的概念
给定二阶矩过程{X(t), t T }, 如果{X(t), t T }它的每一个样本函数在[a, b]上的积 分都存在, 则说随机过程X(t)在[a, b]上的 积分存在, 并记为
19
例6 设X(t)=Asin(t+Θ)， Y(t)=Bsin( t + Θ -)为两个平稳过程， 其中A, B, 是常数, Θ是(0, 2)上的均匀
分布随机变量, 证明X(t)和Y(t)是联合平稳 随机过程. 解
20
RXY (t, t ) E[ X (t)Y (t )] E[Asin(t )B sin(t )]
同样, X(t)的均方值函数和方差函数亦为
常数,
分别记为X2
和
2 X
依照图10-4的意义, 可以知道,平稳过程的 所有样本曲线都在水平直线x(t) X上下 波动, 平均偏离度为 X .
4
又若平稳过程X(t)的自相关函数
RX(t1, t2 ) = E[X(t1) X(t2)]
存在. 对n = 2, 在(1.1)式中, 令h= - t1 , 由 平稳性定义, (X(t1), X(t2))与(X(0), X(t2 - t1)) 同分布. 于是
5
由第十章(2.7)式, 协方差函数:
CX(t1, t2 ) = E{[X(t1) - μX(t1)][X(t2) - μX(t2)]} = RX(t1, t2 ) - μX(t1)μX(t2).
那么, 协方差函数可以表示为:
CX() = E{[X(t) - μX][X(t +) - μX]} = RX() - μX ²
恒温条件下的热噪声电压过程; 强震阶段的地震波幅; 船舶的颠簸过程; 照明电网中电压的波动过程; 各种噪声和干扰等等.
3
平稳过程数字特征的特点.
设平稳过程X(t)的均值函数E[X(t)]存在. 对n=1, 在(1.1)式中, 令h= - t1 , 由平稳性 定义, X(t1)和X(0) 同分布. 于是 E[X(t)] = E[X(0)], 记为 X
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
(X(t1+h), X(t2 +h),, X(tn+h))
(1.1)
有相同的分布函数，则称{X(t)，t T }为平稳
随机过程，或简称平稳过程.
2
在实际问题中, 确定过程的分布函数, 并 用它来判定其平稳性,一般是很难办到的. 但是, 对于一个被研究的随机过程, 如果 前后的环境和主要条件不随时间的推移 而变化, 则一般就可以认为是平稳的.
12
例3 X(t) =Ycos(t)+Zsin(t), t > 0, Y, Z相 互独立, E(Y) = E(Z) = 0, D(Y) =D(Z) =2. 讨论随机过程{X(t), t > 0}的平稳性.
解 E[ X (t)] E[Y cos(t) Z sin(t)] cos(t)E(Y ) sin(t)E(Z ) 0.
定义3 设{X(t), t T }和{Y(t), t T }是两 个平稳过程，如果它们的互相关函数
E[X(t)Y(t +)] 和E[Y(t)X(t +)]仅与 有关,
而与 t 无关，则称X(t)和Y(t)是平稳相关 的, 或称这两个过程是联合(宽)平稳的.
RXY(t, t +) = E[X(t)Y(t +)] = RXY(), RYX(t, t +) = E[Y(t)X(t +)] = RYX().
n
若 有 满 足
lim E{[Y
maxti 0
i 1
X ( i )ti ]2 } 0
的随机变量Y存在, 则称Y为X(t)在[a, b]上
的均方积分, 并记为
b
a X (t )dt.
25
可以证明:
二阶矩过程X(t)在[a, b]上均方积分存在的 充分条件是相关函数的二重积分
bb
a a RX (s, t )dsdt
sin(2t) f ( )d 1
0 sin(2t)d 0
16
RX (t, t ) E[X (t)X (t )]
1
0 sin(2t)sin[2 (t )]d
1 2
1
0 {cos(2 )
cos[2
(2t
)
]}d
1 2
,
0
0 , 0
所以X(t)是平稳过程.
17
联合平稳随机过程
T
acos(t )dt
T 2T T
a sin(T ) sin(T )
lim
0.
T 2T
X (t)X (t )
lim 1
T
acos(t )acos(t )dt
时间相关函数:
X (t)X (t ) lim 1
T
X (t)X (t )dt
T 2T T
可以沿用高等数学中的方法求积分和求 极限, 其结果一般来说是随机的.
27
例1 计算随机相位正弦波X(t) = acos(ωt+Θ)的
时间平均<X(t)>和<X(t)X(t+τ)>.
解 X (t) lim 1
特别地, 令 =0,由上式,有
2 X
CX (0)
RX
(0)
2 X
6
定义2 给定二阶矩过程{X(t), t T }, 如果
对任意 t, t + T
E[X(t)] = μX (常数),
E[X(t) X(t +)] = RX( ),
则称{X(t), t T }为宽平稳过程, 也称广义平稳 过程. 简称平稳过程. • 相对地, 前述按分布函数定义的平稳过程称为 严平稳过程或狭义平稳过程. • 一个严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳过程. 但反过来, 一般是不成立的. • 特例: 一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳. • 泊松过程和维纳过程是非平稳过程.
RX
(n,
n
)
E[ Xn
X n
]
0
2
,
,
0 0
所以, {Xn, n = 0, 1, 2,}是平稳随机序 列.
15
例5 设状态连续、时间离散的随机过程
X(t) = sin(2 Θt), 其中Θ是(0, 1)上的均匀
分布随机变量, t 只取整数值1, 2, ，讨 论随机过程 X(t) 的平稳性. 解 E[ X (t)] E[sin(2t)]
2
AB sin(t )sin(t )
1
d
0
2
AB 2 1 [cos( )
2 0 2 cos(2t 2 )]d
1 2
AB cos(
)
RYX
(
).
所以X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程.
22
§12.2 各态历经性
本节主要讨论,根据实验记录确定平稳过程 的均值和自相关函数的理论依据和方法.
2
AB sin(t )sin(t )
1
d
0
2
AB 2 1 [cos( )
2 0 2 cos(2t 2 )]d
1 2
AB cos(
)
RXY
( ).
21
RYX (t, t ) E[Y (t)X (t )] E[B sin(t )Asin(t )]
T s(t )s(t ) 1d0来自T1t T
s( )s( )d .
Tt
11
同样, 利用s(φ) s(φ + τ)的周期性, 可知自 相关函数 仅与τ有关, 即
RX
(t,
t
)
1 T
t T
记成
t s( )s( )d RX ( ).
所以, 随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位正弦波是平稳的.(第十章§2例 2).
RX(t1, t2 ) = E[X(t1)X(t2)] = E[X(0)X(t2 - t1)].
记为
RX(t1, t2 ) = RX(t2 - t1)
或 RX(t, t + ) = E[X(t)X(t +)] = RX( ) .
这表明:平稳过程的自相关函数是时间差
t2 - t1 = 的单变量函数.
RX (t, s) E[X (t)X (s)]
E[(Y cos(t) Z sin(t))(Y cos(s) Z sin(s))] E[cos(t)cos(s)Y 2 sin( (t s))YZ
sin(t)sin(s)Z 2 ]
13
cos(t)cos(s)E(Y 2 ) sin( (t s))E(YZ) sin(t)sin(s)E(Z 2 )
存在. 而且此时还成立有
b
b
E[a X (t)dt] a E[ X (t)]dt.
就是说,过程X(t)的积分的均值等于过程
的均值函数的积分.
26
时间均值和时间相关函数
定义1 设{X(t), t T}是均方连续的平稳过 程，则时间均值:
X (t) lim 1
T
X (t)dt
T 2T T
cos(t)cos(s)D(Y ) sin (t s)E(Y )E(Z ) sin(t)sin(s)D(Z )
cos(t)cos(s) 2 sin(t)sin(s) 2 2 cos((s t) ) 2 cos()
所以{X(t), t T }为宽平稳过程.
14
例4 设 {Xn, n = 0, 1, 2,} 是实的互 不相关随机变量序列，且E(Xn)=0， D(Xn) = 2 . 讨论随机序列的平稳性. 解 因为E(Xn) = 0，
2 , k l,
RX
(k,
l)
E[ Xk
Xl
]
0,
k l.
即相关函数只与k-l有关, 所以它是宽平稳的随
机序列. 如果X1 , X2 ,…, Xk ,…又是独立同分布的, 则易证序列也是严平稳的.
9
例2 设s(t)是一周期为T的函数, Θ是在(0,T)上 服从均匀分布的随机变量, 称X(t) = s(t + Θ)为 随机相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
b
Y a X (t)dt,
显然, Y是一随机变量.
在某些情况下, 对于随机过程的所有样本 函数来说, 在[a, b]上的积分未必全都存在. 此时, 引入所谓均方意义下的积分.
24
均方意义下的积分
考虑[a, b]内的一组分点:
a t0 t1 t2 tn b,
且 记 ti ti ti1 , ti1 i ti , i 1,2,, n,
§12.1 平稳随机过程的概念
在实际中, 有相当多的随机过程, 不仅它现在的状态, 而且它过去的状态, 都对未来状态的发生有着很强的影响. 有这样一类随机过程, 即所谓平稳过程, 它的特点是: 过程的统计特征不随时间 的推移而变化.严格地说,有下面的定义.
1
平稳随机过程的定义
定义1 设{X(t), t T }是随机过程，如果对任 意常数 h 和正整数 n，
按照数学期望的定义来计算平稳过程X(t) 的数字特征, 不易办到.
若用统计实验的方法作近似计算:
X
1 N
N
xk (t1 ),
k 1
1 N
RX (t2 t1 ) N k1 xk (t1 ) xk (t2 ).
需要对一个平稳过程重复进行大量观测. 23
随机过程积分的概念
给定二阶矩过程{X(t), t T }, 如果{X(t), t T }它的每一个样本函数在[a, b]上的积 分都存在, 则说随机过程X(t)在[a, b]上的 积分存在, 并记为
19
例6 设X(t)=Asin(t+Θ)， Y(t)=Bsin( t + Θ -)为两个平稳过程， 其中A, B, 是常数, Θ是(0, 2)上的均匀
分布随机变量, 证明X(t)和Y(t)是联合平稳 随机过程. 解
20
RXY (t, t ) E[ X (t)Y (t )] E[Asin(t )B sin(t )]
同样, X(t)的均方值函数和方差函数亦为
常数,
分别记为X2
和
2 X
依照图10-4的意义, 可以知道,平稳过程的 所有样本曲线都在水平直线x(t) X上下 波动, 平均偏离度为 X .
4
又若平稳过程X(t)的自相关函数
RX(t1, t2 ) = E[X(t1) X(t2)]
存在. 对n = 2, 在(1.1)式中, 令h= - t1 , 由 平稳性定义, (X(t1), X(t2))与(X(0), X(t2 - t1)) 同分布. 于是
5
由第十章(2.7)式, 协方差函数:
CX(t1, t2 ) = E{[X(t1) - μX(t1)][X(t2) - μX(t2)]} = RX(t1, t2 ) - μX(t1)μX(t2).
那么, 协方差函数可以表示为:
CX() = E{[X(t) - μX][X(t +) - μX]} = RX() - μX ²
恒温条件下的热噪声电压过程; 强震阶段的地震波幅; 船舶的颠簸过程; 照明电网中电压的波动过程; 各种噪声和干扰等等.
3
平稳过程数字特征的特点.
设平稳过程X(t)的均值函数E[X(t)]存在. 对n=1, 在(1.1)式中, 令h= - t1 , 由平稳性 定义, X(t1)和X(0) 同分布. 于是 E[X(t)] = E[X(0)], 记为 X