赏析数形结合思想的应用举例

赏析数形结合思想的应用举例
所谓数形结合，是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合
起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的一种数学思想方法。

它
能使抽象问题具体化，使复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。

数形结合思想是高中数学中最重要的思想方法，它的应用非常广泛，可以说，它贯穿于
高中数学各个章节，是历届高考中考查的重点和热点。

应用数形结合的方法解题，本人将着
重介绍以下几个方面，仅供参考。

攻略之一：用于解集合问题
例1，设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为M-P＝{x|x∈M，且x ∈P}，则
M-(M-P)等于（）。

A. P
B.M∩P
C.M∪P
D.M
分析：本题是集合新定义题， M-P是同学们在中学不曾学过的一种集合运算，应紧扣集合元素的属性解题。

解：当M∩P≠Φ时，由Venn图，知M-P为图中的阴影部分，则M-(M-P)显然为M∩P；
当M∩P=Φ时，M-P=M，则M-(M-P)=M-M={x|x∈M，且xM}=Φ。

故应选B。

点评：本题主要考查同学们的阅读理解能力和灵活运用数学知识的能力。

此类题体现了
新课程指导思想，因此，同学们应引起重视。

解决这类题应仔细阅读新定义的属性，灵活运
用所学知识及相应的技巧．
攻略之二：用于解方程或函数问题
例2，记max{a，b}=，则函数f（x）max{|x+1|，|x-2|，x∈R} 的最小值是
______。

说明：数形结合思想在方程与函数中的应用主要体现在：①利用图象判断方程根的个数；②由解析式判断图象或给定图象来确定参数、函数值等；③在抽象函数中，由已知条
件画出函数图象的草图，借助图象求解；④借助二次函数、三次函数等图象解决有关函数的
综合问题。

攻略之三：用于解三角问题
例3（宁夏、海南卷理），为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B
两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图）。

飞机能够测量的数据有俯
角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在
图中标出）；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤。

分析:①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的府角α2、β2；A、B的距离d（如图所示二）。

②第一步：计算BM，由正弦定理BM=。

第二步：计算BN，由正弦定理BN=。

第三步：求MN，由余弦定理
ＭＮ＝BM2+BN2-2BM×BNcos（β2+α2）
攻略之四：用于解不等式问题
例4，设x、y满足约束条件，若目标函z=ax+by（a>0，b>0）的值是最
大值为12，则＋的最小值为()。

A. B. C. D.4
分析：在解线性规划问题时，一般都要画出区域求解。

对于不等式恒成立问题一般也借
助图形求解。

攻略之五：用于求解圆锥曲线问题
已知实数x、y满足（x-6）2+y2=9，则u=的最大值是_____。

分析：可构造斜率。

攻略之六：用于解立体几何问题
例5，已知α、β、γ均为锐角,且cos2α+cos2β+cos2γ=1。

求证：tanα·tinβ·tanγ≥2２。

分析：可构造空间图形。

解：如下图，不妨设三条侧棱长为a、b、c，BD′与过B点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，则tanα·tinβ·tanγ=··≥ · · =22。

评注：在解答与角有关的习题时，如果题目涉及一类图形的一般特征，那么这一特征也
可以通过其中某些特殊图形反映出来，只要构造出图形，问题就能迅速、准确地获解。

攻略之七：用于解导数问题
导数主要用于研究函数的单调性、极值、最值等问题，而函数问题与函数图像密不可分，因而数形结合在研究导数问题中也起着重要的作用。

例6,设y=f`（x）是函数y=f（x）的导数,y=f`（1）的图象如图所示,则y=f（x）的图象最
有可能是()。

分析：由y=f`（x）的图象可知，当x<0时，y=f`（x）>0,此时y=f（x）为增函数；当
0<x<2时，y=f`（x）<0,此时y=f（x）为减函数；当x>2时，y=f`（x）>0,此时y=f（x）为增函数。

故应选C。

可见，数形结合思想的魅力不容忽视，以数思形，以形助数，数形对照，可使许多问题
鲜明、直观、迅速地获得解决；更可贵的是，它真正体现了数学的美。