北师大九年级数学教案-船有触礁的危险吗

§1.4 船有觸礁的危險嗎
課時安排
1課時
從容說課
本節在前兩節的基礎上進一步學習用銳角三角函數解決實際問題，經歷把實際問題轉化成數學問題的過程，提高應用數學知識解決實際問題的能力.因此本節選取了現實生活中的幾個題材：船右觸礁的危險嗎，小明測塔的高度，改變商場樓梯的安全性能等，使學生真正體會到三角函數在解決實際問題中必不可少的重要地位.提高了學生學習數學的興趣.
因此，本節的重點是讓學生親歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數在解決問題過程中的作用，能夠將實際問題轉化為數學問題，能夠借助計算器進行三角函數的計算，並能進一步對結果的意義進行說明，發展數學的應用意識和解決問題的能力.教學時，教師可讓學生在審清題意的基礎上，自己畫出示意圖，將實際問題轉化為數學問題，這是本節課的重點也是難點.同時，讓學生對“三角學”的發展史有所瞭解.
第六課時
課題
§1.4 船有觸礁的危險嗎
教學目標
(一)教學知識點
1.經歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數在解決問題過程中的應用.
2.能夠把實際問題轉化為數學問題，能夠借助於計算器進行有關三角函數的計算，並能對結果的意義進行說明.
(二)能力訓練要求
發展學生的數學應用意識和解決問題的能力.
(三)情感與價值觀要求
1.在經歷弄清實際問題題意的過程中，畫出示意圖，培養獨立思考問題的習慣和克服困難的勇氣.
2.選擇生活中學生感興趣的題材，使學生能積極參與數學活動，提高學習數學、學好數學的欲望.
教具重點
1.經歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數在解決問題過程中的作用.
2.發展學生數學應用意識和解決問題的能力.
教學難點
根據題意，瞭解有關術語，準確地畫出示意圖.
教學方法
探索——發現法
教具準備
多媒體演示
教學過程
Ⅰ.創設問題情境，引入新課
[師]直角三角形就像一個萬花筒，為我們展現出了一個色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關係後，接著又為我們展現了在它的世界中的邊角關係，它使我們現實生活中不可能實現的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應用，例如測旗杆的高度、樹的高度、塔高等.
下面我們就來看一個問題(多媒體演示).
海中有一個小島A，該島四周10海裡內有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海裡後，到達該島的南偏西25°的C處，之後，貨輪繼續往東航行，你認為貨輪繼續向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進行交流.
下面就請同學們用銳角三角函數知識解決此問題.(板書：船有觸礁的危險嗎)
Ⅱ.講授新課
[師]我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規定的?
[生]應該是“上北下南，左西右東”.
[師]請同學們根據題意在練習本上畫出示意圖，然後說明你是怎樣畫出來的.
[生]首先我們可將小島A確定，貨輪B在小島A的南偏西55°的B 處，C在B的正東方，且在A南偏東25°處.示意圖如下.
[師]貨輪要向正東方向繼續行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定?
[生]根據題意，小島四周10海裡內有暗礁，那麼貨輪繼續向東航行的方向如果到A的最短距離大於10海裡，則無觸礁的危險，如果小於10海裡則有觸礁的危險.A到BC所在直線的最短距離為過A 作AD⊥BC，D為垂足，即AD的長度.我們需根據題意，計算出AD 的長度，然後與10海裡比較.
[師]這位同學分析得很好，能將實際問題清晰條理地轉化成數學問題.下面我們就來看AD如何求.根據題意，有哪些已知條件呢?
[生]已知BC°＝20海裡，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°.
[師]在示意圖中，有兩個直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一個三角形中求出AD呢?
[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.
[生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，雖然知道BC＝20海裡，但它不是Rt△ABD的邊，也不能求出AD.
[師]那該如何是好?是不是可以將它們結合起來，站在一個更高的角度考慮?
[生]我發現這兩個三角形有聯繫，AD是它們的公共直角邊.而且
BC 是這兩個直角三角形BD 與CD 的差，即BC ＝BD-CD.BD 、CD 的對角是已知的，BD 、CD 和邊AD 都有聯繫.
[師]有何聯繫呢?
[生]在Rt △ABD 中，tan55°＝AD BD ，BD=ADtan55°；在Rt △ACD 中，tan25°＝AD
CD ，CD ＝ADtan25°. [生]利用BC ＝BD-CD 就可以列出關於AD 的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.
[師]太棒了!沒想到方程在這個地方幫了我們的忙.其實，在解決數學問題時，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數學中最重要的數學思想之一.
下面我們一起完整地將這個題做完.
[師生共析]解：過A 作BC 的垂線，交BC 於點D.得到Rt △ABD 和Rt △ACD ，從而BD=AD
tan55°，CD ＝ADtan25°，由BD-CD ＝BC ，又BC ＝20海裡.得 ADtan55°-ADtan25°＝20.
AD(tan55°-tan25°)＝20，
AD=︒
-︒25tan 55tan 20≈20.79(海裡). 這樣AD ≈20.79海裡>10海裡，所以貨輪沒有觸礁的危險.
[師]接下來，我們再來研究一個問題.還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現在我們來看他是怎樣測的，並根據他得到的資料幫他求出塔的高度.
多媒體演示
想一想你會更聰明：
如圖，小明想測量塔
CD 的高度.他在A 處
仰望塔頂，測得仰角
為30°，再往塔的方
向前進50m 至B 處.測得仰角為60°.那麼該塔有多高?(小明的身高忽略不計，結果精確到1 m)
[師]我想請一位同學告訴我什麼是仰角?在這個圖中，30°的仰角、60°的仰角分別指哪兩個角?
[生]當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30°的仰角指∠DAC ，60°的仰角指∠DBC.
[師]很好!請同學們獨立思考解決這個問題的思路，然後回答. (教師留給學生充分的思考時間，感覺有困難的學生可給以指導)
[生]首先，我們可以注意到CD 是兩個直角三角形Rt △ADC 和
Rt △BDC 的公共邊，在Rt △ADC 中，tan30°=
AC
CD ， 即AC ＝︒30tan CD 在Rt △BDC 中，tan60°=BC
CD , 即BC ＝︒
60tan CD ，又∵AB=AC-BC ＝50 m ，得 ︒30tan CD -︒60tan CD =50. 解得CD ≈43(m)，
即塔CD 的高度約為43 m.
[生]我有一個問題，小明在測角時，小明本身有一個高度，因此在測量CD 的高度時應考慮小明的身高.
[師]這位元同學能根據實際大膽地提出質疑，很值得讚賞.在實際測量時.的確應該考慮小明的身高，更準確一點應考慮小明在測量時，眼睛離地面的距離.
如果設小明測量時，眼睛離地面的距離為1.6 m，其他資料不變，此時塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎?
[生]示意圖如
右圖所示，由前面的
解答過程可知CC′≈
43 m，則CD＝43+
1.6＝44.6 m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6 m.
[師]同學們的表現太棒了.現在我手裡有一個樓梯改造工程問題，想請同學們幫忙解決一下.
多媒體演示：
某商場準備改善原來
樓梯的安全性能，把
傾角由40°減至35°，
已知原樓梯長為4 m，
調整後的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結果精確到0.0l m)
請同學們根據題意，畫出示意圖，將這個實際問題轉化成數學問題，(先獨立完成，然後相互交流，討論各自的想法)
[生]在這個問題
中，要注意調整前後
的梯樓的高度是一個
不變數.根據題意可
畫㈩示意圖(如右
圖).其中AB 表示樓梯的高度.AC 是原樓梯的長，BC 是原樓梯的占地長度；AD 是調整後的樓梯的長度，DB 是調整後的樓梯的占地長度.∠ACB 是原樓梯的傾角，∠ADB 是調整後的樓梯的傾角.轉化為數學問題即為：
如圖，AB ⊥DB ，∠ACB ＝40°，∠ADB ＝35°，AC ＝4m.求AD-AC 及DC 的長度.
[師]這位同學把這個實際樓梯調整問題轉化成了數學問題.大家從示意圖中不難看出這個問題是前面問題的變式.我相信同學們一定能用計算器輔助很快地解決它，開始吧!
[生]解：由條件可知，在Rt △ABC 中,sin40°＝AC AB ，即AB ＝4sin40°m ，原樓梯占地
長BC ＝4cos40°m.
調整後,在Rt △ADB 中，sin35°＝
AD AB ，則AD ＝︒︒=︒35sin 40sin 435sin AB m.樓梯占地長
DB=︒
︒35tan 40sin 4m. ∴調整後樓梯加長AD-AC ＝
︒︒35sin 40sin 4-4≈0.48(m)，樓梯比原來多占DC ＝DB-BC=
︒
︒35tan 40sin 4 -4cos40°≈0.61(m). Ⅲ.隨堂練習
1.如圖，一燈柱AB 被
一鋼纜CD 固定，CD 與地面
成40°夾角，且DB ＝5 m ，
現再在C 點上方2m 處加固
另一條鋼纜ED ，那麼鋼纜
ED 的長度為多少?
解：在Rt △CBD 中，∠CDB=40°，DB=5 m ，sin40°= DB BC ，BC=DBsin40°=5sin40°(m).
在Rt △EDB 中，DB=5 m ，
BE=BC+EC ＝2+5sin40°(m).
根據畢氏定理，得DE=2222)40sin 52(5︒++=+BE DB ≈7.96(m). 所以鋼纜ED 的長度為7.96 m.
2.如圖，水庫大壩的
截面是梯形ABCD ，壩頂AD
＝6 m ，坡長CD ＝8 m.坡底
BC ＝30 m ，∠ADC=135°.
(1)求∠ABC 的大小：
(2)如果壩長100 m.那麼建築這個大壩共需多少土石料?(結果精確到0.01 m 3)
解：過A 、D 分別作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，E 、F 為垂足.
(1)在梯形ABCD 中.∠ADC ＝135°，
∴∠FDC ＝45°，EF ＝AD=6 m.在Rt △FDC 中，DC ＝8 m.DF
＝FC ＝CD.sin45°=42 (m). ∴BE=BC-CF-EF=30-42-6=24-42(m).
在Rt △AEB 中，AE ＝DF=42 (m).
tanABC ＝262242424-=-=BE AE ≈0.308.
∴∠ABC ≈17°8′21″.
(2)梯形ABCD 的面積S ＝2
1(AD+BC)×AE
= 21(6+30)×4 2=722 (m 2). 壩長為100 m ，那麼建築這個大壩共需土石料100×722 ≈10182.34(m 3).
綜上所述，∠ABC ＝17°8′21″，建築大壩共需10182.34 m 3土石料.
Ⅳ.課時小結
本節課我們運用三角函數解決了與直角三角形有關的實際問題，提高了我們分析和
解決實際問題的能力.
其實，我們這一章所學的內容屬於“三角學”的範疇.請同學們閱讀“讀一讀”，瞭解“三角學”的發展，相信你會對“三角學”更感興趣.
Ⅴ.課後作業
習題1.6第1、2、3題.
Ⅵ.活動與探究
(2003年貴州貴
陽)如圖，某貨船以
20海裡／時的速度
將一批重要物資由A
處運往正西方向的B
處，經16小時的航行到達，到達後必須立即卸貨.此時.接到氣象部門通知，一颱風中心正以40海裡／時的速度由A 向北偏西60°方向移動，距颱風中心200海裡的圓形區域(包括邊界)均受到影響.
(1)問：B 處是否會受到颱風的影響?請說明理由.
(2)為避免受到颱風的影響，該船應在多少小時內卸完貨物?(供選用數據：2≈1.4，
3 ≈1.7)
[過程]這是一道需借助三角知識解決的應用問題，需抓住問題的本質特徵.在轉化、抽象成數學問題上下功夫.
[結果](1)過點B 作BD ⊥AC.垂足為D.
依題意，得∠BAC ＝30°，在Rt △ABD 中，BD=
21AB=2
1×20×16=160＜200，
∴B 處會受到颱風影響.
(2)以點B 為圓心，200海裡為半徑畫圓交AC 於E 、F ，由畢氏定理可求得DE=120. AD=1603.
AE=AD-DE=1603 -120，
∴
40120
3
160 =3.8(小時).
因此，陔船應在3.8小時內卸完貨物.
板書設計
§1.4 船有觸礁的危險嗎
一、船布觸礁的危險嗎
1.根據題意，畫出示意圖.將實際問題轉化為數學問題.
2.用三角函數和方程的思想解決關於直角三角形的問題.
3.解釋最後的結果.
二、測量塔高
三、改造樓梯。