题目1：波动方程的导出

波动方程的导出——弦的横振动
柔软
只有张力 力沿切线方向
细长
重力忽略 线密度是常数 无纵振动 邻点位移差小
微振
导出的步骤
1：建坐标，定自变量和因变量 2: 取局部，分析相互制约关系
3：理关系，转换成偏微分方程
1：建坐标，定自变量，因变量
u
u
横向
0
l
l
x 纵向
自变量：位置 x 和时间 t
因变量：横向位移 u ( x, t )
2: 取局部，分析相互制约关系
牛顿第二定律
2u F ma m 2 t
T x cos1
T x x sin 2
T ( x x)
2
T x x cos 2
1
T ( x)
T x sin 1
x方向：
T x x cos2 T x cos1 0
u方向： T x x sin 2 T x sin 1 (s)utt
3：理关系，转换成偏微分方程
泰勒级数展开
cos 1
2
2 1 0 1 2!
3
sin 1!
3!
0 tan
数学物理方法
Mathematical Methods for Physics
数理方法是链接数学和物理的桥梁
“数学是数学，物理是物理，但物理可
以通过数学的抽象而受益，而数学则可
以通过物理的见识而受益。”
——莫尔斯
§ 7.1
波动方程的导出
The derivation of wave equations
结
2.均匀弦微小横振动 的 波动方程：
utt a uxx f x, t
2
f x, t 0 f x, t 0
自由振动 受迫振动
3
波动方程:
utt a uxx 0
2
自由 振动
a ——振动在弦上的传播速度，单位m/s
推 广：受迫振动
情况：存在外力
, t B段的 分析：设单位长度受到横向外力 F x， 受力为 F x, t。 x
方程: T sin 2 T sin 1 F x, t x mutt 波动方程
x
2: 取局部，分析相互制约关系
u x, t
1
T ( x)
s
T ( x x)
2
B
0
tan 1
x x x
l
x
u x, t ux x, t x x
u x, t tan 2 ux x x, t x x x
2 s x 1 u x x
utt a uxx f
2
x, t
m s2
受迫 振动
f x, t
F x, t

力密度，单位
作业：受迫振动的导出
波动方程的应用
波动方程的应用
小
1.波动方程的导出步骤：
（1）建坐标，定自变量因 变量
（2）取局部、分析相互制约 关系 （3）理关系，转换成偏微分 方程