人教B版高中数学必修第二册精品课件 第六章 6.2.1 向量基本定理
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(2)若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量.( √ )
(3)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基
底.( × )
(4)若e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表
示该平面内的所有向量.( √ )
(5)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d.( × )
=a, =b,试用 a,b 表示, , .
1
1
1
解: = + = + 2 = + 2 =a+2b,
1
1
1
= + = + 2 = + 2 = 2a+b,
1
1
1 1
= − = 2 + − + 2 =-2a+2b.
示 , , .
1
1
1 1
解: = + = + 2 =a+2(b-a)=2a+2b;
1
1
2 1
= + = + 3 =a+3(b-a)=3a+3b;
2
2
1 2
= + = + 3 =a+3(b-a)=3a+3b.
3
3
= 4 +s( − )=4(1-s)a+sb,
9
3
= 10 ,
(1-) = ,
4
3
所以
解得
2
3
= 3 ,
= 5,
所以 =
3
3
a+5b.
10
【思想方法】
用方程思想求解向量问题
【典例】 已知非零向量e1和e2不共线,欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数
k的值.
为
.
1
1
3
1
解析: = + = + = + ( − )= + =
4
4
4
4
3 1
a+ b.
4 4
3 1
答案: a+ b
4 4
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)若b与a共线,则存在实数λ,使得b=λa.( × )
于是有
解得
1
2
= + ,
= (2-).
2322来自故 = 3(2d-c), = 3(2c-d).
反思感悟
由平面向量基本定理知,只要基底{a,b}确定,平面内的任何向量都可以用
基底表示,且结果唯一.
【变式训练 2】 如图,设 M,N,P 是△ABC 三边上的点,且 =
1
,
∴ = ,
∴, 共线.
又两向量有公共点 B,∴A,B,D 三点共线.
答案:B
)
2.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么(
)
A.若实数λ1,λ2,使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ1,λ2是实数
C.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面α内
2
1
=(1-μ)+μ =(1-μ)b+4μa.
1
6
1- = 4 ,
= 7,
∴ 1
解得
4
= 1-,
= 7.
2
1 3
∴ = a+ b.
7 7
反思感悟
平面上的基底一旦确定,任何向量用此基底表示的结果是唯一的,这就是求
解此类问题的理论依据.
【变式训练 3】 在△OAB 中,=a,=b,点 M 是边 AB 上靠近 B 的一个三
延伸探究
在例 2 的平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点.已知=c,=d,
试用 c,d 表示, .
解:设=a,=b,
因为 M,N 分别为 CD,BC 的中点,
1
1
所以 = b, = a,
2
2
2
1
= (2-),
= + 2 ,
3
∴-3i+(1-λ)j=ki+2kj,
-3 = ,
∴
解得 λ=7.
1- = 2,
答案:7
随堂练习
1.已知=a+4b, =2b-a, =2(a+b),则(
A.A,B,C三点共线
B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线
D.B,C,D三点共线
解析:∵ + = =a+4b,
等分点,点 N 是边 OA 上靠近 A 的一个四等分点.若 OM 与 BN 相交于点 P,试
用 a,b 表示.
解: = + = +
2
3
= +
2
(
3
−
1
2
)= a+ b.
3
3
因为与共线,
所以可设=t =
2
a+ 3 b(t∈R).
3
又与共线,可设=s(s∈R), = +s
第六章
6.2.1 向量基本定理
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解共线向量基本定理和平面向量基本定理.
2.能够利用共线向量基本定理求解共线问题.
3.能灵活应用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互
表示.
4.加强直观想象、逻辑推理和数学运算能力的培养.
分析:根据两向量共线及e1,e2为非零向量列方程组求解.
解: 若ke1+e2与e1+ke2共线,则一定存在λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),
即(k-λ)e1=(λk-1)e2.
由于e1与e2不共线,
- = 0,
因此只能有
-1 = 0,
则k=±1.
反思感悟
本题求解的依据是共线向量基本定理和平面向量基本定理,根据向量共线
合作探究 释疑解惑
探究一
共线向量定理的应用
【例 1】 已知非零向量 e1,e2 不共线,=e1+e2, =2e1+8e2, =3e1-3e2,试判
断:
(1)与是否共线;
(2)与是否共线.
分析:利用共线向量定理判断.
解:(1)∵ = + =(e1+e2)+(2e1+8e2)=3e1+9e2,又=e1+e2,
3
=
1
.若 =a, =b,试用
3
a,b 将, , 表示出来.
1
2
1 2
解: = − = 3 − 3 = 3a-3b,
1
2
1 2
2 1
= − =-3 − 3 =-3b-3(a-b)=-3a+3b,
1
=-=-( + )=3(a+b).
列出方程(组)从而求出相关参数值.
【变式训练】 已知 i,j 是两个不共线的向量, =i+2j,=i+λj, =-2i+j.若
A,B,D 三点共线,则实数 λ 的值为
.
解析: = − =(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j.
∵A,B,D 三点共线,
∴存在实数 k,使得=k,
C.a=i,b=3j+i
D.a=2e1+3e2,b=2e1-e2
答案:A
)
二、平面向量基本定理
1.给出力F,任给两个不在同一直线上的方向,F是否一定可以在这两个方向
上进行分解?若可以,则有多少种不同的分解结果?
提示:一定可以;一种.
2.平面向量基本定理.
如果平面内两个向量a与b 不共线 ,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一
D.对平面α中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
解析:平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式,而不是空间内任一
向量,故B不正确;对任意实数λ1,λ2,向量λ1e1+λ2e2一定在平面α内;对平面α中
的任一向量a,实数λ1,λ2是唯一的.
答案:A
3.如图,已知 E,F 分别是矩形 ABCD 的边 BC,CD 的中点,EF 与 AC 交于点 G.
若 =a, =b,用 a,b 表示 =
.
1 1
1 1 1
解析: = + = + − =a+ b- =a+ b- ·
2 2
2 2 2
1 1
3 3
=a+ b- (a-b)= a+ b.
2 4
4 4
3 3
答案: a+ b
4 4
4.如图,设 O 是▱ABCD 两对角线的交点,有下列向量组:① 与;②与;
1
,
3
=
探究三
平面向量基本定理的应用
【例 3】 如图,在△OAB 中, =
1
,
4
=
1
,AD
2
与 BC 相交于点 M.设
=a,=b,试用 a,b 表示.
分析:利用不同的三角形或平行四边形,用a,b将 表示出来,再根据“唯
一性”确定相关参数.
1
解:由题意知,存在 λ,μ∈R,使得=(1-λ)+λ=(1-λ)a+ λb,
自主预习 新知导学
一、共线向量基本定理
1.若a=λb(λ∈R),则是否一定有a∥b?若a∥b,则是否一定有a=λb(λ∈R)?
提示:一定;不一定.
2.(1)共线向量基本定理.
如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得 b=λa .
在共线向量基本定理中:①b=λa时,通常称为b能用a表示.②其中的“唯一”
∴不存在 λ∈R,使 =λ,
∴与 不共线.
(2)∵ = + + =(e1+e2)+(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=6e1+6e2,
5
= + =(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=5e1+5e2=6 ,
∴与共线.
反思感悟
的实数对(x,y),使得c= xa+yb .
其中a与b组成的集合{a,b},常称为该平面上向量的一组基底,此时如果
c=xa+yb,则称 xa+yb 为c在基底{a,b}下的分解式.
3.基底{a,b}中可以有0吗?
提示:不可以.
1
4.在△ABC 中,设 =a, =b,点 D 在边 BC 上,且 BD=3DC,则 用 a,b 表示
③与;④与.其中可作为该平面内所有向量基底的
是
.(填序号)
解析: 与不共线, ∥ , 与不共线, ∥ ,则①③可以作为该
平面内所有向量的基底.
答案:①③
5.在△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点.若 =a, =b,用 a,b 表
“若a=λb(λ∈R),则a∥b”是证明向量共线的重要依据和方法.
【变式训练1】 已知e1,e2不共线,若a=3e1-4e2,b=6e1+ke2,则当k=_______
时,a∥b.
答案:-8
探究二
用基底表示平面内的向量
【例 2】 如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点.已知
指的是,如果还有b=μa,则有 λ=μ .
(2)如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得
=λ .
3.“存在λ∈R,使b=λa”是“b∥a”的什么条件?
提示:充分不必要.
4.下列各组向量中,一定有a∥b的是(
A.a=3e,b=-0.1e
B.a=m+n,b=m-n
本 课 结 束
(3)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基
底.( × )
(4)若e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表
示该平面内的所有向量.( √ )
(5)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d.( × )
=a, =b,试用 a,b 表示, , .
1
1
1
解: = + = + 2 = + 2 =a+2b,
1
1
1
= + = + 2 = + 2 = 2a+b,
1
1
1 1
= − = 2 + − + 2 =-2a+2b.
示 , , .
1
1
1 1
解: = + = + 2 =a+2(b-a)=2a+2b;
1
1
2 1
= + = + 3 =a+3(b-a)=3a+3b;
2
2
1 2
= + = + 3 =a+3(b-a)=3a+3b.
3
3
= 4 +s( − )=4(1-s)a+sb,
9
3
= 10 ,
(1-) = ,
4
3
所以
解得
2
3
= 3 ,
= 5,
所以 =
3
3
a+5b.
10
【思想方法】
用方程思想求解向量问题
【典例】 已知非零向量e1和e2不共线,欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数
k的值.
为
.
1
1
3
1
解析: = + = + = + ( − )= + =
4
4
4
4
3 1
a+ b.
4 4
3 1
答案: a+ b
4 4
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)若b与a共线,则存在实数λ,使得b=λa.( × )
于是有
解得
1
2
= + ,
= (2-).
2322来自故 = 3(2d-c), = 3(2c-d).
反思感悟
由平面向量基本定理知,只要基底{a,b}确定,平面内的任何向量都可以用
基底表示,且结果唯一.
【变式训练 2】 如图,设 M,N,P 是△ABC 三边上的点,且 =
1
,
∴ = ,
∴, 共线.
又两向量有公共点 B,∴A,B,D 三点共线.
答案:B
)
2.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么(
)
A.若实数λ1,λ2,使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ1,λ2是实数
C.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面α内
2
1
=(1-μ)+μ =(1-μ)b+4μa.
1
6
1- = 4 ,
= 7,
∴ 1
解得
4
= 1-,
= 7.
2
1 3
∴ = a+ b.
7 7
反思感悟
平面上的基底一旦确定,任何向量用此基底表示的结果是唯一的,这就是求
解此类问题的理论依据.
【变式训练 3】 在△OAB 中,=a,=b,点 M 是边 AB 上靠近 B 的一个三
延伸探究
在例 2 的平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点.已知=c,=d,
试用 c,d 表示, .
解:设=a,=b,
因为 M,N 分别为 CD,BC 的中点,
1
1
所以 = b, = a,
2
2
2
1
= (2-),
= + 2 ,
3
∴-3i+(1-λ)j=ki+2kj,
-3 = ,
∴
解得 λ=7.
1- = 2,
答案:7
随堂练习
1.已知=a+4b, =2b-a, =2(a+b),则(
A.A,B,C三点共线
B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线
D.B,C,D三点共线
解析:∵ + = =a+4b,
等分点,点 N 是边 OA 上靠近 A 的一个四等分点.若 OM 与 BN 相交于点 P,试
用 a,b 表示.
解: = + = +
2
3
= +
2
(
3
−
1
2
)= a+ b.
3
3
因为与共线,
所以可设=t =
2
a+ 3 b(t∈R).
3
又与共线,可设=s(s∈R), = +s
第六章
6.2.1 向量基本定理
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解共线向量基本定理和平面向量基本定理.
2.能够利用共线向量基本定理求解共线问题.
3.能灵活应用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互
表示.
4.加强直观想象、逻辑推理和数学运算能力的培养.
分析:根据两向量共线及e1,e2为非零向量列方程组求解.
解: 若ke1+e2与e1+ke2共线,则一定存在λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),
即(k-λ)e1=(λk-1)e2.
由于e1与e2不共线,
- = 0,
因此只能有
-1 = 0,
则k=±1.
反思感悟
本题求解的依据是共线向量基本定理和平面向量基本定理,根据向量共线
合作探究 释疑解惑
探究一
共线向量定理的应用
【例 1】 已知非零向量 e1,e2 不共线,=e1+e2, =2e1+8e2, =3e1-3e2,试判
断:
(1)与是否共线;
(2)与是否共线.
分析:利用共线向量定理判断.
解:(1)∵ = + =(e1+e2)+(2e1+8e2)=3e1+9e2,又=e1+e2,
3
=
1
.若 =a, =b,试用
3
a,b 将, , 表示出来.
1
2
1 2
解: = − = 3 − 3 = 3a-3b,
1
2
1 2
2 1
= − =-3 − 3 =-3b-3(a-b)=-3a+3b,
1
=-=-( + )=3(a+b).
列出方程(组)从而求出相关参数值.
【变式训练】 已知 i,j 是两个不共线的向量, =i+2j,=i+λj, =-2i+j.若
A,B,D 三点共线,则实数 λ 的值为
.
解析: = − =(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j.
∵A,B,D 三点共线,
∴存在实数 k,使得=k,
C.a=i,b=3j+i
D.a=2e1+3e2,b=2e1-e2
答案:A
)
二、平面向量基本定理
1.给出力F,任给两个不在同一直线上的方向,F是否一定可以在这两个方向
上进行分解?若可以,则有多少种不同的分解结果?
提示:一定可以;一种.
2.平面向量基本定理.
如果平面内两个向量a与b 不共线 ,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一
D.对平面α中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
解析:平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式,而不是空间内任一
向量,故B不正确;对任意实数λ1,λ2,向量λ1e1+λ2e2一定在平面α内;对平面α中
的任一向量a,实数λ1,λ2是唯一的.
答案:A
3.如图,已知 E,F 分别是矩形 ABCD 的边 BC,CD 的中点,EF 与 AC 交于点 G.
若 =a, =b,用 a,b 表示 =
.
1 1
1 1 1
解析: = + = + − =a+ b- =a+ b- ·
2 2
2 2 2
1 1
3 3
=a+ b- (a-b)= a+ b.
2 4
4 4
3 3
答案: a+ b
4 4
4.如图,设 O 是▱ABCD 两对角线的交点,有下列向量组:① 与;②与;
1
,
3
=
探究三
平面向量基本定理的应用
【例 3】 如图,在△OAB 中, =
1
,
4
=
1
,AD
2
与 BC 相交于点 M.设
=a,=b,试用 a,b 表示.
分析:利用不同的三角形或平行四边形,用a,b将 表示出来,再根据“唯
一性”确定相关参数.
1
解:由题意知,存在 λ,μ∈R,使得=(1-λ)+λ=(1-λ)a+ λb,
自主预习 新知导学
一、共线向量基本定理
1.若a=λb(λ∈R),则是否一定有a∥b?若a∥b,则是否一定有a=λb(λ∈R)?
提示:一定;不一定.
2.(1)共线向量基本定理.
如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得 b=λa .
在共线向量基本定理中:①b=λa时,通常称为b能用a表示.②其中的“唯一”
∴不存在 λ∈R,使 =λ,
∴与 不共线.
(2)∵ = + + =(e1+e2)+(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=6e1+6e2,
5
= + =(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=5e1+5e2=6 ,
∴与共线.
反思感悟
的实数对(x,y),使得c= xa+yb .
其中a与b组成的集合{a,b},常称为该平面上向量的一组基底,此时如果
c=xa+yb,则称 xa+yb 为c在基底{a,b}下的分解式.
3.基底{a,b}中可以有0吗?
提示:不可以.
1
4.在△ABC 中,设 =a, =b,点 D 在边 BC 上,且 BD=3DC,则 用 a,b 表示
③与;④与.其中可作为该平面内所有向量基底的
是
.(填序号)
解析: 与不共线, ∥ , 与不共线, ∥ ,则①③可以作为该
平面内所有向量的基底.
答案:①③
5.在△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点.若 =a, =b,用 a,b 表
“若a=λb(λ∈R),则a∥b”是证明向量共线的重要依据和方法.
【变式训练1】 已知e1,e2不共线,若a=3e1-4e2,b=6e1+ke2,则当k=_______
时,a∥b.
答案:-8
探究二
用基底表示平面内的向量
【例 2】 如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点.已知
指的是,如果还有b=μa,则有 λ=μ .
(2)如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得
=λ .
3.“存在λ∈R,使b=λa”是“b∥a”的什么条件?
提示:充分不必要.
4.下列各组向量中,一定有a∥b的是(
A.a=3e,b=-0.1e
B.a=m+n,b=m-n
本 课 结 束