冀教版数学八下课件第2课时平行四边形的性质定理2
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22.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的性质定理2
冀教版 八年级下册
知识回顾
平行四边形的性质
A B C D
B
A D
O
C
研究对象 对边 对角 邻角 对角线
研究结果
平行且相等
几何表示
AB＝ ∥CD，AD ∥BC ＝ ∠A＝∠C,∠B＝∠D
∠A＋∠B＝180°
相等
互补
A
D O ●
B 再看一遍
C
典例解析
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到 例 1
晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地， 由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩 子，他是这样分的：
老大 老二 老三 老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少， 同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
老人分地合理吗？
●
O
3
2
●
F
B
解：OE=OF C ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD OA=0C ∴∠OAE=∠OCE 又对顶角∠AOE=∠COF ∴△AOE≌△COF(ASA) ∴OE=OF
在上述问题中,若直线EF绕与边DA、BC的延长 线交于点E、F,（如图2）,上述结论是否仍然 成立？试说明理由。
A E ●
A O ● B C
D
结论
●
ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合， 这时我们说 ABCD是中心对称图形，点O叫 对称中心。
●
平行四边形的对角线互相平分.
你能证明 它吗？
证明：平行四边形的对角线互相平分.
已知：如图： ABCD的对角线AC、BD 相交于点O. A 1 求证：OA=OC，OB=OD. O
10
●
O
∴BC=AD=8，CD=AB=10 B C 又∵AC⊥BC ∴△ABC是直角三角形
∴ AC
AB BC 102 82 6 1 又∵OA=OC ∴ OA AC 3
2 2
∴S
2
ABCD = BC×AC=8×6=48
随堂训练
1. 平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是 （ B ） A.不稳定性 B.对角线互相平分 C.内角和为360°D.外角和为360° 2.若平行四边形的一边长为５,则它的两条对角线 长可以是( D ) C A Ａ.12和２ Ｂ.３和４ O Ｃ.４和６ Ｄ.４和８
B
D
3.如图，在平面直角坐标系中， OBCD的顶点 O﹑B﹑D的坐标如图所示，则顶点C的坐标为（ C A.(3,7) B.(5,3) Y
D(2,3) C B(5,0) x
）
C.(7,3)
D.(8,2)
O (0,0)
4.如图，在
ABCD中，对角线AC,
BD交于点O，AC＝10，BD=8,则 AD的取值范围是.1＜AD＜9
A
老大 老二
●
D O
M 老三
老四
B
C
补充性质
5.平行四边形被两条对角线分成 的四个三角形中相邻的两个三 角形周长之差等于邻边之差.
AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的 长以及 ABCD的面积. A 8 D
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
例2 如图，四边形ABCD是平行四边形，
D
●
A
●
D
●
E
O
●
O
F
●
F
B
(1)
C
B
(2)
C
在上述问题中,若将直线EF绕点O旋转至下 图（3）的位置时,上述结论是否仍然成立？ 若此时再与两边延长线相交呢？ ● E A E
E
●
D
A
E
●
D
●
O
F
●
O
B
(3) F (1)
C
B
(4) (3) F (4)
C F●
小结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形 的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等。
平行四边形的性质
A B C D
B A O D
C
研究对象 对边
研究结果
平行且相等 相等 互补 互相平分
几何表示
AB∥CD，AD∥BC ＝ ＝ ∠A＝∠C,∠B＝∠D ∠A＋∠B＝180° OA=OC,OB=OD
对角
邻角
对角线
Байду номын сангаас
D
O
●
C B
A
5.如图,在 ABCD中, 对角线AC﹑
A O C
D
BD相交于点O,且AC+BD=20, △AOB的
5 周长等于15,则CD=______.
B
6.ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF过点 O与AB 、 CD分别相交于E 、F,试探究OE与OF的大小关系并说明 理由。 A D ● 1 4 E
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形 B ∴AD=BC，AD∥BC ∴∠1=∠4，∠2=∠3 ∴△AOD≌△COB(ASA) ∴ OA=OC，OB=OD
3 4
D
2
C
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC
A
O
D C
B
OB=OD
补充性质
1.平行四边形是中心对称图形. 2.平行四边形具有不稳定性,内角和，外角和 都是360°. 3.平行四边形被对角线分成四对全等的三角形 4.平行四边形被一条对角线分成的两个三角形 面积相等，都等于平行四边形面积的一半.平 行四边形被两条对角线分成的四个三角形面 积都相等，都等于平行四边形面积的1/4.
第2课时 平行四边形的性质定理2
冀教版 八年级下册
知识回顾
平行四边形的性质
A B C D
B
A D
O
C
研究对象 对边 对角 邻角 对角线
研究结果
平行且相等
几何表示
AB＝ ∥CD，AD ∥BC ＝ ∠A＝∠C,∠B＝∠D
∠A＋∠B＝180°
相等
互补
A
D O ●
B 再看一遍
C
典例解析
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到 例 1
晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地， 由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩 子，他是这样分的：
老大 老二 老三 老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少， 同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
老人分地合理吗？
●
O
3
2
●
F
B
解：OE=OF C ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD OA=0C ∴∠OAE=∠OCE 又对顶角∠AOE=∠COF ∴△AOE≌△COF(ASA) ∴OE=OF
在上述问题中,若直线EF绕与边DA、BC的延长 线交于点E、F,（如图2）,上述结论是否仍然 成立？试说明理由。
A E ●
A O ● B C
D
结论
●
ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合， 这时我们说 ABCD是中心对称图形，点O叫 对称中心。
●
平行四边形的对角线互相平分.
你能证明 它吗？
证明：平行四边形的对角线互相平分.
已知：如图： ABCD的对角线AC、BD 相交于点O. A 1 求证：OA=OC，OB=OD. O
10
●
O
∴BC=AD=8，CD=AB=10 B C 又∵AC⊥BC ∴△ABC是直角三角形
∴ AC
AB BC 102 82 6 1 又∵OA=OC ∴ OA AC 3
2 2
∴S
2
ABCD = BC×AC=8×6=48
随堂训练
1. 平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是 （ B ） A.不稳定性 B.对角线互相平分 C.内角和为360°D.外角和为360° 2.若平行四边形的一边长为５,则它的两条对角线 长可以是( D ) C A Ａ.12和２ Ｂ.３和４ O Ｃ.４和６ Ｄ.４和８
B
D
3.如图，在平面直角坐标系中， OBCD的顶点 O﹑B﹑D的坐标如图所示，则顶点C的坐标为（ C A.(3,7) B.(5,3) Y
D(2,3) C B(5,0) x
）
C.(7,3)
D.(8,2)
O (0,0)
4.如图，在
ABCD中，对角线AC,
BD交于点O，AC＝10，BD=8,则 AD的取值范围是.1＜AD＜9
A
老大 老二
●
D O
M 老三
老四
B
C
补充性质
5.平行四边形被两条对角线分成 的四个三角形中相邻的两个三 角形周长之差等于邻边之差.
AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的 长以及 ABCD的面积. A 8 D
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
例2 如图，四边形ABCD是平行四边形，
D
●
A
●
D
●
E
O
●
O
F
●
F
B
(1)
C
B
(2)
C
在上述问题中,若将直线EF绕点O旋转至下 图（3）的位置时,上述结论是否仍然成立？ 若此时再与两边延长线相交呢？ ● E A E
E
●
D
A
E
●
D
●
O
F
●
O
B
(3) F (1)
C
B
(4) (3) F (4)
C F●
小结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形 的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等。
平行四边形的性质
A B C D
B A O D
C
研究对象 对边
研究结果
平行且相等 相等 互补 互相平分
几何表示
AB∥CD，AD∥BC ＝ ＝ ∠A＝∠C,∠B＝∠D ∠A＋∠B＝180° OA=OC,OB=OD
对角
邻角
对角线
Байду номын сангаас
D
O
●
C B
A
5.如图,在 ABCD中, 对角线AC﹑
A O C
D
BD相交于点O,且AC+BD=20, △AOB的
5 周长等于15,则CD=______.
B
6.ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF过点 O与AB 、 CD分别相交于E 、F,试探究OE与OF的大小关系并说明 理由。 A D ● 1 4 E
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形 B ∴AD=BC，AD∥BC ∴∠1=∠4，∠2=∠3 ∴△AOD≌△COB(ASA) ∴ OA=OC，OB=OD
3 4
D
2
C
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC
A
O
D C
B
OB=OD
补充性质
1.平行四边形是中心对称图形. 2.平行四边形具有不稳定性,内角和，外角和 都是360°. 3.平行四边形被对角线分成四对全等的三角形 4.平行四边形被一条对角线分成的两个三角形 面积相等，都等于平行四边形面积的一半.平 行四边形被两条对角线分成的四个三角形面 积都相等，都等于平行四边形面积的1/4.