噪声与随机信号分析
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•48
利用星座图观察噪声
• 正确的加噪声方法是给实部和虚部分别加噪声 • xnoisy_real = real(x) + sigma * randn(size(x)); • xnoisy_imag = imag(x) + sigma * randn(size(x)); • xnoisy = xnoisy_real + i * xnoisy_imag;
•22
问题扩展
• 同样的信号重复发送两次，两次的幅度可能 不同，经过信道叠加噪声之后分别为
和
，接收端对两个接收信号以一定
比例合并：
• 讨论：接收端以怎样的比例合并可以使接收 信噪比达到最大？
•23
问题分析
已知：
求为了使： 假设：1. 每次发送时的加性高斯噪声功率不变
2. 原始信号功率 3. 原始信噪比
自相关函数的性质： 偶函数
是不随t 变化的，其值只是与 其中 =t1-t2
•60
宽平稳随机过程：过程的均值与时间无关，此时只需满足
关于平稳随机过程： 狭义平稳：p(x)不随时间变化； 宽平稳： 不随时间变化，即x(t)的均值不随时间变化。 自协方差函数 对于平稳过程
•61
62
自相关函数
• 连续函数自相关函数
•6
通信系统中常常使用误差函数计算高斯分布函数中的小概率 事件所占的比例
• 标准正态分布 • 误差函数
高 斯 通 道 下 当发射 +1与 - 1的 概率 相 同时，得到的接收信号pdf函数为：
• 互补误差函数
•7
• 误差函数和互补误差函数的主要性质
•8
• 误差函数的其他表示方法
许多通信系统采用Q(X)函数表示误码率
1
数字通信 ( 第六讲) 噪声与随机信号分析
2015 Yuping Zhao (Professor) Department of Electronics Peking University Beijing 100871, China
email: yuping.
•1
通信中的常见噪声分析
•2
白噪声
• 白噪声的定义：功率谱密度函数在整个频域(-∞<ω<+∞)内
•44
利用星座图观察噪声
• 错误的星座图1 • 噪声实部大于虚部
•45
利用星座图观察噪声
• 错误的星座图2 • 噪声仅有实部
•46
利用星座图观察噪声
• xnoisy = x + sigma * randn(size(x));
•47
利用星座图观察噪声
• xnoisy = x + sigma * randn(size(x)) * (1 + i);
•9
两种误差函数关系的推导
•10
带通系统中的高斯噪声
1 定义与表达式
• 高斯噪声通过以ωc 为中心的窄带系统可形成窄带高斯噪声。 • 特点：频谱局限在±ωc 附件很窄的频率范围内，包络和相
位作缓慢随机变化。 • 窄带高斯噪声 n(t) 可表示为
ρ(t)为噪声 n(t)的随机包络，φ(t)为噪声 n(t)的随机相位。
x
定义归一化随机变量 (零均值和单位方差)
令 当n 时，Y 的极限分布为高斯分布。
•33
高斯信号产生方法 1 [0~1] 的均匀分布(一次记录)
rand();
•34
多次 [0~1] 的均匀分布的PDF直方图
•35
6次事件相加，高斯分布？
•36
60次事件相加，高斯分布？
•37
随机变量的函数
设随机变量 X，已知其概率密度函数为 p(x)，设有另一 个随机变量 Y 可以表示成 X 的确定函数。
求Y的pdf函数 第一步：确定Y 的概率分布函数
0
x
•39
第二步：微分，得到Y的概率密度函数 则 也可以写成 上述的结果相应的是方程的两个解。
•40
一般情况，如果x1, x2, ..., xn 是方程g(x)=y 的实数解(即 用y表示的解)，x的概率密度函数为p(x)，则随机变量 Y=g(X) 的概率密度函数为
意义：函数值v(t)与自身平移 后的函数值v(t - )之间的 相似性 • 自相关系数：归一化的自相关函数
•62
63
离散序列的自相关函数
• 离散序列的自相关函数
意义：序列x(n)与自身平移m后的值x(n-m)之间的相似性 • 离散序列的自相关系数：自相关函数的归一化
表示过程Xt的平均功率
•63
自相关函数的物理意义： ( )的物理意义在于表征随 机变量x(t)在相隔 时间间隔情况下其取值的相关性（ 相似程度）的平均值。
求随机变量Y 的pdf函数
该问题的引申： -- 给定某随机序列并已知其概率密度函数，将该随机序列进 行特定变换后得到序列的pdf函数是什么？ -- 给定某随机序列并已知其概率密度函数，现在需要根据该 随机序列得到符合某种pdf函数的随机序列，如何进行？
•38
例：设随机变量 X，概率密度函数给定 p(x)，另一个随 机变量 Y 定义为：
• 接收机的主要工作是根据接收信号估计出发射信号：
• 系统评估准则（使误差最小化）：
•15
在任何通信系统中，高斯噪声都是存在的，它作为加性噪 声叠加到接收信号上 • 高斯噪声的表达式
•16
联合事件
考虑两个事件，其联合概率记做 P(A, B)，联合概 率满足以下条件
; 且
;
•17
统计独立
事件A 的发生不依赖事件B 的发生，即
•54
•55
多维随机变量联合概率分布函数和概率密度函数 离散序列（时间、幅度均离散）：
•56
几个概率统计函数的定义
均值
N 阶矩
N 阶中心矩 方差
•57
随机过程
随机过程是带有参数t的随机变量，t一般是时间。 在任一确定时刻，随机过程都是一个随机变量。随 机过程可以由它的多维联合概率密度函数来描述。 随机变量可以表示为 X(t), X(t)可以是连续的也可 以是离散的。 随机变量的取样: t1> t2> t2>… tn X t1 , X t2 ,… , X t2
X1(t)
X2(t)
()
t
t
()
5 10
5
无线系统实际意义：对于随距离变化的信道参数，以相同的时间间隔，
不同的移动速度取样
•65
66
互相关函数
• 设实信号为 v(t) 与 w(t)，为考察两函数的相似性，定义
互相关函数
为：
意义：函数 v(t) 与函数 w(t) 平移 后之间的相似性。 相关函数与信号幅度有关!
关于最大比合并中噪声的讨论
要保证接收信号的信噪比 为某一确定值，在采样率 确定情况下，如何在信号 采样点上加噪声？
•31
高斯信号的产生方法
• 应用中心极限定理 • 应用随机信号的函数的方法
• i=1,2,…n 是统计独立且同分布的随机变量，
有限均值mx，有限方差
2。
•49
利用星座图观察噪声
• 正确的星座图
•50
不同信噪比下接收信号星座图
•51
随机信号分析
•52
关于发射信号频谱特性的讨论
• 概率论与随机过程的几个基本定义 • 关于独立随机过程 • 关于自相关函数 • 关于两个随机变量的互相关函数 • 关于功率谱密度
•53
概率分布函数 (cdf) 概率密度函数
•11
• 窄带高斯噪声的另外一种表达式为
• 其中 式中 nc(t) 及 ns(t) 分别称为 n(t) 的同相分量和正交分量。
•12
2 统计特性
(1)一个均值为零，方差为σx2 的窄带高斯噪声 n(t)，假定它是
平稳随机过程，则它的同相分量 nc(t)、正交分量 ns(t)同样 是平稳高斯噪声，且均值都为零，方差也相同，即
信噪比的定义为：
•20
解答:
1. 单发一次时，信号能量 2. 若同样信号发送两次，接收端将两次信号相加，则有
此时信号能量为
，噪声方差为
接收信号相加之后，噪声的方差变为 原来的 4 倍。
则信噪比变为：
，信号的幅度加倍，能量则变为
结论：在加性高斯白噪声通道中，若某发射信号重复发射两次， 接收端将两次接收结果相加，则接收信号信噪比有2倍的提高。
•41
高斯信号产生方法 2
产生(0,1)之 间的均匀分
布序列U
[0,2π)之间的 均匀分布θ
（相位）
得到参数为
σ的瑞利分布
X（幅度）
得到N(0,σ2)
的高斯分布 Y（复数）
•42
仿真中出现的实际问题
• 如何观察噪声的大小 • 实部与虚部叠加的噪声方法 • 仿真经验
•43
利用星座图观察噪声
• 正确的星座图
•4
高斯噪声
• 高斯噪声的定义：概率密度函数服从高斯分布（即正态分布）的噪声。
式中，a 为噪声的数学期望值，也就是均值；σ2 为噪声的方差。
• 通常，通信信道中噪声的均值 a=0。
•5
• 在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。 • 因为噪声的平均功率为 • 而噪声的方差为
• 所以 Pn=σ2
是常数的噪声 • 不符合上述条件的噪声称为有色噪声 • 白噪声的功率谱密度函数
n0 是一个常数，单位为W/Hz
•3
白噪声的自相关函数
• 由于功率信号的功率谱密度与其自相关函数 R(τ) 互为傅氏
变换对
• 因此，白噪声的自相关函数为
• 白噪声的自相关函数是一个位于τ=0 处的冲激函数，即白
噪声只有在 n0 /2 时才相关，而在任意两个不同时刻上的 随机取值都是不相关的。
•24
理论推导
接收信号为： 信号平均功率为： 噪声平均功率为： 信噪比为：
•25
理论推导
对 求导： 要使
•26
理论推导
结论：
上述合并方法被称为最大比合并
•27
讨论如下信号的合并方法
当信号有加性高斯噪声， 如何得到最大信噪比的信 号？ 合并后的信噪比增大了多 少倍？
t
T
2T
•28
讨论如下信号的合并方法
其中
这里，σx2、σc2、σs2分别表示窄带高斯噪声 n(t)、同相分量
nc(t)和正交分量 ns(t)的方差（亦即功率）。
•13
(2)一个均值为零，方差为σx2 的窄带高斯噪声 n(t)，假定它是 平稳随机过程，则其随机包络ρ(t) 服从瑞利分布，相位φ(t)
服从均匀分布，即
p(ρ) 和 p(φ) 的波形如下图所示。
•14
在通信系统中，概率论与随机过程是重要的数学工具。
• 接收机的设计：接收机的作用是设法去除信道对随机信源的影响，恢 复出原始的随机信源信号。
• 系统性能评估：性能评估实际上是对接收机恢复原始信源能力的评估。 这种评估一般用错误概率来表示。
• 接收信号的数学描述：
接收信号 信道特征 信源 噪声 （随机） （随机）（随机）（随机）
•58
平稳随机过程（严平稳，狭义平稳）
如果对于所有的t 和n满足 即pdf函数不随时间改变，统计特性不随时间改变。 否则随即过程是非平稳的。
•59
统计平均
随机过程Xt 的两个取样X ti, i=1,2（两个随机变量）。 X ti, i=1,2 的相关函数定义为Xt 的自相关函数
对于平稳过程，有 关，则有：
当信号有加性高斯噪声， 如何得到最大信噪比的信 号？ 合并后的信噪比增大了多 少倍？
t
T
2T
•29
讨论如下信号的合并方法
当接收信号有加性高斯噪 声时，如果发端信号为 Sinc(x)，接收端将信号合 并时，也应采用Sinc(x)作 为其信号加权的权重 这就是接收端最大比合并， 这也是匹配滤波的原理
•30
为了提高接收端的信噪比，可以将一个数据重复发送并在接收端 进行求和，可以提高接收信号的信噪比
•21
扩展： 结论：在加性高斯白噪声通道中，若某发射信号重复发射N次， 接收端将N次接收结果相加，则接收信号信噪比有N倍的提高。
思考题： 假设你在进行通信系统仿真，现在需要仿真系统信噪比为10dB时 的特性，假设发射信号的平均功率为1，需要自己产生高斯噪声 并加到发射信号上，问 1，假设每个信号只传输一次，那么产生的高斯噪声的均值与方 差是多少？ 2，假设同样信号传输8次，那么产生的高斯噪声的均值与方差是 多少？
问题： 1. 某时间函数为f(t) = 1，-∞<t<∞，那么其自相关函数是 怎样的？ 2. 序列为高斯噪声随机序列，序列的每个取值都不具有 相关性，那么其自相关函数是怎样的？
•64
例：随机函数的变化快慢与自相关函数的对应关系 设：1. X1(t)较之X2(t)随时间变化慢。2. 两随机函数采样时间间隔相同 问：如下两个自相关函数的图分别对应X1(t)与X2(t)中的哪一个？
高斯噪声符合这一准则：
•18
随机变量的和
假设 Xi, i=1,2,…n 是统计独立且同分布的随机变量， 有限均值 mx ，有限方差 x2。Y 定义为归一化总和， 称为样本平均
Y 的均值 Y 的方差
•19
若Y 没有被归一化，即 均值： 方差： 结论:方差只是原来的n倍!
，其它条件同上，则有
问题: 在高斯信道中，将固定数据重复发送后，求系统 信噪比的变化
利用星座图观察噪声
• 正确的加噪声方法是给实部和虚部分别加噪声 • xnoisy_real = real(x) + sigma * randn(size(x)); • xnoisy_imag = imag(x) + sigma * randn(size(x)); • xnoisy = xnoisy_real + i * xnoisy_imag;
•22
问题扩展
• 同样的信号重复发送两次，两次的幅度可能 不同，经过信道叠加噪声之后分别为
和
，接收端对两个接收信号以一定
比例合并：
• 讨论：接收端以怎样的比例合并可以使接收 信噪比达到最大？
•23
问题分析
已知：
求为了使： 假设：1. 每次发送时的加性高斯噪声功率不变
2. 原始信号功率 3. 原始信噪比
自相关函数的性质： 偶函数
是不随t 变化的，其值只是与 其中 =t1-t2
•60
宽平稳随机过程：过程的均值与时间无关，此时只需满足
关于平稳随机过程： 狭义平稳：p(x)不随时间变化； 宽平稳： 不随时间变化，即x(t)的均值不随时间变化。 自协方差函数 对于平稳过程
•61
62
自相关函数
• 连续函数自相关函数
•6
通信系统中常常使用误差函数计算高斯分布函数中的小概率 事件所占的比例
• 标准正态分布 • 误差函数
高 斯 通 道 下 当发射 +1与 - 1的 概率 相 同时，得到的接收信号pdf函数为：
• 互补误差函数
•7
• 误差函数和互补误差函数的主要性质
•8
• 误差函数的其他表示方法
许多通信系统采用Q(X)函数表示误码率
1
数字通信 ( 第六讲) 噪声与随机信号分析
2015 Yuping Zhao (Professor) Department of Electronics Peking University Beijing 100871, China
email: yuping.
•1
通信中的常见噪声分析
•2
白噪声
• 白噪声的定义：功率谱密度函数在整个频域(-∞<ω<+∞)内
•44
利用星座图观察噪声
• 错误的星座图1 • 噪声实部大于虚部
•45
利用星座图观察噪声
• 错误的星座图2 • 噪声仅有实部
•46
利用星座图观察噪声
• xnoisy = x + sigma * randn(size(x));
•47
利用星座图观察噪声
• xnoisy = x + sigma * randn(size(x)) * (1 + i);
•9
两种误差函数关系的推导
•10
带通系统中的高斯噪声
1 定义与表达式
• 高斯噪声通过以ωc 为中心的窄带系统可形成窄带高斯噪声。 • 特点：频谱局限在±ωc 附件很窄的频率范围内，包络和相
位作缓慢随机变化。 • 窄带高斯噪声 n(t) 可表示为
ρ(t)为噪声 n(t)的随机包络，φ(t)为噪声 n(t)的随机相位。
x
定义归一化随机变量 (零均值和单位方差)
令 当n 时，Y 的极限分布为高斯分布。
•33
高斯信号产生方法 1 [0~1] 的均匀分布(一次记录)
rand();
•34
多次 [0~1] 的均匀分布的PDF直方图
•35
6次事件相加，高斯分布？
•36
60次事件相加，高斯分布？
•37
随机变量的函数
设随机变量 X，已知其概率密度函数为 p(x)，设有另一 个随机变量 Y 可以表示成 X 的确定函数。
求Y的pdf函数 第一步：确定Y 的概率分布函数
0
x
•39
第二步：微分，得到Y的概率密度函数 则 也可以写成 上述的结果相应的是方程的两个解。
•40
一般情况，如果x1, x2, ..., xn 是方程g(x)=y 的实数解(即 用y表示的解)，x的概率密度函数为p(x)，则随机变量 Y=g(X) 的概率密度函数为
意义：函数值v(t)与自身平移 后的函数值v(t - )之间的 相似性 • 自相关系数：归一化的自相关函数
•62
63
离散序列的自相关函数
• 离散序列的自相关函数
意义：序列x(n)与自身平移m后的值x(n-m)之间的相似性 • 离散序列的自相关系数：自相关函数的归一化
表示过程Xt的平均功率
•63
自相关函数的物理意义： ( )的物理意义在于表征随 机变量x(t)在相隔 时间间隔情况下其取值的相关性（ 相似程度）的平均值。
求随机变量Y 的pdf函数
该问题的引申： -- 给定某随机序列并已知其概率密度函数，将该随机序列进 行特定变换后得到序列的pdf函数是什么？ -- 给定某随机序列并已知其概率密度函数，现在需要根据该 随机序列得到符合某种pdf函数的随机序列，如何进行？
•38
例：设随机变量 X，概率密度函数给定 p(x)，另一个随 机变量 Y 定义为：
• 接收机的主要工作是根据接收信号估计出发射信号：
• 系统评估准则（使误差最小化）：
•15
在任何通信系统中，高斯噪声都是存在的，它作为加性噪 声叠加到接收信号上 • 高斯噪声的表达式
•16
联合事件
考虑两个事件，其联合概率记做 P(A, B)，联合概 率满足以下条件
; 且
;
•17
统计独立
事件A 的发生不依赖事件B 的发生，即
•54
•55
多维随机变量联合概率分布函数和概率密度函数 离散序列（时间、幅度均离散）：
•56
几个概率统计函数的定义
均值
N 阶矩
N 阶中心矩 方差
•57
随机过程
随机过程是带有参数t的随机变量，t一般是时间。 在任一确定时刻，随机过程都是一个随机变量。随 机过程可以由它的多维联合概率密度函数来描述。 随机变量可以表示为 X(t), X(t)可以是连续的也可 以是离散的。 随机变量的取样: t1> t2> t2>… tn X t1 , X t2 ,… , X t2
X1(t)
X2(t)
()
t
t
()
5 10
5
无线系统实际意义：对于随距离变化的信道参数，以相同的时间间隔，
不同的移动速度取样
•65
66
互相关函数
• 设实信号为 v(t) 与 w(t)，为考察两函数的相似性，定义
互相关函数
为：
意义：函数 v(t) 与函数 w(t) 平移 后之间的相似性。 相关函数与信号幅度有关!
关于最大比合并中噪声的讨论
要保证接收信号的信噪比 为某一确定值，在采样率 确定情况下，如何在信号 采样点上加噪声？
•31
高斯信号的产生方法
• 应用中心极限定理 • 应用随机信号的函数的方法
• i=1,2,…n 是统计独立且同分布的随机变量，
有限均值mx，有限方差
2。
•49
利用星座图观察噪声
• 正确的星座图
•50
不同信噪比下接收信号星座图
•51
随机信号分析
•52
关于发射信号频谱特性的讨论
• 概率论与随机过程的几个基本定义 • 关于独立随机过程 • 关于自相关函数 • 关于两个随机变量的互相关函数 • 关于功率谱密度
•53
概率分布函数 (cdf) 概率密度函数
•11
• 窄带高斯噪声的另外一种表达式为
• 其中 式中 nc(t) 及 ns(t) 分别称为 n(t) 的同相分量和正交分量。
•12
2 统计特性
(1)一个均值为零，方差为σx2 的窄带高斯噪声 n(t)，假定它是
平稳随机过程，则它的同相分量 nc(t)、正交分量 ns(t)同样 是平稳高斯噪声，且均值都为零，方差也相同，即
信噪比的定义为：
•20
解答:
1. 单发一次时，信号能量 2. 若同样信号发送两次，接收端将两次信号相加，则有
此时信号能量为
，噪声方差为
接收信号相加之后，噪声的方差变为 原来的 4 倍。
则信噪比变为：
，信号的幅度加倍，能量则变为
结论：在加性高斯白噪声通道中，若某发射信号重复发射两次， 接收端将两次接收结果相加，则接收信号信噪比有2倍的提高。
•41
高斯信号产生方法 2
产生(0,1)之 间的均匀分
布序列U
[0,2π)之间的 均匀分布θ
（相位）
得到参数为
σ的瑞利分布
X（幅度）
得到N(0,σ2)
的高斯分布 Y（复数）
•42
仿真中出现的实际问题
• 如何观察噪声的大小 • 实部与虚部叠加的噪声方法 • 仿真经验
•43
利用星座图观察噪声
• 正确的星座图
•4
高斯噪声
• 高斯噪声的定义：概率密度函数服从高斯分布（即正态分布）的噪声。
式中，a 为噪声的数学期望值，也就是均值；σ2 为噪声的方差。
• 通常，通信信道中噪声的均值 a=0。
•5
• 在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。 • 因为噪声的平均功率为 • 而噪声的方差为
• 所以 Pn=σ2
是常数的噪声 • 不符合上述条件的噪声称为有色噪声 • 白噪声的功率谱密度函数
n0 是一个常数，单位为W/Hz
•3
白噪声的自相关函数
• 由于功率信号的功率谱密度与其自相关函数 R(τ) 互为傅氏
变换对
• 因此，白噪声的自相关函数为
• 白噪声的自相关函数是一个位于τ=0 处的冲激函数，即白
噪声只有在 n0 /2 时才相关，而在任意两个不同时刻上的 随机取值都是不相关的。
•24
理论推导
接收信号为： 信号平均功率为： 噪声平均功率为： 信噪比为：
•25
理论推导
对 求导： 要使
•26
理论推导
结论：
上述合并方法被称为最大比合并
•27
讨论如下信号的合并方法
当信号有加性高斯噪声， 如何得到最大信噪比的信 号？ 合并后的信噪比增大了多 少倍？
t
T
2T
•28
讨论如下信号的合并方法
其中
这里，σx2、σc2、σs2分别表示窄带高斯噪声 n(t)、同相分量
nc(t)和正交分量 ns(t)的方差（亦即功率）。
•13
(2)一个均值为零，方差为σx2 的窄带高斯噪声 n(t)，假定它是 平稳随机过程，则其随机包络ρ(t) 服从瑞利分布，相位φ(t)
服从均匀分布，即
p(ρ) 和 p(φ) 的波形如下图所示。
•14
在通信系统中，概率论与随机过程是重要的数学工具。
• 接收机的设计：接收机的作用是设法去除信道对随机信源的影响，恢 复出原始的随机信源信号。
• 系统性能评估：性能评估实际上是对接收机恢复原始信源能力的评估。 这种评估一般用错误概率来表示。
• 接收信号的数学描述：
接收信号 信道特征 信源 噪声 （随机） （随机）（随机）（随机）
•58
平稳随机过程（严平稳，狭义平稳）
如果对于所有的t 和n满足 即pdf函数不随时间改变，统计特性不随时间改变。 否则随即过程是非平稳的。
•59
统计平均
随机过程Xt 的两个取样X ti, i=1,2（两个随机变量）。 X ti, i=1,2 的相关函数定义为Xt 的自相关函数
对于平稳过程，有 关，则有：
当信号有加性高斯噪声， 如何得到最大信噪比的信 号？ 合并后的信噪比增大了多 少倍？
t
T
2T
•29
讨论如下信号的合并方法
当接收信号有加性高斯噪 声时，如果发端信号为 Sinc(x)，接收端将信号合 并时，也应采用Sinc(x)作 为其信号加权的权重 这就是接收端最大比合并， 这也是匹配滤波的原理
•30
为了提高接收端的信噪比，可以将一个数据重复发送并在接收端 进行求和，可以提高接收信号的信噪比
•21
扩展： 结论：在加性高斯白噪声通道中，若某发射信号重复发射N次， 接收端将N次接收结果相加，则接收信号信噪比有N倍的提高。
思考题： 假设你在进行通信系统仿真，现在需要仿真系统信噪比为10dB时 的特性，假设发射信号的平均功率为1，需要自己产生高斯噪声 并加到发射信号上，问 1，假设每个信号只传输一次，那么产生的高斯噪声的均值与方 差是多少？ 2，假设同样信号传输8次，那么产生的高斯噪声的均值与方差是 多少？
问题： 1. 某时间函数为f(t) = 1，-∞<t<∞，那么其自相关函数是 怎样的？ 2. 序列为高斯噪声随机序列，序列的每个取值都不具有 相关性，那么其自相关函数是怎样的？
•64
例：随机函数的变化快慢与自相关函数的对应关系 设：1. X1(t)较之X2(t)随时间变化慢。2. 两随机函数采样时间间隔相同 问：如下两个自相关函数的图分别对应X1(t)与X2(t)中的哪一个？
高斯噪声符合这一准则：
•18
随机变量的和
假设 Xi, i=1,2,…n 是统计独立且同分布的随机变量， 有限均值 mx ，有限方差 x2。Y 定义为归一化总和， 称为样本平均
Y 的均值 Y 的方差
•19
若Y 没有被归一化，即 均值： 方差： 结论:方差只是原来的n倍!
，其它条件同上，则有
问题: 在高斯信道中，将固定数据重复发送后，求系统 信噪比的变化