2022届安徽省合肥市高二第二学期数学期末考试试题含解析

2022届安徽省合肥市高二第二学期数学期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．()622x x +-的展开式中2x 的系数是（ ）
A ．-1152
B ．48
C ．1200
D ．2352 【答案】B
【解析】
【分析】
先把多项式化简，再用二项式定理展开式中的通项求出特定项的系数，求出对应2x 项的系数即可.
【详解】
解：()()()6662212x x x x +-=-+，
()61x -的二项式定理展开式的通项公式为()6161r r r r T C x -+=-，
()6
2x +的二项式定理展开式的通项公式为6162r r r r T C x -+=， 所以()6
22x x +-的展开式中2x 的系数为64455546666666622248C C C C C C ⨯-⨯+⨯=. 故选：B.
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用以及利用二项式展开式的通项公式求展开式中某项的系数问题，是基础题目.
2．若随机变量ξ服从正态分布(0,4)N ，则(2)P ξ>=（ ）
附：()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=．
A ．1．3413
B ．1．2718
C ．1．1587
D ．1．1228
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正态曲线的对称性，以及(22)0.6826P ξ-<<=，可得结果.
【详解】 10.6826(2)0.15872
P ξ->=
=， 故选：C
【点睛】 本题考查正态分布，重点把握正态曲线的对称性，属基础题.
3．已知函数2()(1)x f x e x =-+，则()f x 的大致图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用(1)f 函数值的正负及()f x 在(0,1)单调递减，选出正确答案.
【详解】
因为(1)40f e =-<，排除A ，D ；
'()2(1)x f x e x =-+，在同一个坐标系考查函数x y e =与2(1)y x =+的图象，
可得，2(1)x e x <+在(0,1)x ∈恒成立，所以'()0f x <在(0,1)x ∈恒成立，
所以()f x 在(0,1)单调递减排除B ，故选C.
【点睛】
根据解析式选函数的图象是高考的常考题型，求解此类问题没有固定的套路，就是要利用数形结合思想，从数到形、从形到数，充分提取有用的信息.
4．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4c =，则ABC V 面积的最大值为（ ）
A ．83
B ．43
C ．23
D 3【答案】B
【解析】
【分析】
本题考察的是解三角形公式的运用，可以化简()()3a b c a b c ab +-++=得出角C 的大小以及ab 的最大
值，然后得出结果．
【详解】
()()3a b c a b c ab +-++=
()223a b c ab +-=
222a b c ab +-=
2221cos 22
a b c c ab +-==，C=60︒ 222a b ab c +-=
22c ab ab ≥-，解得16ab ≤
所以1sin 2ABC S ab C =
≤n 【点睛】
在解三角形过程中，要对一些特定的式子有着熟练度，比如说222a b c +-、ab 等等，根据这些式子就要联系到我们的解三角形的公式当中去．
5．已知集合{}{}
22120,4A x R x x B x R x =∈--<=∈>，则A B I 等于（ ） A ．()24，
B ．()3.4-
C ．()()3,22,4--⋃
D ．(),-∞+∞
【答案】C
【解析】
【分析】 由不等式性质求出集合A 、B ，由交集的定义求出A B I 可得答案.
【详解】
解：可得2
{|120}{|34}A x R x x x x =∈--<=-<<； 2{|4}{|2-2}B x R x x x x =∈>=><或，
可得A B I ={|--224}x x x <<<<3或
故选C.
【点睛】
本题考查了交集及其运算，求出集合A 、B 并熟练掌握交集的定义是解题的关键.
6．若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ）
A ．12
B
C ．1
D ．2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义列等式可求出0y 的值.
【详解】
抛物线2
16x y =的准线方程为4y =-， 由抛物线的定义知，抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离为04y +，
0043y y ∴+=，解得02y =，故选：D.
【点睛】
本题考查抛物线的定义，在求解抛物线上的点到焦点的距离，通常将其转化为该点到抛物线准线的距离求解，考查运算求解能力，属于中等题.
7．如图，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知100CD =米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于()
A ．100米
B ．3
C ．)5031米
D ．502
【答案】C
【解析】
【分析】 设AB h =，ABC ∆，ABD ∆中，分别表示,BC BD ，最后表示tan ADB ∠求解长度.
【详解】
设AB h =，ABC ∆中，45ACB ∠=o ，BC h =，
ADB ∆中，3tan 100h ADB h ∠=
=+， 解得：()
50
31h =米. 故选C.
【点睛】 本题考查了解三角形中有关长度的计算，属于基础题型.
8．已知两变量x 和y 的一组观测值如下表所示：
x 2 3 4 y 5 4 6
如果两变量线性相关，且线性回归方程为7ˆ2ˆy
bx =+，则^b ＝( ) A ．－110 B ．－12 C ．110 D ．12
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算＝
＝3，＝＝5，代入方程即可．
【详解】
＝
＝3，＝＝5，代入线性回归方程可得5＝3＋，解之得＝.故选D 【点睛】
线性回归直线必过样本中心．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（ ）
A ．13
B ．23
C ．43
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图得到该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1．再由棱锥体积公式求解．
【详解】
由三视图还原原几何体，如图所示，
该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1．
∴该三棱锥的体积112221323
V =
⨯⨯⨯⨯=． 故选B ．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．
10．若复数21i
z =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -
B ．2z =
C ．z 的共轭复数为1i --
D ．2z 为纯虚数 【答案】D
【解析】
【分析】
将复数z 整理为1i -的形式，分别判断四个选项即可得到结果.
【详解】
()()()
2121111i z i i i i -===-++- z 的虚部为1-，A 错误；
112z +，B 错误；1z i =+，C 错误； ()2212z i i =-=-，为纯虚数，D 正确
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.
11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x
f x m =-，则()2019f =（ ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x+1）=f （1-x ），便可推出f （x+4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得
出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1．
【详解】
∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-；
∴(2)()()f x f x f x +=-=-；
∴(4)()f x f x +=；
∴()f x 的周期为4；
∵[0,1]x ∈时，()2x f x m =-；
∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=；
∴1m =；
∴[0,1]x ∈时，()21x f x =-；
∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.
12．若函数f(x)=
21x a x ++(a ∈R)是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1
B ．0
C ．－1
D ．±1 【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质，利用()00f =，代入即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数()21
x a f x x +=+是定义域R 上的奇函数， 根据奇函数的性质，可得()00f =，
代入可得()200001
a f +=
=+，解得0a =，故选B. 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记奇函数的性质()00f =是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．如果不等式2
4x x -()1a x >－
的解集为A ，且{}02|A x x ⊆<<，那么实数a 的取值范围是 ____ 【答案】[2,)+∞
【解析】
【分析】
将不等式两边分别画出图形，根据图像得到答案.
【详解】
不等式24x x -()1a x >－
的解集为A ，且{}02|A x x ⊆<< 2224(2)4(0)y x x x y y =-⇒-+=≥
1()y a x =－
画出图像知：
112a a -≥⇒≥
故答案为：[2,)+∞
【点睛】
本题考查了不等式的解法，将不等式关系转化为图像是解题的关键.
14．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是1{
3x t y t =+=-（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为____________．
【答案】2
【解析】
分析：先求出直线的普通方程，再求出圆的直角坐标方程，再利用公式求直线被圆C 截得的弦长. 详解：由题意得直线l 的方程为x-y-4=0,圆C 的方程为(x-2)2+y 2=4.
则圆心到直线的距离22204
21(1)--=+-，故弦长=2222222-=故答案为2.
点睛：（1）本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的弦长的计算，意
在考查学生对这些问题的掌握水平.(2)求直线被圆截得的弦长常用公式l =
15．在ABC V 中，2sin sin cos b A B a B +=，则
a b =_______．
【解析】
【分析】
由正弦定理的边化角公式化简得出sin A B =，再次利用正弦定理的边化角公式得出sin sin a A b B =. 【详解】
由正弦定理的边化角公式得出22sin sin sin cos A B A B B ⋅+⋅=
即sin A B =
所以sin sin a A b B
==
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的边化角公式，属于中档题.
16．已知向量21a =v （，）
，(,1)b x =-v ，且a b -v v 与b v 共线，则x 的值为__. 【答案】2
【解析】
【分析】
先求得a b -r r ，然后根据两个向量共线列方程，解方程求得x 的值，进而求得x 的值.
【详解】
依题意()2,2a b x -=-r r ，由于a b -r r 与b r 共线，故220x x +-=，解得2x =-，故2x =.
【点睛】
本小题主要考查平面向量减法的坐标运算，考查两个平面向量平行的坐标表示，属于基础题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点M 是BC 的中点．
（1）求异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值；
（2）求直线1AC 与平面1A DM 所成角的正弦值．
【答案】 (1) 3030
. (2) 56
. 【解析】
【分析】
【详解】
分析：（1）直接建立空间直角坐标系，求出1A C ，，D ，M 四点的坐标写出对于的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求解即可；（2）先根据坐标系求出平面1A DM 的法向量，然后写出1AC 向量，在根据向量夹角公式即可求解.
详解：
在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系D xyz -．
因为()1,2,0M ，()2,0,0A ，()10,2,4C ，
所以()1,2,0DM =u u u u v ，()12,2,4AC =-u u u u v ， 所以(
)11222222112220430cos ,30120224
DM AC DM AC DM AC u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ⨯-+⨯+⨯⋅===⨯++⨯-++， 所以异面直线1AC 与DM 所成角的余弦值为3030
． (2)()1
2,0,4DA =u u u u v ，设平面1A DM 的一个法向量为(),,n x y z =v ． 则100
DA n DM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u u v v ，得24020x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1y =，得2x =-，1z =， 故平面1A DM 的一个法向量为()2,1,1n =-v
． 于是()()11222222
12221415cos ,6224211n AC n AC n AC -⨯-+⨯+⨯⋅===⨯-++⨯-++u u u u v v u u u u v v u u u u v v ， 所以直线1AC 与平面1A DM 所成角的正弦值为
56． 点睛：考查线线角，线面角对于好建空间坐标系的立体几何题则首选向量做法，直接根据向量求解解题思路会比较简单，但要注意坐标的准确性和向量夹角公式的熟悉，属于基础题.
18．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，23
BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.
（1）求证：EF ⊥平面BCF ；
（2）求二面角A FB C --的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
77
【解析】
【分析】
（1）要证EF ⊥平面BCF ，可证AC ⊥平面BCF 即可，通过勾股定理可证明 BC AC ⊥，再利用线面垂直可证AC CF ⊥，于是得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面FAB 的一个法向量和平面FCB 的一个法向量，再利用数量积公式即得答案.
【详解】
（1）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，设1AD CD BC ===
又∵23
BCD π∠=，∴2AB = ∴2222cos603AC AB BC AB BC ︒=+-⋅⋅=
∴222AB AC BC =+，则BC AC ⊥
∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD
∴AC CF ⊥，而CF BC C =I
∴AC ⊥平面BCF
∵//EF AC ，∴EF ⊥平面BCF
（2）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系
设1AD CD BC CF ====
则(0,0,0)C
，A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)F ，
∴(AB =u u u r ，(0,1,1)BF =-u u u r
，
设(,,)n x y z =r 为平面FAB 的一个法向量， 由00n AB n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩
u u u v v u u u v v
，得00y y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =
，则n =r ∵(1,0,0)m =u r 是平面FCB 的一个法向量，
∴cos ,||||n m n m n m ⋅<>===r u r r u r r u r ∴二面角A FB C --
. 【点睛】
本题主要考查线面垂直证明，二面角的相关计算，意在考查学生的空间想象能力，转化能力，逻辑推理能力及计算能力，难度中等.
19．已知复数w 满足()1243w i i +=+（i 为虚数单位），52z w w =
+-，求一个以z 为根的实系数一元二次方程．
【答案】26100x x +=-
【解析】
【分析】
先由()1243w i i +=+求出复数w ，再由52z w w
=+-求出复数3i z =+，计算出其复数z ，可得出以
复数z 为根的实系数方程为()()
0x z x z --=，化简后可得出结果.
【详解】 由()1243w i i +=+，得()()()()2
43124345621212125
i i i i i w i i i i +-+--====-++-， ()()()
52552221213222i z w i i i w i i i +∴=+-=+--=+=++=+--+，3z i ∴=-. 6z z ∴+=，2223110z z z ⋅==+=，
因此，以复数z 为一个根的实系数方程为()()0x z x z --=，即()0x z z x z z -++⋅=，
即26100x x +=-.
【点睛】
本题考查复数形式的乘法与除法运算，考查实系数方程与虚根之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.
20．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos
cos C A =. （1）求角A 的值；
（2）若6B π
=，且ABC ∆的面积为BC 边上的中线AM 的大小.
【答案】 (1)6A π=
；(2)AM =【解析】
试题分析：
（1cosC cosA =，整理计算可得20sinBcosA =，则
cosA =，6A π=.
（2）由题意可得6A π
=，6B π
=，12ABC S absinC ∆= 21223
a sin π==4a =.在AMC ∆中应用
余弦定理有2222120AM AC MC AC MCcos ︒=+-⋅，据此计算可得AM =试题解析：
（1cosC cosA =，
cosC cosA =，
所以2sinBcosA =，
所以()20sinBcosA A C +=，20sinBcosA -=.
又因为0sinB ≠，
所以2
cosA =，又因为0A π<<，且2A π≠，所以6A π=.
（2）据（1）求解知6A π
=.若6B π
=，则12ABC S absinC ∆= 21223
a sin π==所以4a =，4a =-（舍）
又在AMC ∆中，2222120AM AC MC AC MCcos ︒=+-⋅， 所以22211212022AM AC AC AC AC cos ︒⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ 22142242282⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭.
所以AM =21．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1,2,
x mt y t =+⎧⎨=-⎩（,m R t ∈为参数）.以坐标原点O 为极点，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4ρ=.
(Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)若曲线C 上的点到直线l 的最大距离为6，求实数m 的值.
【答案】 (Ⅰ)直线l 的普通方程为210x my m +--=.曲线C 的直角坐标方程为
2216x y +=;(Ⅱ)34
m =
. 【解析】 分析：(Ⅰ)消去参数m 可得直线l 的普通方程为210x my m +--=.极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线C 的直角坐标方程为2216x y +=．
(Ⅱ)由题意结合直线与圆的位置关系整理计算可得34
m =． 详解：(Ⅰ)由12x mt y t
=+⎧⎨=-⎩得()12x mt m y -==-，消去t ,得210x my m +--=， 所以直线l 的普通方程为210x my m +--=.
由4ρ=,得216ρ=,
代入cos x sin y
ρθρθ=⎧⎨=⎩,得2216x y +=,
所以曲线C 的直角坐标方程为2216x y +=．
(Ⅱ)曲线C :2216x y +=的圆心为()0,0C ,半径为4r =,
圆心()0,0C 到直线:l 210x my m +--=的距离为22
11m d m --=
+, 若曲线C 上的点到直线l 的最大距离为6,
则6d r +=,即221461m m --+=+,解得 34
m =． 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法：
（1）直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；
（2）转化为直角坐标系，用直角坐标求解.
使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.
22．在如图所示的几何体ABCDEF 中，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是正方形，且边长为2，Q 是AD 的中点.
（1）求证：直线AE P 平面FQC ；
（2）求二面角A FC B --的大小.
【答案】（1）见解析；（2）
3π. 【解析】
试题分析：（1）连结DE 交FC 于P ，根据平行四边形性质得P 是DE 中点，再根据三角形中位线性质得PQ AE P ，最后根据线面平行判定定理得结论,（2）根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解各面法向量,根据向量数量积求夹角,最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角. 试题解析：（1）∵且AF BE P ，AD BC P
AF 与AD 交于点A ，BE 与BC 交于点B
∴平面ADF P 平面BCE ，∴几何体ADF BCE -是三棱柱
又平面ABCD ⊥平面ABEF ，AB BC ⊥，∴AB ⊥平面BCE ，故几何体ADF BCE -是直三棱柱
（1）四边形ABCD 和四边形ABEF 都是正方形，所以EF AB DC P P 且EF AB DC ==，所以四边形DCEF 为矩形；于是，连结DE 交FC 于P ，连结PQ ，P 是DE 中点，又Q 是AD 的中点，故PQ 是
三角形D AE 的中位线，PQ AE P ，注意到AE 在平面FQC 外，PQ 在平面FQC 内，∴直线AE P 平面FQC
（2）由于平面ABCD ⊥平面ABEF ，AB BC ⊥，∴BC ⊥平面ABEF ，所以BC BE ⊥.于是AB ，BC ，BE 两两垂直.以BA ，BC ，BE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因正方形边
长为2，且Q 为AD 中点，所以()210Q ，，
，()202F ，，，()020C ，，，()000B ，， 于是()020BC =u u u v ，，
，()202BF =u u u v ，，，设平面BFC 的法向量为()m x y z =v ，， 则00m BC m BF u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，解之得()101m v ，，=-，同理可得平面AFC 的法向量()110n =v ，，，∴1cos 2m n =v v ， 记二面角B FC A --的大小为θ，依题意知，θ为锐角，1cos 2θ=，3πθ= 即求二面角B FC A --的大小为3
π。