九年级数学上册 25.1 比例线段课堂导学案 (新版)冀教版

25.1 比例线段 能力点 利用比例性质求值 题型导引与比例有关的求值问题是常见的题型，一般有以下两种解题方法： (1)利用比例的基本性质可将比例式转化为等积式，进而解方程求出字母的值； (2)在与比例式有关的求值问题中，用设k 法求解往往比较简单，即设所给比例式的值是一个常数k ，得出所有未知量与这个常数的关系式，再将它们代入求值． 【例题】已知x ∶2＝y ∶3＝z ∶4，求3x 2x ＋3y －5z 的值． 分析：已知条件给出的是一个连比，而比是一个商，是一个数值．如果我们设两个量a ，b 的比值为k ，由a b
＝k 可以得等式a ＝bk ，所以比反映的又是两个量之间的一种关系． 解法一：设x 2＝y 3＝z
4
＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ， 故3x 2x ＋3y －5z ＝6k 4k ＋9k －20k ＝－67. 解法二：∵x 2＝y 3＝z 4，∴x ＝23y ，z ＝43
y . ∴
3x 2x ＋3y －5z ＝3×23y 2×23y ＋3y －5×43y ＝2y －73y ＝－67. 规律总结两种解法均建立在对“比”的意义的理解上，在解法一中，设辅助元即已知比的比值为k ，分别得x ，y ，z 与k 的关系，代入所求代数式中得到结果，这就是数学中的参数思想的运用；解法二，将已知式子中的两个量分别用第三个量表示，再代入求值，体现了消元思想．
变式训练
1．已知a ，b ，c 三个数满足
ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ca c ＋a ＝15，那么abc ab ＋bc ＋ca 的值为( ) A ．16 B ．112
C ．215
D ．120 2．已知x ∶y ∶z ＝3∶5∶6，且2x －y ＋3z ＝38，求3x ＋y －2z 的值．
分析解答
1．解析：注意到a ≠0，b ≠0，c ≠0，那么根据分式基本性质，得
abc ca ＋bc ＝13，abc ab ＋ca
＝14，abc bc ＋ab ＝15.
∴3abc ca ＋bc ＝4abc ab ＋ca ＝5abc bc ＋ab
＝1. 根据等比性质，得
∴3abc ＋4abc ＋5abc （ca ＋bc ）＋（ab ＋ca ）＋（bc ＋ab ）
＝1. 即有12abc 2（ab ＋bc ＋ca ）
＝1. 所以abc ab ＋bc ＋ca ＝16
. 答案：A
2．分析：设辅助元k ，用含k 的代数式表示x ，y ，z ，建立方程求解． 解：因为x ∶y ∶z ＝3∶5∶6，
所以可设x 3＝y 5＝z 6
＝k ， 则x ＝3k ，y ＝5k ，z ＝6k ，
又2x －y ＋3z ＝38，
所以6k －5k ＋18k ＝38，即k ＝2.
所以3x ＋y －2z ＝9k ＋5k －12k ＝2k ＝4.。