上海市南洋模范中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

上海市南洋模范中学2023-2024学年高二下学期期中考试数
学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．直线2210ax y ++=与20x y --=平行，则实数=a .
2．已知圆()2
2:24C x y -+=，直线:1l y x =-+被圆C 截得的弦长为. 3．设函数()f x 在=1x 处存在导数为2,则()()
11lim
3x f x f x
∆→+∆-=∆=．
4．若直线()12y k x -=-与椭圆22
116x y m
+=恒有两个不同的公共点，
则m 的取值范围是. 5．已知抛物线()2
0y mx m =>上的点()02x ,到该抛物线焦点F 的距离为114
，则m 等于．
6．已知点,A B 分别是直线1:220l x y +-=与直线24210:l x y ++=上的点，则AB 的取值范围是．
7．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为1234,,,e e e e ，其大小关系为．
8．已知点()0,1A ，()10B ,，点P 为椭圆22
:143x y C +=上的动点，则PA PB +的最小值
为.
9．定义：点P 为曲线L 外的一点，,A B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角.已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，设P 对圆22:(3)1M x y -+=的张角为θ，则cos θ的最小值为.
10．已知曲线Γ：221045x y ⎛--= ⎝，要使直线()y m m =∈R 与曲线Γ有四个
不同的交点，则实数m 的取值范围是．
11．在直角坐标平面xoy 中，已知两定点()11,0F -与()21,0F 位于动直线:0
l ax by c ++=的同侧，设集合{P l =∣
点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于1}，
()22{,|1,}Q x y x y x y R =+≤∈、，记()
(){,|,,}
S x y x y l l P =∉
∈,()(){,|,}T x y x y Q S =∈⋂.
则由T 中的所有点所组成的图形的面积是.
12．已知12,F F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，00(,)P x y 是双曲线C 右
支上的一点，连接1PF 并过1F 作垂直于1PF 的直线交双曲线左支于,R Q ，其中00(,)R x y --，
1QF P △为等腰三角形．则双曲线C 的离心率为．
二、单选题
13．已知直线:30l x y ++=，直线:260m x y -+=，则m 关于l 对称的直线方程为（ ）
A ．630x y ++=
B ．630x y -+=
C ．260x y ++=
D ．230x y -+=
14．若双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线与直线21y x =+垂直，则C 的离心率
为（ ）
A ．5
B C ．5
4
D
15．已知221:(2)(3)4O x y -+-=e ，1O e 关于直线210ax y ++=对称的圆记为2O e ，点E ，F 分别为1O e ，2O e 上的动点，EF 长度的最小值为4，则=a （ ）
A ．32-或56
B ．56-或32
C ．3
2-或56-
D ．56或3
2
16．已知点P 是椭圆22
143x y +=上一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，M 为12
PF F ∆的内心，若1122MPF MF F MPF S S S λ∆∆∆=-成立，则λ的值为
A ．3
2
B ．12
C D ．2
三、解答题
17．已知直线l 的倾斜角为α，cos α=)
A .
(1)求直线l 的方程；
(2)直线10kx y -+=恒过定点B ，求点B 到直线l 的距离.
18．直线230x y --=与圆C 交于E 、F 两点，E 、F 两点的坐标分别为11(,)x y ，
22(,)x y ，且12,x x 是方程25450x x --=的两根． (1)求弦EF 的长；
(2)若圆C 的圆心为(2,3)-，求圆C 的一般方程．
19．已知函数()3
1f x x x =-+，直线l ：22y x =-与x 轴交于点A ．
(1)求过点A 的()f x 的切线方程；
(2)若点B 在函数()f x 图象上，且()f x 在点B 处的切线与直线l 平行，求B 点坐标． 20．设抛物线Γ的方程为y 2＝4x ，点P 的坐标为（1，1）．
（1）过点P ，斜率为﹣1的直线l 交抛物线Γ于U ，V 两点，求线段UV 的长； （2）设Q 是抛物线Γ上的动点，R 是线段PQ 上的一点，满足PR =u u u r
2RQ u u u r ，求动点R 的
轨迹方程；
（3）设AB ，CD 是抛物线Γ的两条经过点P 的动弦，满足AB ⊥CD ．点M ，N 分别是弦AB 与CD 的中点，是否存在一个定点T ，使得M ，N ，T 三点总是共线？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由．
21．已知椭圆Γ：22
142
x y +=，A 是其左顶点，过点()1,0S 且不与x 轴重合的直线l 与Γ
交于P 、Q 两点.
(1)若直线l 垂直于x 轴，求线段PQ 的长度；
(2)若90APQ ∠=︒，且点P 在x 轴上方，求P 、Q 两点的坐标；
(3)设直线AP 与y 轴交于点M ，直线AQ 与y 轴交于点N ，是否存在直线l ，使得APQ △的面积是AMN V 的两倍？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.。