专题一 求解二次函数表达式的常用方法课件2023-2024学年浙教版数学九年级上册
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Байду номын сангаас
母题3
抛物线与x轴交于点(－3，0)和(1，0)，且与y轴交于点 (0，3)，求该抛物线对应的函数表达式． 解：由题意可设该抛物线对应的函数表达式为 y ＝ a(x ＋ 3)(x － 1) ， 将 点 (0 ， 3) 的 坐 标 代 入 ， 得 a×3×(－1)＝3，解得a＝－1. ∴y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－2x＋3.
浙教版 九年级上
第一章 二次函数 专题一 求解二次函数表达式的常
用方法
母题1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(1，2)，(0，3)，
(－2，－1)三点，求该二次函数的表达式．
解：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过(1，2)，
(0，3)，(－2，－1)三点，
∴ac＝＋3b，＋c＝2，
(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？ 请说明理由． 解：点P不能在抛物线C2上． 理由：∵抛物线C2：y＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3的开口向上， ∴函数有最小值，为－3.
∵－6＜－3，∴点P不能在抛物线C2上．
【方法解析】 二次函数图象的平移变化：抛物线y＝ax2＋bx＋c
向左(右)平移m(m>0)个单位，得到抛物线y＝a(x±m)2＋ b(x±m)＋c；抛物线y＝a(x－h)2＋k向左(右)平移 m(m>0)个单位，得到抛物线y＝a(x－h±m)2＋k；抛物线 y＝ax2＋bx＋c向上(下)平移n(n>0)个单位，得到抛物线 y＝ax2＋bx＋c±n；抛物线y＝a(x－h)2＋k向上(下)平移 n(n>0)个单位，得到抛物线y＝a(x－h)2＋k±n.
变式4-1 已知抛物线y＝a(x－1)2＋k经过点(0，－3)和(3，0)． (1)求a和k的值；
解：将点(0，－3)和(3，0)的坐标分别代入 y＝a(x－1)2＋k，得－ 0＝3＝ a(3a－(0－ 1)21＋)2k＋，k，解得ak＝＝1－，4.
(2)列表并画出函数图象； 解：由(1)得y＝(x－1)2－4，列表画图如下．
x －1 0 1 2 3 y 0 －3 －4 －3 0
(3)将该抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得 到新抛物线，直接写出新抛物线相应的函数表达式． 解：新抛物线相应的函数表达式为y＝(x－2)2－2.
1．已知抛物线的顶点坐标为(2，3)，则抛物线对应的函数 表达式可能为( D ) A．y＝－(x＋2)2－3 B．y＝－(x－2)2－3 C．y＝－(x＋2)2＋3 D．y＝－(x－2)2＋3
解得ab＝ ＝－ 0，1，
4a－2b＋c＝－1， c＝3，
∴该二次函数的表达式为 y＝－x2＋3.
【方法解析】 当已知三点坐标时，可利用一般式求解．
变式1-1 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(2，0)，(4，2)两点．求这个
二次函数的表达式，并写出它的图象的对称轴和顶点坐标． 解：把(2，0)，(4，2)代入 y＝x2＋bx＋c 中， 得41＋ 6＋2b4＋ b＋c＝c＝0， 2，解得bc＝＝6－. 5， ∴这个二次函数的表达式为 y＝x2－5x＋6＝x－522－14. ∴它的图象的对称轴是直线 x＝52，顶点坐标为52，－14.
母题2
已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(－2，2)，且过 点(1，1)．求这个二次函数的表达式． 解：∵二次函数的图象的顶点坐标为(－2，2)， ∴设二次函数的表达式为 y＝a(x＋2)2＋2. 把(1，1)代入，得 1＝a(1＋2)2＋2，解得 a＝－19. ∴二次函数的表达式为 y＝－19(x＋2)2＋2.
【方法解析】 已知函数图象与x轴的交点和另一个点，可利
用交点式求解．
变式3-1 【2023·宁波海曙区期末】已知二次函数的图象如图所示， M为抛物线的顶点，其中A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)． (1)求这个二次函数的表达式及顶点M的坐标；
解：由题意可设二次函数的表达式为 y＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 将C(0，3)的坐标代入，得3＝a(0－1)(0－3)，解得a＝1， ∴二次函数的表达式为y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3＝ (x－2)2－1. ∴顶点M的坐标为(2，－1)．
【方法解析】 已知顶点坐标、对称轴、最值、纵坐标相同的
两点的坐标，可利用顶点式求解．
变式2-1 已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与二次函数y＝2x2的图象的开 口大小相同，开口方向相反，且当x＝－1时，y取得最大 值10，求该抛物线对应的函数表达式．
解：∵当x＝－1时，y取得最大值10， ∴抛物线的顶点坐标为(－1，10)． ∴该抛物线对应的函数表达式为y＝a(x＋1)2＋10. ∵抛物线y＝a(x＋1)2＋10与二次函数y＝2x2的 图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴a＝－2.∴y＝－2(x＋1)2＋10.
(2)求直线CM的表达式． 解：设直线 CM 的表达式为 y＝kx＋b(k≠0)． 将 C(0，3)，M(2，－1)的坐标分别代入， 得b2＝k＋3，b＝－1，解得kb＝＝－3. 2， ∴直线 CM 的表达式为 y＝－2x＋3.
母题4
已知点M(－3，m)，N(1，m)在抛物线C1：y＝x2＋bx＋3 上，把该抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单 位得到抛物线C2. (1)b＝___2_____抛物线C2的表达式为___y_＝__x_2－__6_x_＋__6___；
返回
4．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋2)2－3的图象 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线 的表达式为( A ) A．y＝(x＋3)2－1 B．y＝(x＋1)2－1 C．y＝(x＋3)2－5 D．y＝(x＋1)2－5
返回
2．【2024·湖州模拟】与抛物线y＝－3x2的形状、开口方 向完全相同，且顶点坐标为(－1，3)的抛物线对应的函 数表达式为( D ) A．y＝－3(x－1)2＋3 B．y＝3(x－1)2＋3 C．y＝3(x＋1)2＋3 D．y＝－3(x＋1)2＋3
返回
3．【2024·杭州期末】一个二次函数的图象过(－1，5)， (1，1)和(3，5)三个点，则这个二次函数的表达式为 (B ) A．y＝－x2－2x＋2 B．y＝x2－2x＋2 C．y＝x2－2x＋1 D．y＝x2－2x－2
母题3
抛物线与x轴交于点(－3，0)和(1，0)，且与y轴交于点 (0，3)，求该抛物线对应的函数表达式． 解：由题意可设该抛物线对应的函数表达式为 y ＝ a(x ＋ 3)(x － 1) ， 将 点 (0 ， 3) 的 坐 标 代 入 ， 得 a×3×(－1)＝3，解得a＝－1. ∴y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－2x＋3.
浙教版 九年级上
第一章 二次函数 专题一 求解二次函数表达式的常
用方法
母题1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(1，2)，(0，3)，
(－2，－1)三点，求该二次函数的表达式．
解：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过(1，2)，
(0，3)，(－2，－1)三点，
∴ac＝＋3b，＋c＝2，
(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？ 请说明理由． 解：点P不能在抛物线C2上． 理由：∵抛物线C2：y＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3的开口向上， ∴函数有最小值，为－3.
∵－6＜－3，∴点P不能在抛物线C2上．
【方法解析】 二次函数图象的平移变化：抛物线y＝ax2＋bx＋c
向左(右)平移m(m>0)个单位，得到抛物线y＝a(x±m)2＋ b(x±m)＋c；抛物线y＝a(x－h)2＋k向左(右)平移 m(m>0)个单位，得到抛物线y＝a(x－h±m)2＋k；抛物线 y＝ax2＋bx＋c向上(下)平移n(n>0)个单位，得到抛物线 y＝ax2＋bx＋c±n；抛物线y＝a(x－h)2＋k向上(下)平移 n(n>0)个单位，得到抛物线y＝a(x－h)2＋k±n.
变式4-1 已知抛物线y＝a(x－1)2＋k经过点(0，－3)和(3，0)． (1)求a和k的值；
解：将点(0，－3)和(3，0)的坐标分别代入 y＝a(x－1)2＋k，得－ 0＝3＝ a(3a－(0－ 1)21＋)2k＋，k，解得ak＝＝1－，4.
(2)列表并画出函数图象； 解：由(1)得y＝(x－1)2－4，列表画图如下．
x －1 0 1 2 3 y 0 －3 －4 －3 0
(3)将该抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得 到新抛物线，直接写出新抛物线相应的函数表达式． 解：新抛物线相应的函数表达式为y＝(x－2)2－2.
1．已知抛物线的顶点坐标为(2，3)，则抛物线对应的函数 表达式可能为( D ) A．y＝－(x＋2)2－3 B．y＝－(x－2)2－3 C．y＝－(x＋2)2＋3 D．y＝－(x－2)2＋3
解得ab＝ ＝－ 0，1，
4a－2b＋c＝－1， c＝3，
∴该二次函数的表达式为 y＝－x2＋3.
【方法解析】 当已知三点坐标时，可利用一般式求解．
变式1-1 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(2，0)，(4，2)两点．求这个
二次函数的表达式，并写出它的图象的对称轴和顶点坐标． 解：把(2，0)，(4，2)代入 y＝x2＋bx＋c 中， 得41＋ 6＋2b4＋ b＋c＝c＝0， 2，解得bc＝＝6－. 5， ∴这个二次函数的表达式为 y＝x2－5x＋6＝x－522－14. ∴它的图象的对称轴是直线 x＝52，顶点坐标为52，－14.
母题2
已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(－2，2)，且过 点(1，1)．求这个二次函数的表达式． 解：∵二次函数的图象的顶点坐标为(－2，2)， ∴设二次函数的表达式为 y＝a(x＋2)2＋2. 把(1，1)代入，得 1＝a(1＋2)2＋2，解得 a＝－19. ∴二次函数的表达式为 y＝－19(x＋2)2＋2.
【方法解析】 已知函数图象与x轴的交点和另一个点，可利
用交点式求解．
变式3-1 【2023·宁波海曙区期末】已知二次函数的图象如图所示， M为抛物线的顶点，其中A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)． (1)求这个二次函数的表达式及顶点M的坐标；
解：由题意可设二次函数的表达式为 y＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 将C(0，3)的坐标代入，得3＝a(0－1)(0－3)，解得a＝1， ∴二次函数的表达式为y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3＝ (x－2)2－1. ∴顶点M的坐标为(2，－1)．
【方法解析】 已知顶点坐标、对称轴、最值、纵坐标相同的
两点的坐标，可利用顶点式求解．
变式2-1 已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与二次函数y＝2x2的图象的开 口大小相同，开口方向相反，且当x＝－1时，y取得最大 值10，求该抛物线对应的函数表达式．
解：∵当x＝－1时，y取得最大值10， ∴抛物线的顶点坐标为(－1，10)． ∴该抛物线对应的函数表达式为y＝a(x＋1)2＋10. ∵抛物线y＝a(x＋1)2＋10与二次函数y＝2x2的 图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴a＝－2.∴y＝－2(x＋1)2＋10.
(2)求直线CM的表达式． 解：设直线 CM 的表达式为 y＝kx＋b(k≠0)． 将 C(0，3)，M(2，－1)的坐标分别代入， 得b2＝k＋3，b＝－1，解得kb＝＝－3. 2， ∴直线 CM 的表达式为 y＝－2x＋3.
母题4
已知点M(－3，m)，N(1，m)在抛物线C1：y＝x2＋bx＋3 上，把该抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单 位得到抛物线C2. (1)b＝___2_____抛物线C2的表达式为___y_＝__x_2－__6_x_＋__6___；
返回
4．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋2)2－3的图象 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线 的表达式为( A ) A．y＝(x＋3)2－1 B．y＝(x＋1)2－1 C．y＝(x＋3)2－5 D．y＝(x＋1)2－5
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2．【2024·湖州模拟】与抛物线y＝－3x2的形状、开口方 向完全相同，且顶点坐标为(－1，3)的抛物线对应的函 数表达式为( D ) A．y＝－3(x－1)2＋3 B．y＝3(x－1)2＋3 C．y＝3(x＋1)2＋3 D．y＝－3(x＋1)2＋3
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3．【2024·杭州期末】一个二次函数的图象过(－1，5)， (1，1)和(3，5)三个点，则这个二次函数的表达式为 (B ) A．y＝－x2－2x＋2 B．y＝x2－2x＋2 C．y＝x2－2x＋1 D．y＝x2－2x－2