广东省新高考普通高中学科综合素养评价高三年级春学期开学调研考试数学参考答案

广东省新高考普通高中学科综合素养评价高三年级春学期开学调研考试
数学参考答案与解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号12345678答案
D
C
A
A
A
C
C
D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题号9101112答案
AC
AB
BC
ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.4045
14.[]
2403，
15.
3
5
16.56；
()()
21323++-
n n 详细解答
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】D
因为()(){|6+30}Ζ=-≥∈，A x x x x ，{}2,0,1,2=-B ，则{}2,0,1,2=- A B ．故选D ．2.【答案】C
(1i)1i -=+z ，∴1i (1i)(1i)
i 1i (1i)(1i)
+++=
==-+-z ，i ∴=-z ，z ∴的实部为0．故选C ．3.【答案】A
若直线3x ＋(λ－1)y ＝1与直线λx ＋(1－λ)y ＝2平行，则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3
，经检验λ＝1或λ＝－3时两直线平行．故选A ．4.【答案】A 根据正弦定理有sin sin BC AC A B
=，则sin 23
sin 2
12
BC B AC A ⋅=
=．故选A ．
5.【答案】A
因为直线AB 过焦点F ，所以
11
1||||
AF BF +=，
所以112||||
||2||(||2||)()33||||||||
BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF +=+⨯+=++≥+当且仅当
2||||
||||
BF AF AF BF =时，等号成立．故选A ．6.【答案】C
由题意知讲座A 只能安排在第一或最后一场，∴有1
22A =种结果，
讲座B 和C 必须相邻，∴共有4
2
4248A A =种结果，
根据分步计数原理知共有24896⨯=种结果．故选C ．7.【答案】C
设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为123,,A A A ，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为B ，则112233()()(|)()(|) ()(|)
P B P A P B A P A P B A P A P B A =++21241321355656565(6)12
x x x x x x ++=
⋅+⋅+⋅=≥++++，解得6x ≤，则x 的最大值为6．故选C ．8.【答案】D
根据题意，正实数a ，b 满足a b >且ln ln 0⋅>a b ，则有1a b >>或01b a <<<，依次分析选项：
对于A ，无论1a b >>或01b a <<<，都有log 01
a b
<，所以A 错误；对于B ，111()()a b ab a b a b a b b a ab ab
----
+=--=-，当01b a <<<时，11+0a b b a --<，即11
a b b a
-<-，所以B 错误；
对于C ，因为1(1)(1)0ab a b a b +--=-->，所以1ab a b +>+，所以133ab a b ++>，即C 错误；对于D ，由11b a a b --<，两边取自然对数，得(1)ln (1)ln -<-b a a b ，因为(1)(1)0a b -->，所以
ln ln 11
<--a b
a b ，设ln ()1=-x
f x x ，()()0,11,∈+∞ x ，则2
1
1ln ()(1)
--'=-x x f x x ，
设1()1ln =-
-g x x x ，()()0,11,∈+∞ x ，则22111()x g x x x x
-'=-=，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()g x g <(1)0=，所以()0f x '<，则()f x 在(0,1)和(1,)+∞上都是单调减函数，所以f (a )f <(b )，即选项D 正确．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.【答案】AC
选项A ：将3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，第50百分位数即为中位数，这组数的中位数为1
2
×(4＋7)＝5.5．
选项B ：由数据1x ，2x ，…的平均数为2，方差为3，则数据121+x ，221+x ，…的平均数为2×2＋1＝5，方差为22×3＝12．C 正确．
选项D 中，样本的相关系数应满足－1≤r ≤1，故D 错误．10.【答案】AB A 选项，解法一：
由(1,1)A ，(4,2)B ，则其中点为)23,25(M ，所以2101231252
2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==MA r ，则圆M 的标准方程为22
535222x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎝
⎭⎝⎭，化为一般式方程为225360x y x y +--+=①，
又圆C 的一般式方程为2282130x y x y +--+=②，①－②得370x y --=为两圆相交弦所在的直线方程．解法二：
以(1,1)A ，(4,2)B 为直径的圆的方程为02)1)((4)1)((=--+--y y x x ，即225360x y x y +--+=①，又圆C 的一般式方程为2282130x y x y +--+=②，①－②得370x y --=为两圆相交弦所在的直线方程．B 选项，解法一：
由图可得BP AC ⊥，所以2
3
312121=⨯⨯=⋅=∆AC BP S ABP ．解法二：
由直线AB 的方程为023=+-y x ，则点P 到直线AB 的距离10
10
310
294=
+-=d ，
2321=⋅=∴d AB S P AB △．对于C 选项，
由图可知设过点B 且与圆C 相内切的圆心为Q ，且切点为D ，则12=>===+=+BC R CD QC QD QC QB 满足椭圆定义，故圆心Q 的轨迹为椭圆．对于D 选项，
设P (x ,y )，()()()()52325224112
22
2
2
2
2
2
+⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+-+-=+y x y x y x PB P A ，
则2
22325⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-y x 可转化为圆C 上动点P (x ,y )到定点⎪⎭⎫ ⎝⎛2325,的距离的平方，
所以2
22325⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-y x 的最小值为102213
21022
min
-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=d ，故(
)
1041851022132min
2
2-=+⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯=+PB
P A ．
11.【答案】BC
函数()3sin 26π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭f x x 的图象向右平移6π个单位长度后，
所得图象对应的函数为()3sin 26π⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭y g x x ，
对于A ：当=πx 时，g ()π＝2
3
-，故A 错误；对于B ：当x ＝
12π时，g ⎪⎭
⎫
⎝⎛π12＝0，故B 正确；对于C ：当52424ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
x ,时，2644πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x ,，故函数在该区间上单调递增，故C 正确；对于D ：令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，当k ＝0，1，2，3时，x ＝π3，5π6，4π3，11π
6，正好
有4个极值点，故D 错误．12.【答案】ABC
对于A ，若MQ ⊥平面AEMH ，因为MH ⊂平面AEMH ，所以MQ MH ⊥，又因为△MQH 为等边三角形，所以60QMH ∠=︒，所以A 正确；
对于B ，因为//BC AD ，所以异面直线BC 和EA 所成的角即为直线AD 和EA 所成的角，设角EAD θ∠=，在正六边形ADGPNE 中，可得120θ=︒，所以异面直线BC 和EA 所成角为60︒，所以B 正确；对于C
，补全八个角构成一个棱长为
则该正方体的体积为3V ==，
其中每个小三棱锥的体积为1112
323
V =⨯，
所以该二十四面体的体积为8=
，所以C 正确；对于D ，取正方形ACPM 对角线的交点为O ，即为该二十四面体的外接球的球心，
其半径为2R =
==，所以该二十四面体的外接球的表面积为2244216S R πππ==⨯=，所以D 不正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.【答案】4045
由题意可知，直线l 的方向向量为(1,1)a =
，所以直线:2
l y x =+所以12n n a a +=+，所以20233202024045a a =+⨯=．
14.【答案】[]
2403，
依题意得－1≤x ≤1，设P (x ，y )，
所以AO →＝(－6,0)，AP →＝(x －6，y )，所以AO →·AP →
＝(－6,0)×(x －6，y )＝－6x ＋36，所以当x ＝－1时，AO →·AP →有最大值42；当x ＝1时，AO →·AP →
有最小值30．
所以取值范围为[]2403，
．15.【答案】
3
5解法一：0⋅=
PA PB ，∴点P 的轨迹为222+=x y b ，又 点P 是以OF 为直径的圆上的点，
∴点P 为圆2
2
2
+=x y b 与圆222
()24
-+=c c x y 的交点，
tan 2PFO ∠= 又，∴在直角三角形OPF 中，||=OF c ，||
=
OP ，||=
PF ，
又 ||PO b =，∴
b =，2
2245=-c a c ，3∴==c e a ．解法二：0⋅= PA PB ，∴点P 的轨迹为222+=x y b ，又 点P 是以OF 为直径的圆上的点，
∴点P 为圆2
2
2
+=x y b 与圆222
()24
-+=c c x y 的交点，
过点P 作PH OF ⊥，
tan 2PFO ∠= 又，∴||=OF c ，||
=
OP ，||=
PF ，
∴42(,)5
5
P c c ，代入圆222+=x y b 中，得2222242(
)()55+==-c c b a c ，3
c e a ∴==．16.【答案】56；
()()
213
23++-
n n 由题意知，第5堆中，第1层1个球，第2层3个球，第3层6个球，第4层10个球，第5层15个球，故3515106315=++++=S .
则在第()2≥n n 堆中，从第2层起，第n 层的球的个数比第(n －1)层的球的个数多n ，记第n 层球的个数为
n a ，则)2(1≥=--n n a a n n ，
得)1(2
1
...321)(...)()(123121+=++++=-++-+-+=-n n n a a a a a a a a n n n ，其中11=a 也适合上式，则)(2
1
)1(212n n n n a n +=+=在第n 堆中，
n n a ...a a a S ++++=321()()[]
n ...n ...+++++++++=
3213212
12222
()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=
1211216121n n n n n ()()216
1
++=n n n ，
B
C
O
P
N
Q M
D E
F
A z
y
x
所以6=56S ，则
()()()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-+=++=211
1132161n n n n n n n S n ，()()()()()()()213
2321121321111321211311++-=⎦⎤⎢⎣⎡++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯-⨯=∑=n
n n n n n n n S n
k k .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解：（1）因为
222
sin sin sin sin sin sin 3
A B C A B C =-+，
222
cos 2a c b B B ac
+-==，......................................1分
tan B ∴=...................................................................................................2分
又(0,)B π∈ ，.................................................................................................3分
3
B π
∴=
．...........................................................................................................4分（2
）在△ABC 中，由余弦定理得2222cos 7b a c ac B
=+-⋅=，所以b ，.......................................................................................................6分
又因为
222cos 2a b c C ab +-=
..................................................................8分
所以由余弦定理可得=7
CD ，....................................................................9分所以AD =
.................................................................................................10分18.（1）证明：过点P 作PE AB
⊥，交AB 于点E ，作PF CD ⊥，交
CD 于点F ，连结EF ，则PF AB ⊥，又PA PD =
PB PC =90APB CPD ∠=∠=︒，
则≅△△PAB PCD ，PE PF ==，222PE PF EF +=，...................................3分
PE PF ∴⊥，而PE AB E = ，PF ∴⊥平面PAB .
又PF ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ...........................................................5分（2）解：取EF 的中点为O ，连结OP ，则OP EF ⊥，1OP =，
则以O 为原点，OM ，OF ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)P ，(2,1,0)C ，(1,1,0)-D ，(2,0,0)M ，111
(,,)222
N -，
∴(2,1,1)=- PC ，(1,1,1)=-- PD ，511
(,,222
=- MN ，.............8分
设平面PCD 的一个法向量(,,)=
n x y z ，
则20
⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ n PC x y z n PD x y z ，取1z =，得(0,1,1)= n ，...............10分设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，
||
sin
||||
⋅
==
则
n MN
n MN
θ
∴直线MN与平面PCD 所成角的正弦值为
6
9．.......................12分
19.解：（1）由题设可得5
2
1
3
2
=
+
⨯
=
a，7
1
2
3
2
=
+
⨯
=
b，所以12
2
2
=
+b
a..........................2分又因为n
n
n
n
b
a
a)1
(
3
1
-
-
=
+
，n
n
n
n
a
b
b)1
(
3
1
-
-
=
+
，
故1
2
1
2
2
3
-
-
+
=n
n
n
b
a
a，
1
2
1
2
2
3
-
-
+
=n
n
n
a
b
b，
2
2
2
2
1
2
3
-
-
-
-
=n
n
n
b
a
a，
2
2
1
2
1
2
3
-
-
-
-
=n
n
n
a
b
b
所以
()
1
2
1
2
2
2
4
-
-
+
=
+n
n
n
n
b
a
b
a，()22
2
2
1
2
1
2
2
-
-
-
-
+
=
+n
n
n
n
b
a
b
a，
得
()
2
2
2
2
2
2
8
-
-
+
=
+n
n
n
n
b
a
b
a，
所以数列
{}
n
n
b
a
2
2
+是首项为12，公比为8的等比数列，
故1
2
2
8
12-
⨯
=
+n
n
n
b a.........................................................................................5分
（2）由题意得1
1
1
-
=
-b
a，
又因为n
n
n
n
b
a
a)1
(
3
1
-
-
=
+
，n
n
n
n
a
b
b)1
(
3
1
-
-
=
+
，
故)
(4
)
3(
)
3(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
-
-
=
-n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
a
b
b
a
b
a，
)
(2
)
3(
)
3(
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
+
-
+
=
-n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
a
b
b
a
b
a，
得
()
3
2
3
2
1
2
1
2
8
-
-
-
-
-
=
-n
n
n
n
b
a
b
a，
所以数列
{}
1
2
1
2-
-
+n
n
b
a是首项为－1，公比为8的等比数列，
故1
1
1
2
1
2
8
8
)2
1(-
-
-
-
-
=
⨯
-
=
-n
n
n
n
b a，.................................................................8分
因为n
n
c
c
c
T
2
2
1
2
...+
+
+
=
()()()()
n
n
n
n
b
a
b
a
...
b
a
b
a
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
+
+
-
+
+
+
+
-
=
-
-
()()()
[]()()()
[]
n
n
n
n
b
a
...
b
a
b
a
b
a
...
b
a
b
a
2
2
4
4
2
2
1
2
1
2
3
3
1
1
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
-
+
-
=
-
-
所以
7
)1
8(
11
7
)8
1(
11
8
1
)8
1(
12
8
1
)8
1(
1
2
-
⨯
=
-
-
⨯
=
-
-
⨯
+
-
-
⨯
-
=
n
n
n
n
n
T．................................12分
20.解：（1）由题意可知，每个人选择项目A的概率为
1
5
2
6
C1
C3=，则每个人不选择项目A的概率为
2
3，故甲、乙、丙、丁这4个人中至少有一人选择项目A的概率为4
265
1()
381
-=........2分
（2）由（1）可知，每个人选择项目A的概率为
1
5
2
6
C1
C3=，且每个人是否选择项目A相互独立，
故X服从二项分布：
1
~(4,
3
X B，
所以4
4
11
()()(1(0,1,2,34)
3
C,
3
-
==-=
k k k
P X k k，
4216(0)()381
===P X ，11341132
(1)()(1)31C 38==-=P X ，22241124(2)()(131C 38==-=P X ，33
14
118(3)()(13381C ==-=P X ，411(4)()381
P X ===，则X 的概率分布列为：
X 0
1
2
4
P
1681
3281
2481
181
∴X 的数学期望14
()=4=33
⨯E X ．............................................................................6分
（3）设选择项目A 的人数最有可能为k 人，则()(1)
()(1)=≥=+⎧⎨
=≥=-⎩
P X k P X k P X k P X k ，
212()33C C 3--⋅⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
k
n k
k n k
k
n n
n
P X k Q ，11
11
223322
3
3C C C C -+-----+⎧⋅⋅≥⎪⎪∴⎨⋅⋅⎪≥⎪⎩k n k k n k n n n n k n k k n k n n n n ，即112C C C 2C +-⎧≥⎪⎨≥⎪⎩k k n n k k n n ，即2!
!!()!(1)!(1)!
!2!!()!(1)!(1)!⎧≥⎪-+--⎪
⎨⎪≥⎪---+⎩
n n k n k k n k n n k n k k n k ，即2(1)12+≥-⎧⎨-+≥⎩k n k n k k ，
解得
21
33n n k -+≤≤，................................................................9分又k ∈N Q ，
所以当32=+n m ，N +∈m 时，k m =或1k m =+，选择项目A 的人数为23n -与+1
3
n 的概率相同且最大，即当n 被3除余2时，选择项目A 的人数最有可能是23n -人和+1
3
n 人；同理，
当31=+n m ，N +∈m ，2≥m 时，k m =，即当n 被3除余1时，选择项目A 的人数最有可能是1
3
n -人；当3=n m ，N +∈m ，2≥m 时，k m =，即当n 被3整除时，选择项目A 的人数最有可能是3
n
人．.....................................................................................................12分21.解：（1）设()y x P ,，由题意可知4=⋅BP AP k k ，即
41
1=-⋅+x y x y ()1±≠x ，………….....................................................…………2分整理得点P 的轨迹方程为14
2
2
=-y x ()1±≠x ，……………………………………………………4分
（2）解法一：由题意可设l 的方程为⎪⎭
⎫ ⎝⎛±≠+
=2121m my x ，联立⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-+=14212
2y x my x ，消x 整理得()0341422=-+-my y m ，设()()2211,,y x D y x C ，，则012462>-=∆m ，即16
32
>
m ，由韦达定理有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
--=
--=+1431
44221221m y y m m y y ，……………………………………………………………………6分
又直线AC 的方程为()1111
++=x x y y ，直线BD 的方程为()11
22--=x x y y ，……………………8分联立()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
--=++=1111221
1x x y y x x y y ，
解得211221211221
21122121122121212121y y y my y my y y y my y my y y y x y x y y y x y x x ++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++⎪⎭⎫ ⎝⎛
+
=++-+-+=
……………9分
2212122
22
122222314413
22224124141222131422224141
---⨯-⨯++-
+---=
===--+⨯++--m m m y y my y y y m m m m m y y y y m m ，…………11分
解得2=x ，
所以存在定直线，其方程为2=x ．……………………………………………………………………12分解法二：由题意可设l 的方程为⎪⎭
⎫
⎝⎛±≠+
=2121m my x ，联立⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-+=14212
2y x my x ，消x 整理得()034142
2=-+-my y m ，设()()2211,,y x D y x C ，，则012462>-=∆m ，即16
32
>
m ，由韦达定理有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
--=
--=+1431
44221221m y y m m y y ，……………………………………………………………………6分
又直线AC 的方程为()1111
++=
x x y y ，直线BD 的方程为()11
22--=x x y y ，……………………8分
联立()()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
--=++=11112211x x y y x x y y ，
又()12123
22
=
+my y y y ，则211221211221
21122121122121212121y y y my y my y y y my y my y y y x y x y y y x y x x ++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++⎪⎭⎫ ⎝⎛
+
=++-+-+=
……………9分
()1212121212
1212121331323222222131313222222
-
++-++=
===+++my y y y y y y y y y y y y y y y ，……………11分
解得2=x ，
所以存在定直线，其方程为2=x ．解法三：由题意可设l 的方程为⎪⎭
⎫
⎝⎛±≠+
=2121m my x ，联立⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-+=14212
2y x my x ，消x 整理得()0341422=-+-my y m ，设()()2211,,y x D y x C ，，则012462>-=∆m ，即16
32
>
m ，由韦达定理有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
--=
--=+1431
44221221m y y m m y y ，……………………………………………………………………6分
又直线AC 的方程为()1111
++=x x y y ，直线BD 的方程为()11
22--=x x y y ，……………………8分联立()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
--=++=1111221
1x x y y x x y y ，
得
()()()()32143234321143231432123212311111212
21122212122121122112=-+++=---+--=-+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=-+y y y y y y y m m y m m y y my y y my my y my y x y x y x x ，………………………………………………………………………………………11分解得2=x ，
所以存在定直线，其方程为2=x ．………………………………………………12分
1122.证明：（1）函数f (x )＝a ln x ＋x ＋2x ＋2a 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋1－2x 2＝x 2＋ax －2x 2
．……1分对于方程x 2＋ax －2＝0，Δ＝a 2＋8>0．
解方程x 2＋ax －2＝0，
可得x 1＝－a －a 2＋82<0，x 2＝－a ＋a 2＋82
>0，..........................................2分当0<x <－a ＋a 2＋82时，f ′(x )<0；当x >－a ＋a 2＋82
时，f ′(x )>0，
.....................4分所以函数f (x )在02⎛⎫-+ ⎪
⎪⎝
⎭a ,上单调递减，在2⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭a ,上单调递增．所以函数f (x )有唯一极小值点．...............................................................5分
（2）要证明f (x )<x ＋e x ＋2x ，即证x ＋a ln x ＋2x ＋2a <x ＋e x ＋2x ，即证a (ln x ＋2)<x x
e ，即证x x a )2(ln +<2e x x ．..........................................6分令g (x )＝e x x 2，其中x >0，则g ′(x )＝3
)2(e x x x -，当0<x <2时，g ′(x )<0，此时函数g (x )单调递减；
当x >2时，g ′(x )>0，此时函数g (x )单调递增．所以g (x )min ＝g (2)＝e 24
．.…………8分构造函数h (x )＝x x a )2(ln +，其中0<a <e 4，x >0，则h ′(x )＝－()21ln x x a +.当0<x <1e
时，h ′(x )>0，此时函数h (x )单调递增；当x >1e
时，h ′(x )<0，此时函数h (x )单调递减．..........................................10分所以h (x )max ＝h (e 1)＝a e<4
e 2
，则h (x )max <g (x )min ，所以x x a )2(ln +<2e x
x
．故原不等式得证．....................................................................................12分。