广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 立体几何

立体几何11
19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是
11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a ===
（Ⅰ）求证：//MN 面11ADD A ；
（Ⅱ）求二面角P AE D --的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P DEN -的体积。

点评：本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。

（Ⅱ）设F 为AD 的中点 ∵P 为11A D 的中点 ∴1//PF D D ∴PF ⊥面ABCD 作FH AE ⊥，交AE 于H ，连结PH ，则由三垂线定理得AE PH ⊥，从而PHF ∠为二面角P AE D --的平面角。

在Rt AEF ∆中，17,2,2a AF EF a AE ===，从而221717
a
a AF EF FH AE a ⋅⋅==在Rt PFH ∆中，117
tan DD PF PFH FH FH ∠=
==
故：二面角P AE D --的大小为17
（Ⅲ）
1
222
1
1115
4
244
NEP ECD P
S S BC CD a a a a
∆
==⋅=⋅⋅+=
矩形
作
1
DQ CD
⊥，交
1
CD于Q，由
11
A D⊥面
11
CDD C得
11
AC DQ
⊥∴DQ⊥面
11
BCD A
∴在
1
Rt CDD
∆中，1
1
55
CD DD
DQ a
CD a
⋅
===
∴
1
3
P DEN D ENP NEP
V V S DQ
--∆
==⋅2
15
345
a a
=⋅3
1
6
a
=
（Ⅱ）过P作PH AE
⊥，交AE于H，取AD的中点F，则,0,0
2
a
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
设()
,,0
H x y，则,,,,,0
22
a a
HP x y a HF x y
⎛⎫⎛⎫
=--=--
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r
又,2,0
2
a
AE a
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
u u u r
由0
AP AE
⋅=
u u u r u u u r
，及H在直线AE上，可得:
2
20
42
44
a a
x ay
x y a
⎧
-+-=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
，解得
332
,
3417
x a y a
==
∴
8282
,,,,,0
17171717
a a a a
HP a HF
⎛⎫⎛⎫
=--=--
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r
∴0
HF AE
⋅=
u u u r u u u r
即HF AE
⊥
u u u r u u u r
∴HP
u u u r
与HF
u u u r
所夹的角等于二面角P AE D
--的大小cos,
21
HP HF
HP HF
HP HF
⋅
==
⋅
u u u r u u u r
u u u r u u u r
u u u r u u u r
故二面角P AE D --的大小为221
arccos
21
20．如图,长方体ABCD-1111D C B A 中，E 、P 分别是BC 、11A D 的中点, M 、N 分别是AE 、1CD 的中点, 11AD=A A ,a =Ab=2,a
（Ⅰ）求证：11MN//ADD ;A 平面；
（Ⅱ）求二面角P AE D --的大小；
本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。

满分12分
解法一： （Ⅰ）证明：取CD 的中点K ，连结,MK NK ∵,,M N K 分别为1,,AK CD CD 的中点
∵1//,//MK AD NK DD
∴//MK 面11ADD A ，//NK 面11
ADD A
∴面//
MNK面
11
ADD A
∴//
MN面
11
ADD A
方法二：以D为原点，
1
,,
DA DC DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则
()()()()()
11
,0,0,,2,0,0,2,0,,0,,0,0,
A a
B a a
C a A a a
D a
∵,,,
E P M N分别是
111
,,,
BC A D AE CD的中点
∴
3
,2,0,,0,,,,0,0,,,
2242
a a a a
E a P a M a N a
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（Ⅰ）
3
,0,
42
a
MN a
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
u u u u r
取()
0,1,0
n=
r
，显然n⊥
r
面
11
ADD A
MN n⋅=
u u u u r r
，∴MN n
⊥
u u u u r r
又MN⊄面11
ADD A
∴//
MN面
11
ADD A
∴HP u u u r 与HF u u u r
所夹的角等于二面角P AE D --的大小
cos ,21HP HF HP HF HP HF
⋅==
⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r 故：二面角P AE D --的大小为21arccos 21。